多頻率衰減振動系統(tǒng)阻尼參數(shù)識別

第一作者霍兵勇男，博士，講師，1979年生

多頻率衰減振動系統(tǒng)阻尼參數(shù)識別

霍兵勇，易偉建

(湖南大學土木工程學院，長沙410082)

摘要：自由衰減信號在工程應用中十分常見，從沖擊響應信號中識別真實準確的諧波參數(shù)就成為實驗研究的關鍵，相關的參數(shù)識別研究不斷深入，介紹一種識別阻尼的方法，包括3方面內(nèi)容：①考慮自由衰減信號的諧噪比和阻尼因素，討論了兩個因素對參數(shù)識別的影響。②針對不同頻率諧波的參數(shù)識別，先進行必要的信號前處理：截取有效信號長度后再截取周期整數(shù)倍部分，對稱增加一倍信號。③用細化頻譜識別諧波頻率和初相位，反卷積方法識別諧波振幅的真實衰減過程。仿真模擬和實驗信號分析證明理論方法的可行性和優(yōu)越性，即無需假設阻尼模型，識別得到的諧波振幅隨時間變化的時域序列。為實驗揭示系統(tǒng)阻尼特性提供一種實用有效的技術方法。

關鍵詞：沖擊響應；細化頻譜；諧噪比； 阻尼比； 反卷積

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-07-30

中圖分類號:TN911.72文獻標志碼：A

Damping parameter identification by using free-decay response with the help of discrete deconvolution technique

HUOBing-yong,YIWei-jian(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract:The free-decay response (FDR) of dynamical system has been widely used for the identification of structural parameters in many fields of engineerings, and comprehensive studies results have been available in related literatures. A new approach was proposed for identifying the damping ratio by using FDR. The approach includes three main contents: ①analyzing the accuracy of the identified parameters in consideration of the influences of damping ratio and harmonic-to-noise ratio (HNR); ②for different frequency harmonics, performing the necessary preprocessing of the digital signal, i.e. intercepting a whole number of multiples of harmonic period from an effective signal, and symmetrically doubling the signal; ③using discrete deconvolution technique in the identification of damping ratio. The results show that the proposed approach is capable of identifying the structural parameters with acceptable accuracy, and provides an efficient way for revealing the structural damping characteristics and estimating the structural parameters. The approach does not need to depend on a prior knowledge of damping model, and the time sequence reflecting the change of harmonic amplitude can be achieved.

Key words:free-decay response; zoom spectrum; harmonic to noise ratio; damping ratio; discrete deconvolution

沖擊響應信號在工程應用中非常普遍[1-4]，其參數(shù)識別方法也有廣泛討論[5-7]，沖擊響應信號中往往含有多個頻率諧波，各頻率諧波信號不斷衰減最終都淹沒在噪聲中，實踐中采集信號的長度一般依照信噪比(SNR)；多數(shù)研究中識別方法的數(shù)值模擬采用高斯白噪聲(Gaussian noise)[8]，有的還進一步討論了瞬時SNR，但自由響應信號中高頻諧波信號衰減的時間往往較短，信號中各頻率諧波的參數(shù)識別，都用同樣的信號長度，而沒有對具體頻率諧波的衰減情況選擇合適的信號長度，諧噪比(Harmonic to Noise Ratio,HNR)是某個頻率諧波信號對噪聲的比率，是關系到具體頻率諧波參數(shù)識別的直接因素，諧噪比在過去研究中已有關注[9-10]，但在沖擊響應信號的參數(shù)識別研究中較少注意這一因素。

現(xiàn)有識別方法和設計中一般對阻尼采用非比例[11-13]或者比例假設[14]，依賴這些假設模型，在應用中常常帶來不確定因素，實際結構沖擊響應中諧波振幅的真實變化仍然未知；工程應用中不同方法識別得到的頻率一般都比較吻合，但阻尼比的值卻有差異。

