數(shù)學(xué)優(yōu)化模型在工業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃評(píng)估中的應(yīng)用研究

孫源

摘 要：在數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的應(yīng)用方面，主要是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案，為現(xiàn)代生產(chǎn)計(jì)劃和管理工作中的經(jīng)濟(jì)利益評(píng)估服務(wù)。本文介紹了優(yōu)化問題的幾種分類，并對(duì)優(yōu)化模型做了簡(jiǎn)單的分析和說明；同時(shí)重點(diǎn)整理了動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題的多階段轉(zhuǎn)化和變分法的兩種解法。并分別對(duì)它們?cè)趧?dòng)態(tài)優(yōu)化中各自的應(yīng)用范圍和具體作用做了分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；優(yōu)化模型；多階段轉(zhuǎn)化

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.019

1 引言

求解優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)建模方法，即所謂優(yōu)化模型的建立和求解。雖然它有可能使結(jié)果不一定是完全可行的或達(dá)到實(shí)際上的最大優(yōu)化，因?yàn)榻?，它是基于客觀的規(guī)律和數(shù)據(jù)，而且還不需要過多的費(fèi)用。數(shù)學(xué)優(yōu)化模型是生產(chǎn)計(jì)劃和經(jīng)濟(jì)管理中的一個(gè)經(jīng)典模型，在對(duì)尋求最大效益方面的應(yīng)用非常廣泛.例如公司需要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場(chǎng)需求，公司的經(jīng)理決定了產(chǎn)品的價(jià)格和生產(chǎn)計(jì)劃，使利潤(rùn)達(dá)到最大化；要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下合理的安排所有的需求點(diǎn)的運(yùn)送量和所運(yùn)輸?shù)穆肪€，以達(dá)到運(yùn)輸費(fèi)用的最低化。然而簡(jiǎn)單優(yōu)化模型假設(shè)提供的原材料、生產(chǎn)環(huán)境以及人力資源都是靜態(tài)的，且需求者要求的產(chǎn)量一定，但假設(shè)條件在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中不可能都是靜態(tài)的，因此本文我們?cè)诜治隽撕?jiǎn)單的優(yōu)化模型后，又介紹了更加符合現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)條件的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了分析。

隨著國(guó)內(nèi)外對(duì)優(yōu)化模型的不斷研究和改進(jìn)，其應(yīng)用領(lǐng)域已不僅僅局限于單領(lǐng)域范圍，也將其運(yùn)用在石油開采、城市規(guī)劃、人力資源分配等問題的分析上.當(dāng)前全球經(jīng)濟(jì)正處于金融危機(jī)的嚴(yán)重影響下，如何在當(dāng)前形勢(shì)下制定出比較有利的生產(chǎn)計(jì)劃對(duì)一個(gè)企業(yè)來說是非常重要的，本文我們將主要運(yùn)用優(yōu)化模型來研究生產(chǎn)計(jì)劃的制定方案，并研究結(jié)果來確定比較合理的計(jì)劃方案.

2 工業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃制定及其求解

生產(chǎn)計(jì)劃是企業(yè)為了生產(chǎn)出符合市場(chǎng)需求的產(chǎn)品或滿足客戶的要求，如生產(chǎn)時(shí)間，在什么生產(chǎn)車間的生產(chǎn)和怎樣生產(chǎn)的總體規(guī)劃。企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃是以銷售計(jì)劃為基礎(chǔ)的，它是企業(yè)制定物料供應(yīng)計(jì)劃、設(shè)備管理計(jì)劃和生產(chǎn)計(jì)劃的主要依據(jù)。

由上面優(yōu)化變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三要素所組成的最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下，尋求一組優(yōu)化變量，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃制定的特點(diǎn)和實(shí)際情況，所以這里只提出針對(duì)它的兩種求解方法——多階段轉(zhuǎn)化和變分法，并且利用這兩種方法對(duì)具體問題進(jìn)行分析與解決。多階段轉(zhuǎn)化是指將動(dòng)態(tài)優(yōu)化的一種， 它將多階段決策問題轉(zhuǎn)化為一系列簡(jiǎn)單的優(yōu)化問題。將復(fù)雜問題分解為若干個(gè)階段，每個(gè)階段都是一個(gè)優(yōu)化問題，然后是一個(gè)決策的階段，當(dāng)所有階段都確定了，整個(gè)階段的決策也就確定了。一個(gè)過程的最優(yōu)決策具有決策的性質(zhì)，即不管初始狀態(tài)和初始狀態(tài)決策如何，以后的各項(xiàng)決策對(duì)以初始決策形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)都一定要構(gòu)成最優(yōu)化的決策。

根據(jù)不變嵌入原理的基本概念，對(duì)最優(yōu)控制決策的基本性質(zhì)進(jìn)行了描述。當(dāng)解決一個(gè)特定的問題，這個(gè)問題可以被嵌入到一個(gè)更容易解決類似的問題之中。應(yīng)用最優(yōu)化原則，一個(gè)階段決策過程就處理為一個(gè)個(gè)單階段決策過程的序列，因此使這個(gè)最優(yōu)化問題可以采用系統(tǒng)迭代的方式得到解決.前兩個(gè)式子分別是動(dòng)態(tài)優(yōu)化中的逆序解法和順序解法基本公式。

