有爭(zhēng)議的碰撞恢復(fù)系數(shù)研究進(jìn)展

有爭(zhēng)議的碰撞恢復(fù)系數(shù)研究進(jìn)展

姚文莉1， 岳嶸2

(1.青島理工大學(xué)理學(xué)院，山東青島266520; 2.山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島266590)

摘要：碰撞恢復(fù)系數(shù)是研究碰撞問題的重要且頗具爭(zhēng)議的參數(shù)，對(duì)于該參數(shù)爭(zhēng)議的焦點(diǎn)在于：①哪一個(gè)碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義更合理；②碰撞恢復(fù)系數(shù)是否只與材料相關(guān)；③可否表達(dá)為其他變量的函數(shù)；④是否還存在其他更穩(wěn)定的碰撞過程中的不變量；⑤不同類型的碰撞恢復(fù)系數(shù)如何應(yīng)用。圍繞上述焦點(diǎn)問題，從定義等價(jià)性、優(yōu)劣、研究方法以及應(yīng)用方式等各個(gè)角度進(jìn)行了回顧，分析了利用碰撞恢復(fù)系數(shù)來解決碰撞問題中存在的問題，并探討了今后的研究發(fā)展方向。

關(guān)鍵詞：碰撞恢復(fù)系數(shù)；斜碰撞；多體系統(tǒng)；摩擦；瞬時(shí)沖量法

中圖分類號(hào):O313.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.007

Abstract:Restitution coefficient for impact problems is an important and controversial parameter. The controversial problems are as follows: which definition is more appropriate among those in common use; whether or not the coefficients are only related to material of colliding bodies; whether restitution coefficients can be expressed as a function of other variables; whether is there any another coefficient with stable and constant properties during collision; how to use different types of restitution coefficients? Here, revolving around these problems, the review on impact problems was made. The existing problems were analyzed when solving the collision problems by using restitution coefficients and the future study direction was discussed.

基金項(xiàng)目：國(guó)家“973”計(jì)劃(2011GB711106);國(guó)家“863”計(jì)劃(2012AA112002)

收稿日期：2014-05-13修改稿收到日期：2014-09-25

Advance in controversial restitution coefficient study for impact problems

YAOWen-li1,YUERong2(1.School of Sciences, Qingdao Technological University, Qingdao 266520, China;2.College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technoloyg Qingdao 266590, China)

Key words:restitution coefficient; oblique collision; multibody system; friction; instantaneous impulse method

碰撞問題一直以來是動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題[1-4]，如果把解決碰撞問題的方法分為：瞬時(shí)沖量法，連續(xù)接觸力法及有限元法這三種方法的話，碰撞恢復(fù)系數(shù)則是利用瞬時(shí)沖量法來解決剛體系統(tǒng)碰撞問題時(shí)所引入的必要的參數(shù)，對(duì)于只是關(guān)心碰撞前后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而不需要了解碰撞過程中力的細(xì)節(jié)的問題而言，碰撞恢復(fù)系數(shù)的引進(jìn)可以將碰撞過程中的法向及切向解耦，從而得到代數(shù)的而非微分或更為復(fù)雜的方程，這點(diǎn)對(duì)要求快速模擬及實(shí)時(shí)仿真控制系統(tǒng)的問題而言無疑具有極大的吸引力，況且不只在瞬時(shí)沖量法中，在利用連續(xù)接觸力法及有限元法來解決多體系統(tǒng)的碰撞問題時(shí)，碰撞恢復(fù)系數(shù)的引入也有方便之處。

自從牛頓1686年提出碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義并用來解決碰撞問題之后，這個(gè)參數(shù)一直爭(zhēng)議不斷，但并沒有阻擋廣大的研究者及工程師們研究及應(yīng)用該系數(shù)的熱情，在眾多的關(guān)于碰撞問題的研究文獻(xiàn)中，本文提煉出關(guān)于碰撞系數(shù)的爭(zhēng)議性的問題，從定義的方式、優(yōu)劣、研究方法以及應(yīng)用方式等各個(gè)角度進(jìn)行了回顧及分析，并總結(jié)了對(duì)碰撞恢復(fù)系數(shù)未來研究的方向。

1碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義研究

1.1三類定義方式

文獻(xiàn)中出現(xiàn)了各種不同的碰撞恢復(fù)系數(shù)定義方法，按該系數(shù)的定義所表現(xiàn)的物理性質(zhì)，一般可以將其劃分以下為三類：

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)

(1)

(2)動(dòng)力學(xué)碰撞恢復(fù)系數(shù)

牛頓所提出的運(yùn)動(dòng)學(xué)的恢復(fù)系數(shù)直接給出了碰撞前后的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，Poisson認(rèn)為碰撞中之所以會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng)速度的變化，是因?yàn)榱Φ淖饔眯?yīng)，故將碰撞力的沖量引入了定義。他提出用碰撞的恢復(fù)階段和壓縮階段的作用沖量之比作為恢復(fù)系數(shù)的定義：

(2)

(3)能量恢復(fù)系數(shù)

碰撞過程是能量損耗的過程的，一些研究者更傾向于從能量的角度來定義碰撞恢復(fù)系數(shù)[5-10]，其中最著名的還屬Stronge所提出的能量恢復(fù)系數(shù)，他同樣將碰撞過程分為壓縮和恢復(fù)兩個(gè)階段：

(3)

1.2三類碰撞恢復(fù)系數(shù)的等價(jià)性的研究

三種碰撞恢復(fù)系數(shù)等價(jià)性的問題一直受到關(guān)注，多位學(xué)者研究了這個(gè)問題。

Stronge[6]認(rèn)為在粗糙的且斜碰撞過程中滑動(dòng)方向改變的情形下三種恢復(fù)系數(shù)是不等價(jià)的，而當(dāng)物體碰撞發(fā)生在對(duì)心碰撞、正碰撞、光滑碰撞或者是粗糙斜碰撞中滑動(dòng)方向不改變的任何一種情形下，三種恢復(fù)系數(shù)都是等價(jià)的;Stronge[11]在考慮五種滑動(dòng)模式的情況下，通過碰撞法向沖量為變量研究了含摩擦的兩個(gè)硬物體斜碰撞問題，并得到了三種恢復(fù)系數(shù)之間特殊的解析聯(lián)系式，且再次顯示：在斜碰撞情形下，只有滑動(dòng)是單向的情況，這些系數(shù)才是等價(jià)的。

對(duì)于同樣的問題，呂茂烈等[16-17]以沖量形式給出了等價(jià)的條件。

上述研究均是針對(duì)兩個(gè)剛體的碰撞問題，“在兩個(gè)剛體的光滑碰撞問題中，三種恢復(fù)系數(shù)等價(jià)”的結(jié)論是有共識(shí)的，但當(dāng)研究多體系統(tǒng)的多點(diǎn)碰撞問題時(shí)，Pfeiffer[18]的計(jì)算表明：即使碰撞是對(duì)心光滑的正碰撞情形，用運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)計(jì)算的結(jié)果也不同。

總之，三種恢復(fù)系數(shù)不能相互替代，只有在滿足一定的條件下才會(huì)等價(jià)。

1.3三類恢復(fù)系數(shù)的優(yōu)劣討論

碰撞本身是以速度跳斷的方式體現(xiàn)的，牛頓的運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)直接以碰撞前后速度關(guān)系的形式出現(xiàn)，定義最為直接且實(shí)驗(yàn)容易測(cè)定；速度突變的根本原因在于力的極短時(shí)間內(nèi)的累積效應(yīng)，即碰撞力的沖量，Poisson的動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)是從沖量的角度來定義碰撞過程，Kilmister等[20]認(rèn)為從哲學(xué)意義上來講，Poisson更為合理；而碰撞本身是一個(gè)能量消耗的過程，從能量耗散的角度來定義碰撞也更能體現(xiàn)碰撞的本質(zhì)，因此，三類恢復(fù)系數(shù)從碰撞作用不同的角度來定義，各有特點(diǎn)。

