基于虛擬決策單元的排序模型

基于虛擬決策單元的排序模型

汪云林1,3,韓偉一2,葛虹2

(1.北京大學(xué)政府管理學(xué)院,北京100871;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001;3.北京大學(xué)科技開發(fā)部,北京100871)

摘要：本文給出了一種新的決策單元排序方法?；诮?jīng)典的C2R模型，通過引入一個虛擬的決策單元，形成了一個新的排序模型，按照相對效率值的大小實現(xiàn)了決策單元的排序。實驗表明，新排序方法不僅能較好地反映C2R模型的計算結(jié)果，而且可避免超效率方法造成的相對效率值偏大的弊端。新的排序方法依據(jù)充分、簡單方便，同時體現(xiàn)了整體的決策效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析;排序;決策單元;虛擬;有效單元

收稿日期：2014-03-02

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(71101037);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助(HIT.HSS.201406)

作者簡介：韓偉一(1974-),男,副教授,碩士生導(dǎo)師。

中圖分類號：O221;N224.0文章標識碼：A

Ranking Model Based on the Virtual Decision-making Unit

WANG Yun-lin1,3, HAN Wei-yi2,*, GE Hong2

(1.SchoolofGovernment,PekingUniversity,Beijing100871,China; 2.SchoolofEconomicandManagement,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China; 3.OfficeofScience&Technology,PekingUniversity,Beijing100871,China)

Abstract:In the paper, a ranking method is presented for decision-making units. Based on the classical C2R model, a new ranking model is obtained by introducing a virtual decision-making. According to the value of relative efficiency, all decision-making units can be ranked. Experiments show that the ranking method can reflect the computational result of C2R model better. Moreover，it can’t make the value of relative efficiency too large like the super-efficiency method. Not only does the method provide a sufficient basis, but it is very simple. It is deserved to note that it has embodied the systemic efficiency.

Key words:data envelopment analysis; rank, decision-making unit; virtue; efficient unit

0引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)作為一種基于線性規(guī)劃的非參數(shù)評價方法，已被廣泛地應(yīng)用到軍事、教育、物流、科研、環(huán)境保護等眾多領(lǐng)域。然而，根據(jù)相對效率值，C2R、BC2等經(jīng)典的DEA模型僅能把決策單元區(qū)分為有效單元和非有效單元[5,6]。由于有效單元的相對效率值均為1，因而無法實現(xiàn)對決策單元的完全排序。近年來，對決策單元進行排序一直是DEA領(lǐng)域的研究熱點，已經(jīng)涌現(xiàn)了大量的科研成果。1986年Sexton等人利用交叉系數(shù)矩陣嘗試對決策單元進行排序[8]。1993年Anderson和Petersen給出了超效率的排序方法[9]。1995年Khouja提出了兩階段法[7]。1996年Torgersen提出了基準點排序方法[10]。2002年Adler等人把所有的排序方法歸納為五種類型[11]，對決策單元排序的相關(guān)研究進行了總結(jié)。國內(nèi)在決策單元排序方面也涌現(xiàn)了一些研究成果，參見文獻[1～5]?？傮w來看，這些排序方法都存在明顯的不足之處。本文無意克服這些方法的不足，而是將從一個全新的角度提出一種新的排序方法。這種排序方法基于經(jīng)典的C2R模型，通過引入一個特殊的決策單元，最終實現(xiàn)所有決策單元的排序。這個引入的決策單元反映了總產(chǎn)出與總投入的比值關(guān)系，能夠體現(xiàn)整體決策效率。

1經(jīng)典的C2R模型

設(shè)DEA系統(tǒng)中有n個決策單元，每個決策單元有m個投入指標、s個產(chǎn)出指標。所有決策單元的投入指標構(gòu)成投入矩陣X，所有決策單元的產(chǎn)出指標構(gòu)成產(chǎn)出矩陣Y, 如下

其中xij為第i個決策單元的第j個投入指標，yik為第i個決策單元的第k個產(chǎn)出指標。為了表述方便，特稱向量Xi=(xi1,xi2,…,xim)T為決策單元i的投入向量，向量Yi=(yi1,yi2,…,yis)T為決策單元i的產(chǎn)出向量。下面給出經(jīng)典的C2R模型，如下:

maxZ=ωY0

(1)