本研究采用細化頻譜方法識別諧波頻率和初相位，討論了HNR和阻尼比對沖擊響應信號頻率和初相位識別的影響，進而應用離散傅里葉變換(DFT)卷積和反卷積性質，實現(xiàn)了對沖擊響應信號的參數(shù)識別；識別過程中對信號采取了一系列的必要前處理措施，這些措施與參數(shù)識別的原理緊密結合，并有一定通用性；對阻尼的識別得到諧波振幅的真實變化過程，為實際工程中動力實驗方法探索結構阻尼特性提供一種實用的數(shù)字信號參數(shù)識別方法。

1HNR和阻尼比對頻率和初相位識別的影響

自由衰減信號中一般包含多個頻率諧波，表達式可以寫成：

(1)

式中：f為諧波頻率，A為振幅，θ為初相位，ζ為阻尼比；

由于噪聲的存在，實際工程中采集的自由響應信號最終會消失在噪聲中，其中高頻諧波信號衰減的時間往往較短，低頻諧波未完全衰減的時候，高頻諧波早已被噪聲淹沒，若把自由衰減信號依次分段，對每段信號分別進行DFT，不妨把頻譜峰值明顯的時域信號區(qū)段稱作對該譜峰對應的頻率諧波的有效信號。這樣在識別自由衰減信號的各個諧波參數(shù)時，可以先確定各頻率諧波信號的有效信號長度，以減少無效信號帶來的誤差。

經(jīng)典DFT分析是信號頻譜分析的一種基本方法，DFT的表達式[15]：

(2)

(3)

式中：ω=2π/T，T為信號時長，t為采樣間隔，ω為頻域間隔

但是DFT分析中由于基函數(shù)在分析信號長度上都是整周期，因此頻率的取值受到限制。而細化頻譜打破這種限制，其計算表達式如下：

(4)

細化頻譜表達式中的基函數(shù)在信號長度T上不一定是整數(shù)倍周期，這樣就能使數(shù)字信號的諧波發(fā)生共振而使幅值頻譜達到最大限度的峰值，更精確定位諧波的頻率和初相位。

采用細化頻譜方法分析HNR和阻尼對頻率和初相位識別的影響，為了應用上的方便，這里對有阻尼頻率和無阻尼頻率不加區(qū)分，這樣表達響應結果對參數(shù)值的影響很小[16]。單頻率情況下，SNR和HNR意義完全相同，因此用HNR表示信號和噪聲的對比關系，HNR是關系諧波參數(shù)識辨精度的真實因素，在諧波頻率和初相位識別時，舍去所分析信號中HNR較低的區(qū)段，可以提高諧波參數(shù)識別的精度。無噪聲時，認為HNR=∞；單頻率諧波情況下假設參數(shù)取值：A=4/3，f=100+1/3 Hz，θ=0，阻尼比采用相應曲線中橫坐標對應值，代入式(1)中，采樣長度T=1 s，采樣點數(shù)N=1 024，生成數(shù)字信號。圖1是不同HNR(加入高斯白噪聲，單位dB)情況下細化頻譜識別頻率誤差f*(識別值-理論值)和初相位誤差θ*(識別值-理論值)隨阻尼比的變化；HNR越大，則越接近無噪聲時的誤差，反之則識別誤差變化越大；無噪聲時，阻尼越高識別值誤差越大。

圖1　不同HNR情況下細化頻譜識別 Fig.1 Frequency error f * and initial phase error θ * (identified by zoom spectrum) against damping ratio with different HNR

圖 2　不同頻率諧波細化頻譜識別的頻率誤差和 初相位誤差隨阻尼比的變化情況 Fig.2 frequency error f * and initial phase error θ * against damping ratio with different frequency harmonic without noise