3 數(shù)學(xué)優(yōu)化模型應(yīng)用案例研究

一個(gè)工廠制定一些生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，需要考慮設(shè)備，市場(chǎng)容量和收入的三個(gè)因素，根據(jù)工廠設(shè)備的情況，生產(chǎn)的七種產(chǎn)品，價(jià)格收入和加工時(shí)間，機(jī)器維修和市場(chǎng)容量是眾所周知的。有以下限制：每個(gè)產(chǎn)品有100件，其中每一件產(chǎn)品的存費(fèi)為每一個(gè)月為0.5元；在6月底，每一個(gè)產(chǎn)品有50個(gè)庫(kù)存，每天2個(gè)班次，每班8個(gè)小時(shí)。盈利要求為收入減去存款費(fèi)，盡量安排生產(chǎn)的每一個(gè)產(chǎn)品在1到6月，以使上半年利潤(rùn)最大。論述了設(shè)備結(jié)構(gòu)的合理性，并進(jìn)行了改進(jìn)。

本文案例中如果只有一種產(chǎn)品，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃按照常規(guī)求解，可以快速地求解最優(yōu)產(chǎn)量安排，本案例需要同時(shí)考慮七種產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)量，本文的求解思維為：首先將系統(tǒng)分解成單種產(chǎn)品的子問題，然后綜合收益、工時(shí)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整以達(dá)產(chǎn)量總體上的最優(yōu)解。求解是實(shí)質(zhì)是逆序推算法，我們采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化處理才是最科學(xué)的方法。本文優(yōu)化按市場(chǎng)容量進(jìn)行生產(chǎn)產(chǎn)品所需的工時(shí)，判斷設(shè)備結(jié)構(gòu)是否合理生產(chǎn)。由于變量和約束條件較多，本文必須要采用分解決策法。我們的步驟為：首先單獨(dú)考慮產(chǎn)品PR，根據(jù)各月的綜合收益、市場(chǎng)容量和存費(fèi)情況，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃可獲得l～6月份最優(yōu)生產(chǎn)產(chǎn)量的序列值。其次我們把7個(gè)月的最優(yōu)產(chǎn)量列合并起來，逐月檢驗(yàn)各項(xiàng)工序的工時(shí)變動(dòng)情況。鑒于超時(shí)生產(chǎn)情況，我們衡量產(chǎn)品收益的大小和工時(shí)多少，一方面降低收益小、耗時(shí)大的產(chǎn)品產(chǎn)量。另一方面把減少的該月產(chǎn)量，推遲至下一個(gè)月生產(chǎn)。是我們整個(gè)優(yōu)化過程的重要環(huán)節(jié)。

按以上步驟推算，我們發(fā)現(xiàn)5、6月的整體優(yōu)化恰是前面1-2步驟作出的結(jié)果向前推算到3月，這4個(gè)月的局部最優(yōu)又共同達(dá)到了整體最優(yōu)。對(duì)l、2月產(chǎn)量，用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算，該結(jié)果與其后3至6月的優(yōu)化產(chǎn)量能銜接起來。于是，我們用逆序算法較輕松地得出了六個(gè)月的最優(yōu)安排總盈利為93648元。分析至6月充分達(dá)到了市場(chǎng)需求，2月和1月也是在工時(shí)約束下的最優(yōu)結(jié)果，因此得到的確是考慮每月生產(chǎn)成品的最優(yōu)產(chǎn)量安排。

生產(chǎn)計(jì)劃隨著相關(guān)變量的變化而調(diào)整，具體變量因素包括：產(chǎn)品價(jià)格、設(shè)備結(jié)構(gòu)、市場(chǎng)需求量和停工維修機(jī)床的日程安排。生產(chǎn)計(jì)劃的最優(yōu)安排最主要依據(jù)變量為：產(chǎn)品價(jià)格和市場(chǎng)需求變動(dòng)而調(diào)整，不同情形下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃可根據(jù)模型動(dòng)態(tài)優(yōu)化求解而得。結(jié)果顯示生產(chǎn)計(jì)劃3-6月區(qū)間中不受商品價(jià)格波動(dòng)的影響。在設(shè)備最大利用范圍內(nèi)，產(chǎn)量根據(jù)市場(chǎng)的需求變動(dòng)而相應(yīng)的調(diào)整。考慮的變量因素較多時(shí)，我們雖然模型簡(jiǎn)化了問題的處理與求解過程，但不一定能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化生產(chǎn)，只能在一定的前提或約束下的最優(yōu)解。本文為產(chǎn)品的生產(chǎn)安排提供了科學(xué)的優(yōu)化思路，探索了逆序推算求解途徑，但未能給出更好的一般性通用優(yōu)化思路。雖然，對(duì)設(shè)備和維修安排進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，設(shè)備的利用率和工廠的盈利能力顯著提升。本文不適于解決工序較為復(fù)雜的生產(chǎn)問題，沒有增加更多的約束變量，對(duì)工序進(jìn)行優(yōu)化結(jié)構(gòu)安排，有待本文后續(xù)的研究。

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