網(wǎng)格助解三角函數(shù)問題

文 季承潔

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)城東分校）

初中數(shù)學(xué)中銳角三角函數(shù)是建立在直角三角形的基礎(chǔ)上定義的。但近年來的中考三角函數(shù)試題常常脫離直角三角形，需要我們利用網(wǎng)格的特征去構(gòu)造直角三角形，對(duì)轉(zhuǎn)化能力有更高的要求。下面以2018年揚(yáng)州市中考第27題為例剖析，希望能給同學(xué)們一點(diǎn)啟示。

問題呈現(xiàn)如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D、N和E、C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值。

方法歸納求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形。觀察發(fā)現(xiàn)問題中的∠CPN不在直角三角形中。對(duì)此，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決，比如連接格點(diǎn)M、N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中。

問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為 ；

圖2

（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值。

思維拓展（3）如圖 3，AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM=BC，延長(zhǎng)CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P。用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)。

圖3

【分析】第（1）問中點(diǎn)P為非網(wǎng)格點(diǎn)，∠CPN也不在直角三角形中，如果直接作垂線構(gòu)造直角三角形，求線段的長(zhǎng)度有難度。方法歸納提示我們將CE平移，使得它與DN的交點(diǎn)恰好是格點(diǎn)，再利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”解決問題。

第（2）問中，點(diǎn)P也是非網(wǎng)格點(diǎn)，∠CPN也不在直角三角形中，根據(jù)方法歸納，我們需要將CM（AN）進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，使得它與AN（CM）的交點(diǎn)恰好是格點(diǎn)，再利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等（內(nèi)錯(cuò)角相等）”解決問題。

順承問題的思路，第（3）問要求我們構(gòu)造網(wǎng)格圖去解決問題。我們可以利用網(wǎng)格，構(gòu)造等腰直角三角形即可。

解：（1）如圖 1，由勾股定理，得DM=

∴△DMN為直角三角形，

（2）方法一：如圖4中，平移AN到CD，連接DM。

圖4

圖5

∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM。

∴DM2+CM2=CD2，

∴△DCM是等腰直角三角形，

∴∠DCM=∠D=45°，

方法二：如圖5，平移CM到AE，連接EN。同方法一，可求得cos∠CPN=cos∠EAN。

（3）方法一：如圖6，根據(jù)題意，以BC長(zhǎng)為單位構(gòu)造正方形網(wǎng)格，平移CM到AF，連接FN。

圖6

方法二：如圖7，根據(jù)題意，以BC為單位構(gòu)造正方形網(wǎng)格，平移CM到EN，連接AE。

圖7

∵CM∥EN，∴∠CPN=∠ANE。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道綜合性的閱讀理解題，屬于中考?jí)狠S題。它考查了平行線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)。解題的關(guān)鍵是巧構(gòu)直角三角形，而后進(jìn)一步利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化以及“從一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想思考問題，這樣問題就會(huì)迎刃而解。