其中Y0和X0為所評價決策單元i0(1≤i0≤n)的產(chǎn)出向量和投入向量，向量ω=(ω1,ω2,…,ωs)中的各分量均為變量，為產(chǎn)出向量的權(quán)重向量，向量ε=(ε1,ε2,…,εm)中的各分量均為變量，為投入向量的權(quán)重向量。

由C2R模型可以得到各個決策單元的相對效率值，當(dāng)值為1時相應(yīng)的決策單元為有效單元，否則為非有效單元。對于非有效單元，可以根據(jù)相對效率值的大小進行排序。而對于有效單元，由于相對效率值均為1無法實現(xiàn)排序。

2新的排序模型

既然很多排序方法可以按照相對效率值的大小對非有效的決策單元進行排序，那么只需把要評價的n個決策單元全部轉(zhuǎn)換為非有效的決策單元即可。基于這個思路，本文將在原有n個決策單元的基礎(chǔ)上，新引入一個決策單元。在新提出的排序模型中，這個新引入的決策單元將是唯一的有效單元，原有的n個決策單元均為非有效單元。問題的關(guān)鍵是，這樣的決策單元如何定義才能不影響原有決策單元的效率順序，或更好地反映原有評價系統(tǒng)的總體關(guān)系。

對引入的決策單元作如下定義，設(shè)該單元的產(chǎn)出向量為Yt，投入向量為Xt，令

Yt=Y1+Y2+…+Yn,Xt=(X1+X2+…+Xn)/a

(2)

或Yt=(Y1+Y2+…+Yn)*a,Xt=X1+X2+…+Xn

(3)

這里α為足夠大的正實數(shù)。無疑ωYt/εXt反映了總投入和總產(chǎn)出的決策效率。

新的排序模型如下:

maxZ=ωY0

(4)

對于新模型，只要a足夠大，原來所有的決策單元均將成為非有效單元，因為新引入的決策單元將以非常小的投入獲得原有的產(chǎn)出，或以原有的收入獲得非常多的產(chǎn)出，結(jié)論是顯然的。

由于新引入的決策單元可采取兩種定義，因而有必要證明二者的計算結(jié)果是相同的，證明如下

定理1在新排序模型中，新引入的決策單元無論采取式(2)的定義，還是采取式(3)的定義，對于所評價決策單元i0(1≤i0≤n)，經(jīng)計算得到的相對效率值是相同的。

maxZ=ωY0

(5)

由式(3)得到的模型為

maxZ=ωY0

(6)

模型(5)和模型(6)顯然等價。因此，對于決策單元 由兩個模型計算所得的相對效率值必然相同。命題得證。

新模型具有如下重要的性質(zhì)：

定理2對于新排序模型，引入的決策單元為唯一的有效單元，如果當(dāng)a取值為b時，決策單元i0的相對效率值為ω*Y0，那么當(dāng)a為hb(h>1)時，決策單元i0的相對效率值為ω*Y0/h。

證明對于新排序模型，設(shè)引入的決策單元采取式(3)的定義。它的對偶模型如下

maxZ=θ

(7)

其中對偶變量λi對應(yīng)原問題中的約束條件ωYi-εXi≤0，對偶變量λt對應(yīng)原問題中的約束條件ωYt-εXt≤0，對偶變量θ對應(yīng)原問題中的約束條件εX0=1。

根據(jù)定理2，可得如下重要的推論：

推論1在新排序模型中，假定引入的虛擬決策單元為唯一有效單元，對于不同的a，原有的、任意兩個不同的決策單元的相對效率值的比值總是恒定的。

證明對于原有的兩個決策單元i1和i2，設(shè)a取值為b時，相對效率值分別為d1和d2，比值為d1∶d2。當(dāng)a取值為hb(h>1)時，根據(jù)定理2，相對效率值分別為d1/h和d2/h, 比值仍為d1∶d2。命題得證。

定理2和推論1說明, 本文給出的排序方法是穩(wěn)定的。

誠然，只要新引入決策單元的產(chǎn)出向量足夠大，投入向量足夠小，均能保證原有的決策單元在新模型中為非有效單元。新引入的決策單元是不是具有任意性呢？答案顯然是否定的，因為不同的決策單元將會得到不同順序的計算結(jié)果，這將在下一部分的實驗中加以驗證說明。

