串珠成線選情境，漸次展開求簡約
——以“一元二次方程（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué) 曹海燕

串珠成線選情境，漸次展開求簡約
——以“一元二次方程（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué) 曹海燕

最近，南通市李庾南實(shí)驗(yàn)總校舉行首屆賽課活動(dòng)，筆者有幸參加了初中數(shù)學(xué)賽課活動(dòng)，執(zhí)教了“一元二次方程（第1課時(shí)）”，得到評委老師的好評，本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂生成，并給出教后反思，與同行交流.

一、“一元二次方程（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程，定義一元二次方程的相關(guān)概念，并熟悉一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

（2）結(jié)合開平方運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊形式的一元二次方程的“直接開方法”，并進(jìn)一步探索出“配方法”.

（3）踐行“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法，使學(xué)生通過本課的學(xué)習(xí)知道一元二次方程全章學(xué)習(xí)的路徑，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí).

2.重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：類比定義出一元二次方程的相關(guān)概念；發(fā)現(xiàn)特殊形式的一元二次方程的配方解法.

教學(xué)難點(diǎn)：特殊形式的一元二次方程的配方解法.

3.教學(xué)流程

活動(dòng)一：問題情境

引例：用一根長為24m的繩子圍出一個(gè)長方形.

（1）當(dāng)圍成一個(gè)正方形時(shí)，它的面積是多少？

（2）當(dāng)長是寬的2倍時(shí)，長和寬各是多少？此時(shí)面積是多少？

（3）當(dāng)它的面積是32m2時(shí)，長和寬各是多少？

預(yù)設(shè)意圖：第（1）問學(xué)生會(huì)用小學(xué)階段熟悉的算術(shù)方法解答；第（2）問可以引導(dǎo)學(xué)生用七年級的一元一次方程來解，目的是喚起學(xué)生回顧一元一次方程的相關(guān)概念，為后續(xù)類比定義一元二次方程奠定基礎(chǔ)；第（3）問是為安排學(xué)生列一元二次方程“x2-12x＋32＝0”服務(wù)，從而引入新知.

活動(dòng)二：類比歸納

引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程定義一元二次方程，即只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程稱一元二次方程.接著引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的一般形式，定義一元二次方程的一般形式.

練習(xí)：下列方程是一元二次方程嗎？請說明理由.

（1）x2＋2x＝0；（2）3x＋2＝5y-3；（3）x（x＋3）＝5；（4）4x2＝9.

活動(dòng)三：探究解法

回到引例：用一根長為24m的繩子圍出一個(gè)長方形.

（1）當(dāng)圍成一個(gè)正方形時(shí)，它的面積是多少？

預(yù)設(shè)追問：能否用方程求解？設(shè)邊長為xm，得x2＝36；得出開方法解方程.接著變式如下，解方程：（1）4x2-36＝0；（2）（x-2）2=36；（3）x2-4x＋4＝36.然后回到開課階段的方程x2-12x＋32＝0.師生共同探究解法，發(fā)現(xiàn)一元二次方程的配方解法.

二、課堂生成片斷

1.開課階段

師生研究情境問題第（2）問.

生1：設(shè)寬為xm，則長為2xm，2x＋4x＝24，6x＝24，x＝4，2x＝8，所以長是8m，寬是4m.

師：（板書）2x＋4x＝24，6x＝24.

師：這是一個(gè)什么方程？

眾生：一元一次方程.

師：什么是一元一次方程？

生2：只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程.

師：（板書）一元一次方程的定義.

師生研究情境問題第（3）問.

師：請用方程解.

生3：x（12-x）＝32.

師：x表示什么？

生3：設(shè)長為xm，則寬為（12-x）m.

師：我們一起來化簡這個(gè)方程.

生4：12x-x2＝32.

師：這個(gè)方程和一元二次方程相同嗎？

眾生：不同.

師：哪些地方不同？

生4：x的指數(shù)不同，一個(gè)是1，一個(gè)是2.

師：那它們有相同的地方嗎？

生5：都是等式.

師：對，方程就是含有未知數(shù)的等式.還有需要補(bǔ)充的嗎？

生6：都含有未知數(shù).

師：都有幾個(gè)未知數(shù)？

眾生：1個(gè).

師：還有要補(bǔ)充的嗎？

生7：都是整式方程.

師：我們能給這樣的方程取一個(gè)名字嗎？

眾生：一元二次方程.

