新題展（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)）

龔才權(quán)

先做兩道題，如遇麻煩，盡可能再理一理思路，如果還不能解決問(wèn)題，看一看提示，做好后，對(duì)一對(duì)答案，最后結(jié)合命題者的反思，自己也反思一下.

做一做

1.已知函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=k（x-1）.

（1）討論函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；

（2）若直線y=g（x）是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）若對(duì)任意兩個(gè)互不相等的正數(shù)x1，立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

2.設(shè)函數(shù)f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+bm）x+n（其中m，n∈R）.

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）當(dāng)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍恰好是（- 3，-2） U（-2，0）U（O，1），求n的值；

（3）若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，且滿足xl+x2+3=6，x1+x2+x2x3+X3Xl=9，求n的取值范圍.

看一看

1.（1）對(duì)h（x）求導(dǎo)，得h'（x）=1/x-k討論k的情況判斷h'（x）=1/k-k的正負(fù)，進(jìn)而判斷函數(shù)k（x）的單調(diào)性；

（2）先設(shè)出切點(diǎn)（xo，Inxo），由f（xo）=g（xo）和k=f'（xo），聯(lián)立消去k，得到關(guān)于xo。的一個(gè)方程，解該方程，就能求出實(shí)數(shù)k的值；

（3）先將式子再換元，令即可轉(zhuǎn)化為研究“不等式

2.（1）先對(duì)f（x）求導(dǎo)，得到f'（x）=3（x-m）（x-m-2），從而可求得函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[m，m+2]，由函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，故有[3，4]∈[m，m+2]；

（2）先研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)f（x）的極大值為f（m），極小值為f（m+2）；則函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于f（m）>0且f（m+2）<0；

（3）先設(shè)f（x）=（x-x1）（x-x2）（xx3），結(jié)合x(chóng)1+x2+x3=6和x1x2+x2x3+x3x1=9，以及題設(shè)中函數(shù)f（x）的表達(dá)式，可得.f（x）=x?-6x?+9x+n；則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）=x?-6?+9x+n有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

對(duì)一對(duì)

1.解：（1）h（x）=lnx-k（x-1），h（x）f（m）>O且f（m+2）<0，即m?+3?+n>0且（m+2）?（m-1）+n<0.

據(jù)題意可知，上述不等式組的解集恰為（-3，-2） U（-2，0）U（0，1），所以當(dāng)m=-3時(shí)，（-3）?+3·（-3）?+n≤O，得n≤0；當(dāng)m=-2時(shí)，（-2+2）?·（-2-1）+n≥0，得n≥0.因此=0.

此時(shí)，f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x=x·[x?（3m+3）x+3m?+6m].

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則x?（3m+3）x+3m?+6m=0有兩個(gè)異于0的不等實(shí)根，故△=（3m+3）?-4（3m?+6m）=3m?-6m+9>0，且0?（3m+3）·0+3m?+6m≠O，

解得m∈（-3，-2） U（-2，0）U（0，1）.綜上，n=0.

（3）據(jù)題意可設(shè)f（x）=（x-x1）（xx2）（x-x3），則f（x）=x?-（x1 +x2+x3）x?+（x1+x2+x2x3+x3x1）x-x1x2x3，即f（x）=x?-6x?+9x-x1x2x3.

對(duì)比f(wàn)（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x+n，得m=1，n=-x1x2x3.

所以f（x）=x?-6x?+9x+n，f'（x）=3x?-12x+9=3（x-1）（x-3）.

所以f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）.

據(jù)題意，f（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).

故只需f（x）極大值=f（1）>0且f（x）極小值=f（3）

想一想

1.（1）求單調(diào)性的解題步驟：求函數(shù)h（x）的定義域；求函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)h'（x），并化簡(jiǎn)；令h'（x）=o，求出所有的根，并檢查根是否在定義域內(nèi)；列表：注意定義域的劃分，h'（x）正負(fù)號(hào)的確定；根據(jù)列表情況得出答案.

（2）如何求解方程是本小題的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樗蠼獾姆匠滩皇且粋€(gè)常見(jiàn)的二次方程，所以不能按照常規(guī)思路進(jìn)行因式分解；對(duì)于此類問(wèn)題，我們的基本策略是猜特解，研究單調(diào)性.在高中階段，所要求解的一些非常規(guī)方程一般都不會(huì)太復(fù)雜，我們可以嘗試猜出它們的一些特解，再通過(guò)討論相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性加以驗(yàn)證.

（3）本小題的一個(gè)難點(diǎn)是變形和換元，在（1，+∞）上恒成立”的問(wèn)題.變形和換元的目的都是為了減少變量，化繁就簡(jiǎn)，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題進(jìn)行處理.

2.（1）“函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)”，通常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題：f'（x）≤o在x∈3，4上恒成立，且僅在個(gè)別點(diǎn)處等號(hào)成立.就本小題而言，嘗試對(duì)f'（x）進(jìn)行因式分解，求出f（x）的減區(qū)間，更簡(jiǎn)單一點(diǎn).

（2）通過(guò)區(qū)間的端點(diǎn)位置，求出n的值；估計(jì)有不少解這道題的學(xué)生到此就會(huì)戛然而止.客觀上講，作為一道解答題，解到此就停止肯定是有失嚴(yán)謹(jǐn).所以本小題容易犯的一個(gè)錯(cuò)誤就是不對(duì)求得的n的值進(jìn)行驗(yàn)證.

（3）本小題實(shí)質(zhì)上是：已知一個(gè)三次函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求其參數(shù)n的取值范圍.這是一個(gè)我們較熟悉的問(wèn)題，只不過(guò)本小題對(duì)f（x）的表達(dá)式進(jìn)行了包裝，需要我們多繞一個(gè)彎，所以，碰到陌生的問(wèn)題情境，關(guān)鍵是要能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化和化歸，化陌生為熟悉，化繁就簡(jiǎn).此外，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候也需要大膽猜測(cè)，這樣在遇到比較陌生的問(wèn)題時(shí)才能較快地找到正確的解題方向.