從系數(shù)本身的特性及實(shí)用的角度來講，三類碰撞恢復(fù)系數(shù)究竟哪一種更優(yōu)呢？這涉及到按照什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)判最優(yōu)的問題。文獻(xiàn)中對(duì)該問題的研究主要是從以下兩個(gè)方面來進(jìn)行：

(1)哪類恢復(fù)系數(shù)的數(shù)值在碰撞過程中更接近于常數(shù)

不管哪一類恢復(fù)系數(shù)，最初對(duì)于恢復(fù)系數(shù)的定義都是希望能夠得到穩(wěn)定的只與材料有關(guān)的常數(shù)，因此，恢復(fù)系數(shù)在碰撞過程中是否接近于常數(shù)及對(duì)初值的敏感性如何，成為判斷的主要標(biāo)準(zhǔn)。

Andrés等[21]研究了細(xì)長(zhǎng)桿與粗糙的地面相碰撞的情形，分別通過三種恢復(fù)系數(shù)的剛體模型及考慮法向、切向柔度及滑動(dòng)黏滯效應(yīng)的彈簧振子模型進(jìn)行了研究，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)彈簧剛度k→∞時(shí)，相比另外兩種恢復(fù)系數(shù)而言，采用能量恢復(fù)系數(shù)下的剛體模型計(jì)算得到的碰撞后角速度及能量損耗與局部柔化下的更一致。

姚文莉[22]采用同樣的例子，研究了三種恢復(fù)系數(shù)對(duì)初始角的敏感度問題，相對(duì)不同的入射角，Stronge能量恢復(fù)系數(shù)的曲線非常密集，且呈單調(diào)關(guān)系，而Newton運(yùn)動(dòng)學(xué)和Poisson動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)則變化明顯，即對(duì)入射角的敏感度較大。相對(duì)Newton及Poisson恢復(fù)系數(shù)，Stronge恢復(fù)系數(shù)表達(dá)式對(duì)初值的微小變化具有更好的穩(wěn)定性。

(2)能否保證碰撞前后的能量協(xié)調(diào)

Kane[23-24]在將牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)及Whittaker假定綜合應(yīng)用來解決一般多剛體系統(tǒng)碰撞問題時(shí)，針對(duì)某些初始條件，計(jì)算中出現(xiàn)了碰撞后動(dòng)能增加的奇怪現(xiàn)象，隨后，他以 “一個(gè)動(dòng)力學(xué)之謎”為題，將碰撞計(jì)算中所發(fā)生的能量不協(xié)調(diào)的問題提了出來；而Seabra等[25]采用了運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)，通過角坐標(biāo)及正則方程在模擬雙擺問題時(shí)，同樣遇到碰撞后能量增加的不協(xié)調(diào)的問題。

這個(gè)問題使得很多研究者對(duì)于用簡(jiǎn)單的Newton恢復(fù)定律來解決含摩擦的一般多剛體碰撞問題的方法發(fā)生了懷疑，是否碰撞前后能夠保證能量協(xié)調(diào)成為判斷碰撞恢復(fù)系數(shù)優(yōu)劣性的重要標(biāo)準(zhǔn)。

Wang等[26]研究了含摩擦兩維剛體的碰撞問題，他們考慮了可能的碰撞模式，分別選用了Newton恢復(fù)定律及Poisson恢復(fù)定律來計(jì)算碰撞后的能量，在簡(jiǎn)單的桿與粗糙地面的斜碰撞問題中，發(fā)現(xiàn)Newton恢復(fù)系數(shù)依然會(huì)出現(xiàn)能量不協(xié)調(diào)問題，而Poisson則不能；Ivanov[9]分別用三種恢復(fù)系數(shù)研究?jī)审w碰撞問題，通過將分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比，他認(rèn)為能量恢復(fù)系數(shù)更有實(shí)際意義。

