銷售率線性依賴瞬時庫存水平的兩貨棧決策模型

銷售率線性依賴瞬時庫存水平的兩貨棧決策模型

徐春明,趙道致

(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津300072)

摘要：在成熟期的存貨影響銷售環(huán)境下,考慮銷售率線性依賴瞬時庫存水平,不允許缺貨,研究了一類非變質(zhì)性物品的兩貨棧庫存決策問題.建立了以系統(tǒng)平均總利潤最大為目標(biāo)的決策模型,分析了系統(tǒng)最優(yōu)庫存策略的存在性和唯一性,并給出了求解模型的有效方法.分析結(jié)果表明,庫存管理者利用租用貨棧進(jìn)行訂貨決策時,除了要充分考慮企業(yè)自身的庫存容量外,還取決于自有貨棧產(chǎn)品相關(guān)參數(shù)對庫存系統(tǒng)績效的邊際貢獻(xiàn)率.

關(guān)鍵詞：庫存；兩貨棧；銷售依賴庫存；產(chǎn)品成熟期

收稿日期：2014-03-04

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71072155)

作者簡介：徐春明(1980-),男,滿族,河北承德人,講師,博士研究生,研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理、庫存模型及其優(yōu)化等；趙道致(1956-),男,江蘇無錫人,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:物流與供應(yīng)鏈管理,運(yùn)營管理等。

中圖分類號：0227文章標(biāo)識碼：A

Two-warehouse Decision Model for Single Product with Selling Rate

Linearly Depends on Inventory Level

XU Chun-ming, ZHAO Dao-zhi

(CollegeofManagementandEconomics,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

Abstract:In the product mature period, a two-warehouse inventory problem is investigated for single product with stock-dependent selling rate, which is linearly dependent on current stock level. Shortages are not allowed. The decision model with the goal of maximizing the total average profit is developed, the existence and uniqueness of optimal replenishment policy are showed, and then a simply solution procedure for optimal strategy is given. The number results are listed: when rented warehouse policy is used, inventory managers not only fully consider their own inventory capacity, but also consider some related own warehouse inventory parameters’ margin contribution ratio.

Key words: inventory; two warehouse; linear form stock-dependent selling rate; mature period

0引言

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量(EOQ)模型一般假定貨物存儲于單一貨棧且空間容量無限大.但現(xiàn)實(shí)中,由于受資金、技術(shù)等客觀因素的制約, 任何貨棧的存儲容量都是有限的.通常,如遇到批量購買可獲得價格折扣、預(yù)期顧客的需求隨時間逐漸增大等情形時,銷售商訂購的貨物往往會超出自有貨棧(own warehouse, OW)容量的限制.考慮到修建新貨棧投入成本過大的影響,銷售商一般將訂購超出的部分存放于較OW庫存維護(hù)成本更高的租用貨棧(rented warehouse, RW).近年來,許多研究者已經(jīng)就兩貨棧問題展開了一定的研究.Hartely[1]最早研究了兩貨棧問題,并提供了一個確定最優(yōu)補(bǔ)貨策略的啟發(fā)式算法.Sarm[2]建立了一個非變質(zhì)性物品的兩貨棧模型.Yang[3]則考慮變質(zhì)、缺貨及通貨膨脹等因素,發(fā)展了一類兩貨棧模型.最近,Lee和Hsu[4]在有限的計(jì)劃期內(nèi),就變質(zhì)和時變需求等情形,建立了兩貨棧生產(chǎn)庫存模型.Debasis等[5]假定缺貨但完全拖后補(bǔ)足,研究了一類變質(zhì)物品的兩貨棧問題,并利用遺傳(GA)算法求解了模型.陸鐳[6]則考慮增加量價格折扣將兩貨棧系統(tǒng)作了進(jìn)一步擴(kuò)展.Vishnoi和Shon[7]針對非立即變質(zhì)、短缺量部分拖后以及延期支付等情形,構(gòu)造了一類兩貨棧庫存模型.