圖2是對不同頻率諧波無噪聲數(shù)字信號進行參數(shù)識別得到的頻率誤差和初相位誤差隨阻尼比的變化情況，很明顯高頻諧波識別誤差均明顯增大。Shannon采樣定理描述了在有效分析頻域區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)某一頻率頻譜的最小采樣間隔，對有阻尼信號最高頻率成分每周期內(nèi)的至少采樣4點，阻尼比高于0.02建議采樣10點以上，以避免因采樣頻率低給參數(shù)識別帶來的較大誤差。在采用某頻率諧波有效長度和保證一定采樣頻率的情況下，總體來說阻尼越高頻率和初相位的識別誤差略微增大，初相位和采樣頻率等參數(shù)不同，識別誤差的差異較??；圖2的分析結果表明：阻尼比在0.03以內(nèi)，頻率誤差一般不超過0.05倍DFT的頻率間隔，初相位誤差一般不超過5°。在以上分析中，橫縱坐標都已有歸一化意義，分析結果具有普遍性。

2識別阻尼的反卷積方法

卷積性質是DFT的重要性質之一，一般來說識別系統(tǒng)的沖擊響應時可以利用反卷積性質[17]，為說明本文利用離散反卷積性質識別阻尼的原理，把式(1)中按單頻率諧波的自由衰減信號采樣得到的數(shù)字信號序列寫成：

x3(kt)=x1(kt)x2(kt)

(5)

其中：

x1(kt)=cos(2πfkt-θ)，x2(kt)=Ae-ζ2πfkt

(6)

相應的DFT：

X1(nω)=DFT[x1(kt)]

X2(nω)=DFT[x2(kt)]

X3(nω)=DFT[x3(kt)]

(7)

依據(jù)離散信號的卷積性質[18]有如下關系成立：

x3(kt)=x1(kt)x2(kt)?X3(nω)=

(8)

實驗中記錄沖擊響應序列x3，頻譜分析可以得到x1的頻率和相位，DFT得到頻域序列X3和X1，通過反卷積求解X2，對X2進行IDFT便可得到x2；由于單邊指數(shù)衰減信號周期延拓時，信號連接處存在較大跳躍，頻譜分析會出現(xiàn)邊界效應，此種情況一般是把識別信號兩端受影響的數(shù)據(jù)舍去，再進行參數(shù)識別[19]，給參數(shù)識別帶來一定不利影響；將x2通過對稱增加一倍信號變成雙邊指數(shù)衰減來避免跳躍，同時還要信號長度是x1的周期整數(shù)倍，依據(jù)x1的相位確定是軸對稱還是點對稱，保證不因對稱增加信號長度而使x1產(chǎn)生跳躍而發(fā)生頻率泄露(為充分保證初相位識別值的精度，一般在相位對稱處截取時，諧波一個周期內(nèi)采樣點數(shù)>100)；這樣就可能使用X3中較窄的頻域序列，通過反卷積和IDFT得到能反映諧波振幅真實變化的時域序列x2。

圖3　原始信號及對稱增加一倍信號 后組成的新信號的乘積圖解 Fig.3 The time domain product process of new sequence

參數(shù)識別計算過程用時域和頻域曲線示意，圖3為原始信號及對稱增加一倍信號后組成的新信號的時域乘積過程，圖4為對稱加長后的新信號對應的頻譜。概括起來：截取和對稱是為了時域乘積的兩個信號周期延拓時避免邊界跳躍，同時參與乘積的兩個序列DFT后，在頻域內(nèi)避免頻譜泄漏，構造符合卷積原理的信號。

圖4　對稱后的新信號對應的頻譜 Fig.4 The frequency domain product process of new sequence

3實驗數(shù)據(jù)應用

式(8)是數(shù)字信號DFT普遍的規(guī)律，由以上分析可知，不需要對阻尼模型進行假設，便可以還原一個反映諧波振幅變化的時域序列，把識別阻尼的過程概括如下：