Stronge[15]在提出新的能量恢復(fù)系數(shù)之后，采用三種恢復(fù)系數(shù)重新計(jì)算了Kane的算例后發(fā)現(xiàn)：雖然通過動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)計(jì)算的碰撞后能量損失總是為負(fù)值，但它相比于能量恢復(fù)系數(shù)，耗散了過多的能量,于是他認(rèn)為：在三種關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的定義中，能量恢復(fù)系數(shù)是唯一與能量協(xié)調(diào)的。

關(guān)于恢復(fù)系數(shù)優(yōu)劣性的爭(zhēng)論一直在持續(xù)，Djerassi[12-14]在近年的連續(xù)三篇文章中，分別基于三種不同的恢復(fù)系數(shù)，采用Routh的半圖解方法及庫(kù)侖摩擦模型，研究了簡(jiǎn)單非完整系統(tǒng)的單點(diǎn)碰撞問題，結(jié)果顯示:當(dāng)碰撞過程中有粘滯或反向滑動(dòng)發(fā)生時(shí)，Routh方法的并入并不能阻止采用Newton恢復(fù)系數(shù)時(shí)所帶來的動(dòng)能增加，對(duì)于Poisson假定而言，系統(tǒng)存在唯一、能量一致的解，而同樣采用Stronge的能量恢復(fù)系數(shù)時(shí)則應(yīng)用范圍明顯變窄。

Stronge針對(duì)上述觀點(diǎn)進(jìn)行了回應(yīng)，他認(rèn)為上述觀點(diǎn)的原因在于作者誤解了能量恢復(fù)系數(shù)的物理含義而在系統(tǒng)上強(qiáng)加了由Poisson系數(shù)表達(dá)的沖量比的人工約束。對(duì)于含摩擦的斜碰撞而言，三種定義的恢復(fù)系數(shù)會(huì)得到碰撞后速度及能量損耗的不同結(jié)果，當(dāng)三者取值相同時(shí)，三種定義下恢復(fù)系數(shù)產(chǎn)生的能量改變滿足ΔEp≤ΔEs≤ΔEN(其中ΔEp、ΔEs、ΔEN分別代表Poisson、Stronge及Newton恢復(fù)系數(shù)下的碰撞中的動(dòng)能損失), 采用eN會(huì)產(chǎn)生動(dòng)能的增加，因而違背能量守恒；采用ep，則因在恢復(fù)階段計(jì)算了過多的法向接觸沖量的功而導(dǎo)致系統(tǒng)損耗了比實(shí)際更多的能量，只有在采用es計(jì)算時(shí)，才可以得到系統(tǒng)碰撞前后能量的守恒。

按上述標(biāo)準(zhǔn)來看，相比另外兩類恢復(fù)系數(shù)，能量的恢復(fù)系數(shù)es更穩(wěn)定且符合能量守恒，但因其表達(dá)的復(fù)雜性，使得在多體系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，eN及ep仍然得到廣泛的應(yīng)用。

2碰撞恢復(fù)系數(shù)與其他因素的相關(guān)性

碰撞恢復(fù)系數(shù)是表明碰撞過程的宏觀簡(jiǎn)化量，當(dāng)細(xì)化碰撞過程時(shí)，根據(jù)現(xiàn)有的恢復(fù)系數(shù)的定義，恢復(fù)系數(shù)都不會(huì)只是與材料有關(guān)的常數(shù)。實(shí)驗(yàn)及有限元數(shù)值計(jì)算都表明除了碰撞材料的特性，它還與一些其他因素有關(guān)，如碰撞點(diǎn)的初始速度、碰撞位形[27-29]、碰撞物體表面的分形參數(shù)[30]、因強(qiáng)烈的振動(dòng)效應(yīng)導(dǎo)致的多個(gè)連續(xù)碰撞次數(shù)[31]、多體系統(tǒng)的連接方式[32]等, 恢復(fù)系數(shù)對(duì)上述因素的依賴作用可以通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、有限元方法或固體接觸力學(xué)方法解析計(jì)算。

2.1恢復(fù)系數(shù)與其他變量的依賴模型

既然碰撞恢復(fù)系數(shù)已被證明是與碰撞速度等相關(guān)，那么現(xiàn)有的恢復(fù)系數(shù)與這些因素的解析模型的建立是恢復(fù)系數(shù)能夠有效運(yùn)用的方法之一。