上述模型大都未考慮貨架庫存持有量對銷售的影響.然而,在超市、賣場等零售場所,常常會出現(xiàn)存貨影響銷售的現(xiàn)象[8],即:商品在貨架上擺放得越多,越能吸引更多的顧客購買.近年來,許多學(xué)者對存貨影響銷售的庫存問題進(jìn)行了研究[9-11].需求是庫存問題中非常重要的特征,不同形式的需求反映了不同的市場環(huán)境,由此帶來的庫存問題也就不同.值得一提的是,在產(chǎn)品成熟期的存貨影響銷售環(huán)境中,購買者從少數(shù)人轉(zhuǎn)向了基本的消費(fèi)者,顧客需求除了受擺放庫存等營銷方式的影響外,對產(chǎn)品的接受和認(rèn)可程度已變得相對穩(wěn)定,即銷售率在庫存周期的開始階段隨擺放庫存量的減少而減少,而后隨著庫存量的減少逐步趨于穩(wěn)定的常數(shù).為此,Mandal和Phaujdar[12]提出了具有代表性的需求形式,也稱線性形式的銷售率,即D(I(t))=D0+αI(t), 其中,D0為正的常數(shù)α>0,I(t)為t時刻的庫存水平.隨后,許多學(xué)者對此類型的需求分別從不同角度進(jìn)行了研究.如,Wu等[13]建立了變質(zhì)率和短缺量拖后率均為時變的庫存模型,通過優(yōu)化庫存訂購周期探討了庫存系統(tǒng)的平均總成本.Sarkar等[14]則考慮短缺拖后率和變質(zhì)率均為時變的情形,進(jìn)一步拓展了存貨影響銷售的庫存模型.最近,Sarkar[15]在信用支付和產(chǎn)品存在損壞的條件下,研究了一類庫存問題.注意到實(shí)際的市場環(huán)境中存在兩層信用支付現(xiàn)象,即供應(yīng)商為了激勵訂貨, 會給下游零售商一個固定的信用支付期限,而零售商為了取悅顧客,也會給予顧客一定的信用策略,Min等[16]研究了一類供應(yīng)鏈庫存模型.

然而,上述提及有關(guān)產(chǎn)品成熟期的存貨影響銷售環(huán)境的庫存模型都是在單一貨棧的框架內(nèi)進(jìn)行的討論,并未涉及貨棧選擇的問題.而在現(xiàn)實(shí)的零售環(huán)境中,較高的貨架庫存持有量能夠刺激顧客的需求,銷售商為保持現(xiàn)有的市場份額通常會利用租用貨棧進(jìn)行存貨儲備.但同時注意到,租用貨棧的存貨也會帶來較高的租用庫存維持成本以及由產(chǎn)品配送所產(chǎn)生的運(yùn)輸成本,在此情形下,權(quán)衡是否采用租用貨棧對庫存管理者來說至關(guān)重要.基于此,本文研究了一類銷售率線性依賴庫存水平的兩貨棧庫存決策模型.旨在解決銷售商周期初訂貨時的訂貨量以及是否租用貨棧.通過優(yōu)化庫存系統(tǒng)的平均總利潤,分析庫存系統(tǒng)最優(yōu)策略的存在和唯一性,并給出有效的求解方法,最后用數(shù)值例子和靈敏度分析對模型進(jìn)行說明.

1模型的假設(shè)與記號

(1)假定系統(tǒng)內(nèi)存放的物品為非變質(zhì)性物品,即不考慮物品在存放過程發(fā)生諸如損壞、腐爛及性能衰退等變質(zhì)行為.不允許缺貨,瞬時補(bǔ)貨,提前期為零,補(bǔ)貨率無限大;

(2)系統(tǒng)采用兩種方式存貨,即RW存貨和OW存貨,RW無容量限制,OW的限制容量為W;

(3)假定銷售商在周期初訂貨時面臨兩種選擇:一種選擇是訂貨量未超過OW的容量,即無需租用貨棧,此時系統(tǒng)只研究單一貨棧(OW)庫存水平的運(yùn)行;另一種選擇是訂貨量超過OW的容量,即需租用貨棧,此時系統(tǒng)研究兩貨棧(OW和RW)的庫存水平的運(yùn)行;

