以形助數(shù) 以數(shù)解形

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密有序性、數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯性、數(shù)學(xué)方法的多樣性是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)極其重要的因素。數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的一項基本技能。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)建直觀的圖形來展現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的演練和推導(dǎo)過程，以此簡化運算過程，提高解題效率。本文以湘教版數(shù)學(xué)教科書中的實際內(nèi)容為例，探討如何以形助數(shù)、以數(shù)解形，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)運算能力;數(shù)形結(jié)合思想

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）32-0075-02

引 言

數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象六個方面，數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，也是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的一項基本技能。數(shù)與形在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，直觀的圖形有助于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，直觀的圖形也需要數(shù)的支撐和表達(dá)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，教師們常通過直觀的幾何圖形來展現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的演練和推導(dǎo)過程，使學(xué)生理解代數(shù)與幾何的聯(lián)系，探究其內(nèi)在的運算規(guī)律和本質(zhì)特征。本文以湘教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書中的內(nèi)容為例，探討如何以形助數(shù)、以形解數(shù)，解決初中數(shù)學(xué)運算的演練、推導(dǎo)和拓展運用等問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、整式乘法

整式乘法是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生基礎(chǔ)運算能力的體現(xiàn)，特別是對多項式與多項式的乘法，更是學(xué)習(xí)過程中的易錯點。因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)建構(gòu)幾何模型，搭建起數(shù)與圖形的橋梁，使解題過程更加直觀，以此若幫助學(xué)生理解運算的來龍去脈，掌握正確的運算方法，發(fā)展運算能力。

例1.計算：（a+b）（m+n）

通過圖形可以直觀地看到運算規(guī)律，從而歸納得到：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

【拓展運用】

二、乘法公式

乘法公式在初中數(shù)學(xué)的計算過程中同樣有著舉足輕重的地位，無論整式乘法還是因式分解，都在反復(fù)地運用乘法公式進(jìn)行運算。為避免機械重復(fù)，教師通常會發(fā)現(xiàn)一些運算的特點和規(guī)律，并將這些特點和規(guī)律總結(jié)提煉成計算公式，然后運用公式進(jìn)行計算，使得數(shù)學(xué)的解題過程更簡單清晰，更不易出錯。

例2.如圖3-1所示：將一個邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，再將這兩個長方形拼成如圖3-2所示，從這兩個圖形來看，我們能建立怎樣的聯(lián)系？

分析：圖3-1中陰影部分的面積為：;圖3-2中陰影部分的面積為：（a+b）（a-b）;

由此可得：a2-b2（a+b）（a-b），我們稱之為平方差公式。

例3.如圖4所示的正方形。

正方形的面積為（a+b）2，也是如圖所分割成的4個部分面積、、、之和。

因此：，我們稱之為完全平方公式。

【拓展運用】

計算：（a+b+c）2

分析：構(gòu)建如圖5所示的正方形。由此可得正方形的面積為（a+b+c）2，也相當(dāng)于按照如圖所分割成的9個部分面積之和。

∴（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

學(xué)生經(jīng)歷了乘法公式的演練、推導(dǎo)過程，深刻地理解了公式的本質(zhì)特征，并能熟練地運用乘法公式靈活、正確地進(jìn)行計算。

三、勾股定理

勾股定理是一個基本的幾何定理，它是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理，是用代數(shù)思想解決幾何問題的重要工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的，其實，根據(jù)我國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》記載，早在公元前11世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了這一數(shù)學(xué)定理，并提出了“勾三、股四、弦五”，比畢達(dá)哥拉斯早了至少500年。

下面主要來探討兩種常用的證明方法，以加深學(xué)生對勾股定理的理解，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗數(shù)形結(jié)合思想，形成基本的運算能力和抽象思維能力[1]。

例4.圖6-1是2002年在北京召開的第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽，圖6-2是應(yīng)用了三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時創(chuàng)制的“勾股圓方圖”。圖6-1是由四個全等的直角三角形再加上一個小正方形組成的，每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，則中間的小正方形邊長為b-a，由此可得出下關(guān)系：

這是我國古代數(shù)學(xué)家最早對勾股定理的證明，方法別具匠心，極富創(chuàng)新意識，既嚴(yán)密又直觀，體現(xiàn)了“形數(shù)統(tǒng)一”的重要思想方法，在世界數(shù)學(xué)史上具有重要貢獻(xiàn)。

例5.圖7是由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形構(gòu)成的直角梯形。（美國總統(tǒng)加菲爾德利用面積法來證明，即利用3個三角形的面積與1個梯形的面積相等的關(guān)系來證明。）

勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，在直角三角形中，若已知直角三角形的任意兩邊長，我們就可以求出第三條邊的長。

【拓展運用】

在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四邊形ABCD的面積.

分析：作輔助線AC，使得四邊形ABCD變成兩個三角形，即△ABC，△ACD（見圖8）。要想求出四邊形ABCD的面積，可以轉(zhuǎn)化為求△ABC和△ACD的面積之和。

解：連接AC

結(jié)? ?語

利用以形助數(shù)、以數(shù)解形的方法來解決初中數(shù)學(xué)運算的演練、推導(dǎo)和拓展運用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必要的解題策略。數(shù)與形在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，一些數(shù)學(xué)的運算問題往往隱藏著幾何文化背景，需要借助它所蘊藏的幾何圖形性質(zhì)和蘊含的文化故事，使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得更加直觀，運算變得更加簡便。因此，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中有重要地位，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的思維方法。

[參考文獻(xiàn)]

[1]俞求是.中國古代勾股定理發(fā)現(xiàn)過程的猜想和探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（02）：62-64.

基金項目：本文系2020年貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)下數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究”（課題編號：2020B079）的研究成果。

作者簡介：楊州（1976.8—），男，貴州思南人，高級教師。