Goldsmith[33]指出：如果碰撞時(shí)間比物體的最低本征周期長(zhǎng)，那么波的效應(yīng)可以忽略，碰撞可以用準(zhǔn)靜態(tài)接觸理論來考察。借助于接觸力學(xué)中不同的力與位移關(guān)系模型，得到了碰撞恢復(fù)系數(shù)與其他因素依賴關(guān)系的不同形式的解析表達(dá)式：

(1)彈塑性球之間的碰撞模型[27]

(4)

式(4)中采用牛頓恢復(fù)系數(shù)計(jì)算，Vy是法向相對(duì)碰撞速度的屈服界限(在此之下假設(shè)碰撞是彈性的)，該式體現(xiàn)了恢復(fù)系數(shù)與碰撞初始相對(duì)速度的依賴關(guān)系。

(2)能量恢復(fù)系數(shù)表達(dá)式[8]

(5)

(3)單點(diǎn)多體系統(tǒng)斜碰撞問題的能量恢復(fù)系數(shù)[32]

(6)

式中,λ1，λ2，λ3及λ4是碰撞物體相對(duì)碰撞角度、速度及摩擦的函數(shù)，f為接觸力與位移的關(guān)系模型，只與碰撞物體的材料特征相關(guān)，該表達(dá)式顯示了能量恢復(fù)系數(shù)對(duì)碰撞物體的材料、碰撞位形、速度、切向特征及多體系統(tǒng)連接方式之間的依賴關(guān)系。

2.2恢復(fù)系數(shù)的修正模型

碰撞恢復(fù)系數(shù)的最初引入其實(shí)是為了得到一個(gè)在碰撞過程中的只與材料相關(guān)的宏觀不變量，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。但如前節(jié)所闡述的：即使是相對(duì)穩(wěn)定的Stronge能量恢復(fù)系數(shù)也不是只與材料有關(guān)的常數(shù)，那么是否能通過對(duì)現(xiàn)有系數(shù)的修正，使其等于或接近于常數(shù)呢？

碰撞過程中會(huì)造成能量的損失，能量損失主要來源于波傳播、塑性變形及摩擦。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的桿件、薄的殼體而言，大部分的初始動(dòng)能都被轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚺鲎伯a(chǎn)生的波。如：Zener[34]析了球?qū)潭旱耐耆珡椥耘鲎矄栴}，其中高達(dá)90%的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)椴?；即使是致密的物體，當(dāng)碰撞物體之間的材料及大小相差過大時(shí)，因碰撞所導(dǎo)致的振動(dòng)波散失的能量也不可忽略，Lim等[35]研究了粗糙的圓柱體與地面的斜碰撞問題，當(dāng)碰撞速度取系統(tǒng)的塑性變形的初始速度臨界值時(shí)，以波的形式散失的能量達(dá)到48%或46%，Schiehlen[36]在彈性碰撞的數(shù)值及實(shí)驗(yàn)研究中，展示了碰撞物體的形狀對(duì)波的能量損失的作用。

Stronge的能量恢復(fù)系數(shù)的定義中并沒有考慮碰撞引起的波動(dòng)及振動(dòng)所帶來的能量損失，這是能量恢復(fù)系數(shù)非常數(shù)的主要因素，因此，對(duì)能量恢復(fù)系數(shù)e*定義的修正如下：

(1)合并波動(dòng)效應(yīng)[35]

(7)

式中,Ww代表因應(yīng)力波所造成的能量散失，其數(shù)值可根據(jù)接觸力與位移的特征預(yù)先算出；

(2)合并模態(tài)振動(dòng)效應(yīng)[10]

(8)

式中,T0為系統(tǒng)初始能量，PE，DE及FEi分別為系統(tǒng)應(yīng)變能、動(dòng)能及碰撞力能量。

(3)包含碰撞局部及整體能量損失[9]

e*=eL⊕eS

(9)