(4)假定OW為展區(qū),可直接銷售,RW距離OW很近,為保持OW有較高庫存量來吸引顧客,從而獲得更多的收益,假設(shè)銷售商從RW到OW補(bǔ)貨采用(S-1,S)策略[17],即每銷售一單位的產(chǎn)品就立即從RW配送給OW一單位的產(chǎn)品進(jìn)行補(bǔ)足,待RW內(nèi)物品完全耗盡后,才開始銷售OW的物品.考慮到貨架展示的庫存越多越能刺激顧客的需求,這里令S=W。運(yùn)輸費(fèi)用依賴于運(yùn)貨量,并令CT為單位物品的運(yùn)輸費(fèi),忽略每次運(yùn)輸?shù)臅r間及OW物品的運(yùn)輸費(fèi)用;

(5)物品t時刻的RW庫存水平為Ir(t),OW庫存水平Io(t),受OW瞬時庫存水平等因素的影響,銷售率為D(Io(t))=D0+αIo(t),其中：D0為常數(shù),α為物品OW的庫存影響銷售因子;

模型所用記號如下：

(6)K表示一次訂貨的訂貨成本;hr,ho分別表示RW和OW內(nèi)單位時間單位庫存的維護(hù)成本,且hr>ho;P表示物品的單位售價,C表示物品的單位購買成本,且P>C;Qr,Qo分別表示RW和OW周期初物品的訂貨量,Q表示周期初銷售商訂購物品的總量(決策變量),特別地,當(dāng)系統(tǒng)需租用貨棧時,Q=W+Qr,當(dāng)系統(tǒng)不租用貨棧時,Q=Qo;

(8)ATP(Q)表示銷售量為Q時系統(tǒng)所獲得的平均總利潤.

2模型的構(gòu)建與求解

圖1　庫存系統(tǒng)示意圖

(1)需租用貨棧的情形

在RW系統(tǒng)內(nèi),影響物品庫存水平的因素為顧客的需求.而此階段OW內(nèi)保持初始庫存量不變.則物品的庫存水平變化可描述為：

(1)

由式(1), 根據(jù)邊界條件Ir(t1)=0, 解得

Ir(t)=(D0+αW)(t1-t),0≤t≤t1

(2)

可得RW物品的存貨量為

Qr=Ir(0)=(D0+αW)t1

(3)

RW的物品消耗完畢后,OW庫存水平的運(yùn)行情況可表示為:

(4)

(5)

由式(5), 則OW物品的存貨量為

(6)

綜上,由銷售物品所獲得的收益及產(chǎn)生的相關(guān)成本如下:

1)銷售周期內(nèi)的總收益：P(Qr+Q0)=P[(D0+αW)t1+W];

2)銷售周期內(nèi)的購買成本：C(Qr+Q0)=C[(D0+αW)t1+W];

3)銷售周期內(nèi)的運(yùn)輸成本：CT(D0+αW)t1;

4)銷售周期內(nèi)的庫存維護(hù)成本：

再考慮一次訂購成本K,得到需租用貨棧情形的物品平均總利潤函數(shù)為:

(7)

(2)無需租用貨棧的情形

(8)

由I0(t2)=0解得

I0(t)=D0[eα(t2-t) -1]/α,0≤t≤t2

(9)

于是,由式(9)可得OW物品的存貨量為

Q0=I0(0)=D0[eαt2-1]/α

(10)

綜上,由銷售物品所獲得的收益及產(chǎn)生的相關(guān)成本如下:

1)銷售周期內(nèi)的總收益:PQ0=PD0[eαt2-1]/α;

2)銷售周期內(nèi)的購買成本:CQ0=CD0[eαt2-1]/α;

類似租用貨棧的情況,考慮銷售周期內(nèi)物品的銷售收益、購買成本、庫存維護(hù)成本和一次性訂購成本,得到無需租用貨棧情形的平均總利潤函數(shù)為:

(11)

通過上述對租用貨棧和無需租用兩種情形下庫存系統(tǒng)的收益、相關(guān)成本及平均利潤函數(shù)的討論,給出下面的分段函數(shù):

因此,本文的庫存決策模型表示為

maxATP(Q)

(12)

我們的目標(biāo)是:(1)是否需要租用貨棧?(2)確定最優(yōu)的訂貨總量Q*使得系統(tǒng)的平均利潤函數(shù)ATP(Q)最大.首先分析ATPr(t1)和ATP0(t1)取得極值的一階必要條件,即

(13)

和G2(t2)=D0[(P-C)eαt2-h0(eαt2-1)/α]t2-

[(P-C)D0[eαt2-1]/α-h0D0[eαt2-αt2-1]/α2-K]

(14)

對于G1(t1)和G2(t2),可得下面的引理.