既然新引入決策單元不具有任意性，因此必須要滿足一定的原則。C2R模型的本質(zhì)是盡量實現(xiàn)每一個決策單元的效率最大化，它考慮了個體的局部利益。作為一個決策系統(tǒng)，從整體上也希望實現(xiàn)全局效率最大化。這樣一來，在保證整體效率最大化的前提下，再體現(xiàn)個體效率最大化，無疑是一個非常自然的思路。本文對新引入決策單元的定義正是基于上述思路。新引入決策單元不僅將作為唯一的有效單元，而且它的產(chǎn)出向量Yt與投入向量為Xt之比恰是全局效率的體現(xiàn)。

3模型實驗

本文將開展3個方面的實驗：(1)使用C2R模型計算各決策單元的相對效率，并區(qū)分有效單元和非有效單元，為后面的實驗提供參考; (2)引入兩個不同的決策單元，再使用本文提出的排序模型進行實驗，第一個決策單元由本文的定義給出，另外一個決策單元的投入向量和產(chǎn)出向量任意取定，通過比較以說明本文定義的合理性; (3)選用超效率方法和本文的方法進行比較。

3.1采用C2R模型進行實驗

由C2R模型計算得到的各決策單元的效率值如下:

表1　采用C 2R模型的計算結(jié)果

根據(jù)表1，決策單元1和2為有效單元，而決策單元3和4為非有效單元。

3.2采用新排序模型進行實驗

在第二個實驗中，首先引入新的決策單元5。它的投入向量為(2.2, 1.9)T, 產(chǎn)出向量為(16, 23, 19)T。顯然，它的產(chǎn)出向量為四個決策單元的總產(chǎn)出，投入產(chǎn)量經(jīng)四個決策單元的總投入除以10得到，也就是a取值為10。采用本文的排序模型，計算結(jié)果見表2。

表2　采用排序模型和決策單元5的計算結(jié)果

根據(jù)表2，按照相對效率值大小排序，可得四個決策單元的順序為：2, 1, 3, 4。這個結(jié)果和C2R模型計算結(jié)果基本吻合。

再引入新的決策單元6進行實驗。它的投入向量為(2.2, 1.9)T, 產(chǎn)出向量為(30, 30, 30)T。顯然這樣的決策單元是隨意定義的。采用本文的排序模型，計算結(jié)果見表3。

表3　采用排序模型和決策單元6的計算結(jié)果

根據(jù)表3，按照相對效率值大小排序，可得四個決策單元的順序為：2, 3, 1, 4。這個結(jié)果與C2R模型計算結(jié)果顯然是相悖的。決策單元3原為非有效，決策單元1原為有效，當(dāng)前的計算結(jié)果反而顛倒了二者的順序。

實驗2的兩個計算結(jié)果表明，本文所定義的引入決策單元是合理的。

3.3采用超效率方法進行實驗

相對于C2R模型，超效率方法在計算各個決策單元的相對效率時，采用如下的模型

maxZ=ωY0

(8)

其中Y0和x0分別為決策單元i0(1≤i0≤n)的產(chǎn)出向量和投入向量，ω=(ω1,ω2,…,ωs)向量為產(chǎn)出向量的權(quán)重向量，向量ε=(ε1,ε2,…,εm)為投入向量的權(quán)重向量，ω和ε的各分量均為變量。

采用超效率方法的計算結(jié)果，見表4。

表4　采用超效率的計算結(jié)果

根據(jù)表4，按照相對效率值大小排序，可得四個決策單元的順序為：1, 2, 3, 4。這個結(jié)果和采用新排序模型給出的順序并不一致。

表5　歸一化的計算結(jié)果

把表2和表4的計算結(jié)果進行歸一化處理，分別把四個決策單元的相對效率值除以最大的相對效率值，則得到歸一化的計算結(jié)果，見表5。

根據(jù)表4和表5，有效單元的相對效率值相對偏大，這印證了超效率方法可能高估一些決策單元的相對效率值的說法。理所當(dāng)然，超效率方法因為高估一些決策單元的相對效率值，將不能正確給出各決策單元的排列順序。表2和表5的結(jié)果說明，本文的方法相對于超效率方法將更合理些。

4結(jié)論

本文從強調(diào)整體效率最優(yōu)出發(fā)，通過引入一個特殊的虛擬單元，基于經(jīng)典的C2R模型，提出了一種新的決策單元排序方法。新排序方法具有如下兩個特點：(1)新方法依據(jù)充分、簡單方便，能夠正確反映C2R模型的計算結(jié)果，相對于超效率方法的計算結(jié)果更趨合理；(2)定理2和推論1說明新方法可靠穩(wěn)定。

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