式中針對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿件與地面斜碰撞問題，其中es代表法向局部能量損失，eL代表整體的振動(dòng)能量損失，二者非簡(jiǎn)單的加法，而是代表能量效應(yīng)上的疊加。

3恢復(fù)系數(shù)在碰撞動(dòng)力學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用方法

碰撞動(dòng)力學(xué)計(jì)算一般可分為三種方法：瞬間沖量法；連續(xù)接觸力模型；有限元方法。碰撞恢復(fù)系數(shù)是利用瞬時(shí)沖量法來解決剛體系統(tǒng)碰撞問題時(shí)所引入的必要的參數(shù)，不只在瞬時(shí)沖量法中，在利用連續(xù)接觸力法及有限元法來解決多體系統(tǒng)的碰撞問題時(shí)，碰撞恢復(fù)系數(shù)的引入也有它的方便之處。本文按是否考慮其對(duì)其它參數(shù)的依賴性，將其在計(jì)算中的應(yīng)用方法分為以下兩種：

3.1將碰撞恢復(fù)系數(shù)作為材料常數(shù)

(1)在瞬間碰撞假定模型中的應(yīng)用

這種應(yīng)用方式是碰撞恢復(fù)系數(shù)最常見、廣泛的應(yīng)用方法。最初，牛頓首次提出用運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)來作為碰撞動(dòng)力學(xué)問題的補(bǔ)充方程，首次解決了近球狀物體的對(duì)心正碰問題；Kane第一次大膽的將牛頓恢復(fù)系數(shù)與Witterker假定相結(jié)合應(yīng)用到一般多剛體系統(tǒng)的斜碰撞問題中，但遇到了“Kane的動(dòng)力學(xué)之謎”，使得研究者重新思考斜碰撞中恢復(fù)系數(shù)及切向模式問題；Feiffer采用Poisson動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)，將多體系統(tǒng)的多點(diǎn)斜碰撞過程通過線性互補(bǔ)性關(guān)系(LCP)表達(dá)出來; Stronge[37]采用能量恢復(fù)系數(shù)研究了多體系統(tǒng)的單點(diǎn)斜碰撞問題。

(2)與彈簧振子模型的阻尼系數(shù)間的聯(lián)系

Johnson[38]認(rèn)為：當(dāng)碰撞速度比波的傳播速度小的時(shí)候，碰撞處的切向和法向柔度可以用無質(zhì)量的彈簧來模擬。因?yàn)橐话悴ㄋ僭?6m/s(橡膠)和5200m/s(鋼)之間，而本文主要涉及的是不引起結(jié)構(gòu)損壞的低速碰撞問題，故上述條件是很容易達(dá)到的。

一般采用的非線性彈簧阻尼模型：

(10)

(11)

Carbonelli等[40]也研究了反彈球問題中彈簧振子模型與碰撞恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。

(3)作為連續(xù)接觸力模型中碰撞結(jié)束的標(biāo)準(zhǔn)

Liu等[41-44]在一系列文章中，引入彈性力與位移關(guān)系，同時(shí)用能量恢復(fù)系數(shù)作為碰撞結(jié)束的標(biāo)準(zhǔn)研究了多點(diǎn)碰撞問題，該方法在一些剛體碰撞的難點(diǎn)問題上取得了與實(shí)驗(yàn)相吻合的結(jié)果。

3.2考慮碰撞恢復(fù)系數(shù)對(duì)其他參數(shù)的依賴性

如在第3節(jié)中所述，恢復(fù)系數(shù)不只是材料常數(shù)，而且與初始條件等因素相關(guān)，因此一些研究者在利用恢復(fù)系數(shù)來解決碰撞問題時(shí)，考慮了恢復(fù)系數(shù)的非常數(shù)特征。

(1)直接采用與初始條件相關(guān)的恢復(fù)系數(shù)解析表達(dá)式

在考慮軸承間隙的機(jī)械動(dòng)力學(xué)問題中，Stammers等[45-46]均采用了速度依賴的碰撞恢復(fù)系數(shù)：

e=1-0.26v1/3

(12)