下面給出函數(shù)ATPr(t1)和ATP0(t2)最優(yōu)解的性質(zhì)定理.

上述定理論證了銷售商在使用租用貨棧時的訂貨策略.但對于銷售商來說,戰(zhàn)略性的選擇是否租用貨棧以及最優(yōu)的訂貨量還需考慮單一貨棧的情形,下面給出單一貨?？蚣芟碌挠嗀洸呗?

3數(shù)值例子和靈敏度分析

為說明本文模型,給出如下例子.

例1已知W=100,K=100,D0=300,hr=2,h0=1.5.若需租用貨棧,則從該RW運(yùn)送到OW的單位運(yùn)輸費(fèi)用為CT=0.5.試根據(jù)下面兩種情況制定該商品的進(jìn)貨策略.(1)P=10,C=5,α=0.2;(2)P=30,C=15,α=0.3.

例2分別以例1(1)、(2)為基礎(chǔ), 通過數(shù)值仿真分析庫存容量W,訂購成本K,單位運(yùn)輸成本CT及庫存影響銷售因子α對兩貨棧庫存系統(tǒng)最優(yōu)訂貨策略的影響.當(dāng)每個參數(shù)變化時其他參數(shù)保持不變,計(jì)算結(jié)果如下表.由表1～2,可以得到如下結(jié)論.

(1)OW的庫存容量W對訂購周期T*、訂貨量Q*以及平均利潤ATP(Q*)均影響較大.具體來說,對α(P-C)-h0>0的情形(見表2),當(dāng)容量W增大時,平均利潤ATP(Q*)、訂購周期T*均增大,庫存系統(tǒng)的訂貨策略都是租用貨棧并增大訂貨量.此種情況表明,當(dāng)自有貨棧相關(guān)參數(shù)的邊際貢獻(xiàn)率為正時,可通過擴(kuò)容自有貨棧且增大租用貨棧的訂貨量等庫存控制策略來提升庫存系統(tǒng)的平均利潤績效.然而,對α(P-C)-h0<0的情形(見表1),隨著容量W增大時,平均利潤ATP(Q*)增大后穩(wěn)定于某一固定值,貨棧選擇也由租用貨棧變?yōu)榱藷o需租用貨棧.此種情況表明,當(dāng)OW的庫存容量較大且其相關(guān)參數(shù)的邊際貢獻(xiàn)率為負(fù)時,通過租用貨棧增大訂貨量的方法不但不會增加系統(tǒng)的平均利潤,還會因租用貨棧的成本和運(yùn)輸成本的增加抵消因增加訂貨量而獲得的利潤,采用自有貨棧擴(kuò)容且無需租用貨棧是庫存系統(tǒng)的最優(yōu)選擇.因此,庫存管理者在權(quán)衡是否租用貨棧時,除了要充分考慮企業(yè)自身的庫存容量外,還需評估自有貨棧產(chǎn)品相關(guān)參數(shù)對庫存績效的邊際貢獻(xiàn),即比較α,p,c,h。等經(jīng)濟(jì)參數(shù)間的關(guān)系對平均總利潤的影響.

(2)當(dāng)訂購成本K增加時, 系統(tǒng)最優(yōu)平均利潤ATP(Q*)減少, 最優(yōu)周期T*和最優(yōu)訂貨量Q*及租用貨棧的存放量均增加;當(dāng)單位運(yùn)輸成本CT增大時,ATP(Q*)、T*、Q*及租用貨棧的存放量均減少;而當(dāng)庫存影響銷售因子α逐漸增大時,ATP(Q*)、T*、Q*及租用貨棧的存放量均增加.但訂購成本K,單位運(yùn)輸成本CT及庫存影響銷售因子α的變化對兩貨棧庫存系統(tǒng)最優(yōu)訂貨策略影響均較小,易于庫存管理人員的實(shí)際操作.