(1)實驗得到自由衰減振動信號。

(2)依據(jù)DFT頻譜譜峰粗略確定信號中可能諧波頻率，信號分段分別DFT確定各頻率諧波的有效長度。

(3)有效長度內(nèi)對粗略確定的頻率計算細化頻譜，確定更加精確的頻率和初相位。

(4)由頻率和初相位情況對信號進行整周期截取后對稱增加一倍信號得到新的信號x3(見圖3(a))，計算X3(見圖4(a))。

(5)x3重新計算細化頻譜復核頻率和相位，并計算頻域序列X1，見圖4(c)

(6)由X3和X1可以求解X2(見圖4(b))。

(7)對X2進行IDFT得到x2(見圖3(b))，取x2的一半即為頻率諧波振幅變化的時域序列。

對某鋼筋混凝土梁進行脈沖錘擊實驗，工程實際中噪聲是未知的，把安靜環(huán)境下采集的信號近似當做噪聲，沖擊響應信號當做真實響應，采樣長度4 s，采樣點數(shù)65 536，其中一點的加速度響應信號和噪聲見圖5，計算信號的SNR為48 dB。

圖5　沖擊響應信號和噪聲 Fig.5 Impulse response signal and noise

把沖擊響應信號依次分成4段，分別DFT得到的對應頻譜依次為part1,part2,part3,part4，見圖6；信號所含諧波的頻率大約是：9 Hz, 25 Hz, 34 Hz, 53 Hz, 76 Hz；除基頻的有效長度取4 s，其他各頻率，由于后三段信號的頻譜峰值較小，即HNR較小，有效長度均取1 s。53 Hz附近是密集頻率諧波不做分析，對其他4個頻率的諧波采用反卷積方法識別得到振幅變化的時域序列，采用取對數(shù)后的線性擬合法[20]：

ln(x2(kt))=-ζ2πfkt+lnA

(9)

用自然指數(shù)衰減模型來衡量諧波振幅衰減的程度，識別得到阻尼比和振幅值見表1；識別序列和指數(shù)擬合見圖7，結果表明：實驗信號中兩個低頻諧波的振幅先短時增加到峰值后再衰減，而兩個高頻諧波的振幅則瞬時達到峰值且整個衰減過程先快后慢。

圖6　沖擊信號分4段分別DFT的頻譜 Fig.6 The spectrum of four segments

參數(shù)識別值j=1j=2j=3j=4fj/Hz9.2325.1633.8476.28θj/(°)27322021151Aj0.170.370.181.90ζj0.0020.0110.00940.0084

圖7　實驗沖擊響應信號的識別序列和指數(shù)擬合 Fig.7 Identification decay sequence and pseudo linear fitting in an exponential function for four frequency components

理論上按實驗信號峰值兩邊頻譜序列識別阻尼是相同的，而實際會存在差別。頻譜間隔較大，幅值較大的頻率諧波的識別精度較高，幅值較小的頻率易受到周圍泄露頻譜的影響；一般首選頻率間隔較遠，遠離幅值較大的頻率的一邊，且與理論頻域序列較符合的一邊。

4仿真驗證

從工程實際采集的信號中識別得到的參數(shù)正確與否無從辨識，仿照從實測數(shù)據(jù)中識別的諧波參數(shù)擬定理論諧波參數(shù)代入式(1)，采用相同的采樣參數(shù)，加入30 dB高斯白噪聲生成仿真數(shù)字信號，用相同的方法和計算過程識別仿真信號的諧波參數(shù)和阻尼比，識別得到的時域序列、理論假設衰減曲線和識別序列指數(shù)擬合的阻尼比和振幅見圖8。理論參數(shù)和參數(shù)識別值列于表2；理論模擬結果表明：識別的阻尼序列可以真實反映假設阻尼的趨勢，而且參數(shù)識別值與理論值一致。