Yao等[32]在單點(diǎn)多體系統(tǒng)碰撞問題中采用了解析形式的能量恢復(fù)系數(shù)，并得到了能量協(xié)調(diào)的碰撞后的速度。

(2)直接通過有限元方法計(jì)算恢復(fù)系數(shù)的數(shù)值

Schiehlen[47]在含碰撞的多體系統(tǒng)的計(jì)算中采用了多尺度的方法，即先采用Poisson的動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)來表達(dá)碰撞過程中的總沖量，然后利用有限元的方法精細(xì)地計(jì)算Piosson動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)，最后返回到慢尺度中繼續(xù)多體系統(tǒng)的計(jì)算過程。這種模擬的方式并非預(yù)先給定恢復(fù)系數(shù)的數(shù)值或表達(dá)式，優(yōu)點(diǎn)在于可以相對(duì)精確的計(jì)算恢復(fù)系數(shù)，缺點(diǎn)在于增加了計(jì)算時(shí)間。

4結(jié)論

對(duì)于含多點(diǎn)碰撞的復(fù)雜系統(tǒng)(如：數(shù)以萬計(jì)的顆粒相互接觸、碰撞的系統(tǒng))而言，引入碰撞恢復(fù)系數(shù)所能帶來的計(jì)算效率的提高是至關(guān)重要的，而為保證計(jì)算精度，對(duì)碰撞恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行深入研究是必要的。到目前為止，對(duì)于碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究工作可達(dá)成以下共識(shí)：

(1)現(xiàn)有定義的碰撞恢復(fù)系數(shù)均不是只與材料有關(guān)的常數(shù)，目前對(duì)恢復(fù)系數(shù)的修正工作主要是從能量損耗的角度入手，找到碰撞中的不變量；

(2)關(guān)于碰撞恢復(fù)系數(shù)與其他變量的關(guān)系表達(dá)式主要是基于力與位移關(guān)系，其精確度依賴于力與位移關(guān)系的建立模型，且目前所得到的表達(dá)式均過于復(fù)雜，從而給其在復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用帶來了不便；

(3)碰撞恢復(fù)系數(shù)性質(zhì)的研究還主要集中在兩個(gè)物體單點(diǎn)碰撞之間，當(dāng)碰撞點(diǎn)增多時(shí)，各個(gè)接觸處恢復(fù)系數(shù)之間的耦合作用的研究甚少。

碰撞恢復(fù)系數(shù)是碰撞研究中最為基礎(chǔ)性的工作，目前的工作雖然有一定的進(jìn)展，但遠(yuǎn)未成熟，針對(duì)研究現(xiàn)狀，我們認(rèn)為今后對(duì)碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究工作可以在以下幾方面尋求突破:

(1)從更多的角度尋找碰撞過程中不變量，得到碰撞恢復(fù)系數(shù)的更合適的定義方式；

(2)將碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究從兩點(diǎn)向多點(diǎn)擴(kuò)展，考慮因多個(gè)碰撞點(diǎn)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的相互耦合所帶給碰撞恢復(fù)系數(shù)的影響；

(3)碰撞恢復(fù)系數(shù)是極強(qiáng)短暫的碰撞作用的宏觀簡(jiǎn)化，而接觸力學(xué)有限元數(shù)值及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的精確度是這個(gè)簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)，有效利用計(jì)算接觸力學(xué)及碰撞實(shí)驗(yàn)研究的最新研究成果，碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究有望取得突破。

本文主要關(guān)注了碰撞中的法向特征，文中的碰撞恢復(fù)系數(shù)也是指法向碰撞恢復(fù)系數(shù)，當(dāng)考慮碰撞的切向特征時(shí)，工程中一般會(huì)采用庫(kù)侖的干摩擦模型，也有學(xué)者提出了切向恢復(fù)系數(shù)的概念來表征切向柔度，但因切向恢復(fù)系數(shù)在應(yīng)用中遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如法向碰撞恢復(fù)系數(shù)那么廣泛，故文中沒有過多闡述。

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第一作者張波男，博士生，1988年生

通信作者曾京男，教授,博士生導(dǎo)師，1963年生