2.探究解法

師：（指著-x2＋12x-32＝0）解這道題現(xiàn)在有些困難，我們先回到引例第（1）問.請用方程解“（1）當(dāng)正方形的面積是36m2時(shí)，它的邊長是多少？”

生8：設(shè)邊長為xm，則x2＝36.

師：好，我們就從這個(gè)方程開始研究一元二次方程的解法.

師：會(huì)解嗎？

生8：x＝±6.

師：方程有兩個(gè)解，我們分別寫成x1=6，x2=-6，由x2＝36到x＝±6是根據(jù)我們之前學(xué)的什么知識(shí)？

生8：開平方.

師：我們可以把這種解方程的方法叫做開方法.現(xiàn)在老師改變一下方程.

師：（板書）4x2-36＝0.（生獨(dú)立思考）

生9：4x2＝36，x2＝9，解得x＝±3，所以x1=3，x2=-3.

師：繼續(xù)改變，（x-2）2=36.（生獨(dú)立思考）

生10：x-2＝±6，x-2＝6或x-2＝-6，所以x1=8，x2=-4.

師：這個(gè)方程x2-4x＋4＝36，如何解呢？（生獨(dú)立思考）

生11：（x-2）2＝36，x-2＝±6，x-2＝6或x-2＝-6，所以x1= 8，x2=-4.

師：現(xiàn)在我們一起來看引例第（3）問得到的方程-x2＋12x-32＝0，為了解題方便我們把二次項(xiàng)的系數(shù)寫成正的，方程化解成x2-12x＋32＝0.（生獨(dú)立思考）

師：現(xiàn)在進(jìn)行小組討論，找出這類方程的解法.（小組討論）

生12：x2-12x＋36-4＝0，x2-12x＋36＝4，（x-6）2＝4，x-6＝±2，x-6＝2或x-6＝-2，所以x1=8，x2=4.

師：你能講一下是怎么想的嗎？

生12：加36湊成平方的形式，原來是32，所以減4.

師：你能不能為這種方法取一個(gè)名字？

生12：就叫完全平方法吧！

師：好！就叫完全平方法，教材上稱之為配方法.

三、教后反思

1.研究教材，優(yōu)選情境問題

應(yīng)該承認(rèn)，教材是眾多專家學(xué)者、名優(yōu)教師精心打磨出來的課程資源，值得每一位老師認(rèn)真研習(xí).但是教材編寫也有優(yōu)差之分，研讀教材時(shí)，對教材實(shí)行橫挑鼻子豎挑眼的態(tài)度不能說不對.即對任何教材，在教學(xué)之前應(yīng)該懷有研究心.章建躍教授對時(shí)下流行的“情境引入”曾做出思辨，指出“對‘從現(xiàn)實(shí)引入’的更全面認(rèn)識(shí)，應(yīng)從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程需要來考慮，這個(gè)‘現(xiàn)實(shí)’既可以是‘生活的現(xiàn)實(shí)’，也可以是‘?dāng)?shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)’”.正是基于上述觀點(diǎn)，我們沒有根據(jù)九年級教材上情境問題（用長為16cm，寬為12cm的長方形紙做一個(gè)無蓋的方盒），而上溯到七年級上冊教材上一個(gè)圍長方形問題.事實(shí)上，這并不是簡單的取舍，而是在試教階段，學(xué)生對九年級教材上兩個(gè)情境問題感覺較為困難，列出的一元二次方程化簡也有一定的難度，綜合考慮之后，決定選擇較為簡單的圍長方形問題.

2.經(jīng)營“轉(zhuǎn)場”，追求簡約教學(xué)

文學(xué)、影視作品常常需要經(jīng)營所謂的“轉(zhuǎn)場”，比如在兩個(gè)場景（即兩段素材）之間，采用一定的技巧實(shí)現(xiàn)場景或情節(jié)之間的平滑過渡，追求較好的轉(zhuǎn)場效果.可以發(fā)現(xiàn)，由于我們選擇了圍長方形這個(gè)情境問題，使得全課的各個(gè)環(huán)節(jié)都找到一個(gè)主線，并圍繞這根主線漸次展開，自然生長，各個(gè)環(huán)節(jié)也實(shí)現(xiàn)了平滑過渡，一定意義上追求了課堂教學(xué)的簡約化.當(dāng)然，“簡約”不是簡單的壓縮和簡化，而是一種深廣的豐富，是寓豐富于簡單之中.

1.課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

2.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

5.許衛(wèi)兵.簡約：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理性回歸［J］.課程·教材·教法，2009（5）.

6.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.