各頻率頻譜混疊程度隨各頻率間隔和幅值大小而不同，混疊越大對識別結果影響越大，在相對獨立幅值較大的頻譜中識別的阻尼具有更高的可靠性。

表2　假設信號各頻率諧波參數(shù)和參數(shù)識別值

圖8　沖擊響應中各頻率諧波假設衰減， 識別的衰減序列和序列的指數(shù)擬合 Fig.8 The comparison of the exponential assumption, pseudo linear fitting and identification sequence for each frequency component

5結論

本文采用細化頻譜方法識別諧波的頻率和初相位，分析了沖擊響應信號中阻尼比和HNR因素對參數(shù)識別的影響，依據(jù)DFT卷積和反卷積性質得到諧波振幅變化的時域序列，再用假設模型近似衰減的程度，得到振幅和阻尼比；為研究結構阻尼性質提供更多的有價值信息。仿真模擬驗證了本方法的可行性和正確性，對實驗信號的分析表明：在實踐中的實用性和優(yōu)越性。具體而言，識別方法對阻尼模型無任何要求，任何形式的振幅變化均可識別；識別得到的諧波振幅隨時間變化的時域序列。頻域內(nèi)的密集頻譜會影響本方法的識別精度。

參考文獻

[1]Yi Wei-jian, Zhou Yun, Kunnath S, et al. Identification of localized frame parameters using higher natural modes [J]. Engineering Stuuctures, 2008, 30(11): 3082-3094.

[2]Neild S A, Williams M S, Mcfadden P D. Nonlinear vibration characteristics of damaged concrete beams[J]. Journal of Structural Engineering, 2003, 129(2): 260-268.

[3]Melhem H, Kim H. Damage detection in concrete by fourier and wavelet analyses [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2003, 129(8): 571-577.

[4]Maas S Z, Rbes A, Waldmann D, et al. Damage assessment of concrete structures through dynamic testing methods[J]. Engineering Structures, 2012, 34(1): 351-62.

[5]Ruzzene M, Fasana A, Garibalei L, et al. Natural frequencies and dampings identification using wavelet transform:application to real data[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1997, 11(2): 207-18.

[6]Kareem A, Gurley K. Damping in structures: its evaluation and treatment of uncertainty [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1996, 59(2-3): 131-57.

[8]Chen G D, Wang Z C. A signal decomposition theorem with Hilbert transform and its application to narrowband time series with closely spaced frequency components [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(2): 1-22.

[9]Bonilha H S, Dawson A E. Creating a mastery experience during the voice evaluation[J]. Journal of Voice, 2012, 1-7.

[10]Yumoto E, Gould W J, Baer T. Harmonics-to-noise ratio as an index of the degree of hoarseness [J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1982, 71(6): 1544-1550.

[11]Papagiannopoulos G A, Beskos D E. On a modal damping identification model for non-classically damped linear building structures subjected to earthquakes[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2009, 29(3): 583-589.

[12]Sultan C. Proportional damping approximation using the energy gain and simultaneous perturbation stochastic approximation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2010, 24(7): 2210-2224.

[13]Adhikari S. Damping models for structural vibration[D]. Cambridge; Trinity College, Cambridge, 2000.

[14]Woodhouse J. Linear damping models for structural vibration [J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 215(3): 547-569.

[15]Kraniauskas P. Transforms in signals and systems [M]. The Great Britain: Addison-Wesley, 1992.

[16]Chopra A K. Dynamics of structures theory and applications to earthquake engineering[M]. 3 ed. London: Prentice Hall, 2006.

[17]Fasana A, Piombo B A D. Identification of linear mechanical systems by deconvolution techniques[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1997, 11(3): 351-373.

[18]Oppenheim A V, Schafer R W. Discrete-time signal processing [M]. 3 ed. London: Prentice Hall, 2009.

[20]Staszewski W J. Identification of damping in MDOF systems using time-scale decomposition[J]. Journal of Sound and Vibration, 1997, 203(2): 283-305.