表1　例1(1)各庫存參數(shù)的靈敏度分析

表2　例1(2)各庫存參數(shù)的靈敏度分析

4結(jié)束語

在產(chǎn)品成熟期的市場環(huán)境下,本文考慮銷售率是瞬時庫存水平的線性函數(shù),建立了一類非變質(zhì)性物品決策模型,對庫存系統(tǒng)最優(yōu)策略的存在和唯一性進(jìn)行了詳細(xì)的討論,并給出了一個有效的求解方法,最后用數(shù)值例子和靈敏度分析對所建模型進(jìn)行了說明,并給出了管理的建議.本文模型可為相關(guān)企業(yè)科學(xué)決策提供依據(jù),如：在一些商業(yè)密集、顧客聚集地區(qū)的品牌專賣店、文具用品店等,為滿足顧客的需求,銷售商們會通過擺放大量的商品在展區(qū)和賣場,來刺激消費(fèi)者的購買欲望,但這種銷售方式需要具備較高的儲貨能力,對管理者來說,需要準(zhǔn)確評估OW的存儲水平及比較α,P,C,h0等經(jīng)濟(jì)參數(shù)間的關(guān)系,權(quán)衡是否租用貨棧等.為使模型更貼近現(xiàn)實(shí),進(jìn)一步研究可考慮:放松OW補(bǔ)貨的終止條件以及銷售率受庫存水平和價格的影響等.

參考文獻(xiàn)：

[1]Hartely V R. Operations Research: a managerial emphasis[M]. Santa Monica, Canada: Good Year, 1976: 315-317.

[2]Sarma K V S. A deterministic inventory model with two level of storage and an optimum release rate[J]. Opsearch, 1983, 20(1): 175-180.

[3]Yang H L. Two-warehouse inventory models for deteriorating items with shortages under inflation[J]. European Journal of Operational Research, 2004, 157(2): 344-356.

[4]Lee C C, Hsu L S. A two-warehouse production model for deteriorating inventory items with time-dependent demands[J]. European Journal of Operational Research, 2009, 194(3): 700-710.

[5]Debasis D, Mohuya B K, Arindam R, Samarjit K. Two-warehouse production inventory model for a deteriorating item with time-varying demand and shortages: a genetic algorithm with varying population size approach[J]. Optimization and Engineering, 2013(1): 1-19.

[6]陸鐳.一個帶有增加量價格折扣的兩貨棧庫存模型[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報,2007,11(4):77-84.

[7]Vishnoi M, Shon S K . Two levels of storage model for non-instantaneous deteriorating items with stock dependent demand, time varying partial backlogging under permissible delay in payment[J]. International Journal of Operations Research and Optimization, 2010, 1(1): 133-147.

[8]Levin P I, Mclaughlin C P, Lamone R P, Kottas J F. Production/operations management: con-temporary policy for managing operating systems[M]. New York: McGraw-Hill, 1972: 373.

[9]Balkhi Z T, Benkherouf L. On an inventory model for deteriorating items with stock dependent and time-varying demand rates[J]. Computers & Operations Research, 2004, 31(2): 223-240.

[10]Alfares H K. Inventory model with stock-level dependent demand rate and variable holding cost[J]. International Journal of Production Economics, 2007, 108(1): 259-265.

[11]Urban T L. Inventory models with inventory-level-dependent demand: a comprehensive review and unifying theory[J]. European Journal of Operational Research, 2005, 162(3): 792-804.

[12]Mandal, B N, Phaujdar, S. An inventory model for deteriorating items and stock-dependent consumption rate[J]. Journal of the Operational Research Society, 1989, 40(5): 483-488.

[13]Wu K S, Ouyang L Y, Yang C T. An optimal replenishment policy for non-instantaneous deteriorating items with stock-dependent demand and partial backlogging[J]. International Journal of Production Economics, 2006, 101(2): 369-384.

[14]Sarkar B, Sarkar S. An improved inventory model with partial backlogging, time varying deterioration and stock-dependent demand[J]. Economic Modelling, 2013, 30(1): 924-932.

[15]Sarkar B. An EOQ model with delay in payments and stock dependent demand in the presence of imperfect production[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 218(17): 8295-8308.

[16]Min J, Zhou Y W, Zhao J. An inventory model for deteriorating items under stock-dependent demand and two-level trade credit[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(11): 3273-3285.

[17]Wang Y, Gerchak Y. Supply chain coordination when demand is shelf-space dependent[J]. Manufacturing & Service Operations Management, 2001, 3(1): 82-87.