壓膜阻尼作用下微機(jī)械諧振器動(dòng)力學(xué)分析

第一作者張琪昌男，博士，教授，1959年生

通信作者王煒男，博士，講師，1980年8月生

壓膜阻尼作用下微機(jī)械諧振器動(dòng)力學(xué)分析

張琪昌，周凡森，王煒

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072)

摘要：靜電驅(qū)動(dòng)微機(jī)械諧振器由于其高頻率、低功耗和小型化被廣泛應(yīng)用于工作在空氣中和液體中的化學(xué)傳感器和生物物種傳感器中。對(duì)于微機(jī)械諧振器，作為表面效應(yīng)的空氣阻尼以及三次非線性靜電剛度會(huì)顯著影響器件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。通過壓膜阻尼理論，探究了雙端固支梁在自由振動(dòng)過程中由于環(huán)境壓力引起的空氣阻尼和三次非線性靜電剛度對(duì)微梁的運(yùn)動(dòng)形態(tài)、諧振響應(yīng)等性能參數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)了雙極板微諧振器振動(dòng)特性與環(huán)境壓力以及立方非線性靜電剛度的關(guān)系。結(jié)果表明：環(huán)境壓力的增加會(huì)使微機(jī)械諧振器的共振頻率增加，振動(dòng)的幅值以及共振漂移的幅度減小。微機(jī)械諧振器在小位移振動(dòng)時(shí)，通過對(duì)幅頻曲線的分析發(fā)現(xiàn)，三次非線性靜電剛度會(huì)使微機(jī)械諧振器表現(xiàn)出或軟或硬的非線性特性且不可忽略。

關(guān)鍵詞：微機(jī)械諧振器；壓膜阻尼；環(huán)境壓力

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11372210)；國(guó)家青年科學(xué)基金(11102127)；高等學(xué)校博士點(diǎn)基金(20120032110010)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃(12jCYBjC12500,12jCZDjC28000)

收稿日期：2014-05-23修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號(hào):O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.021

Abstract:Electrostatically actuated micromechanical resonators with advantages of high frequency, low-power consumption and small size are widely used in chemical sensors and sensors of biological species, these sensors work in air or liquid. The air damping as surface effects and the cubic nonlinear static electrical stiffness can significantly affect the dynamic response characteristics of a micromechanical resonator. Here, via the squeeze-film damping theory, the effects of air damping caused by ambient pressure during free vibration and cubic nonlinear static electrical stiffness on the patterns of movement and response performance of a mirco beam fixed at both ends were investigated in detail. The relationships between the dynamic characteristics of the resonator and ambient pressure as well as nonlinear static electrical stiffness were found. The results indicated that the resonance frequencies of the micromechanical resonator increase with increase in ambient pressure, while the vibration amplitudes and the resonance drift decline with increase in ambient pressure; the cubic nonlinear static electrical stiffness makes the resonators exhibit softening or hardening nonlinear characteristics, they can not be ignored in amplitude-frequency curves of the resonaters' small amplitude vibration.

Dynamic characteristics of a micro-mechanical-resonator with squeeze film damping

ZHANGQi-chang,ZHOUFan-sen,WANGWei(Tianjin Municipal Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Key words:micro-mechanical-resonator; squeeze film damping; ambient pressure

硅微機(jī)械諧振器因其體積小、能耗低、易集成等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于微機(jī)電系統(tǒng)中。因此，在微系統(tǒng)領(lǐng)域?qū)栉C(jī)械諧振器的研究受到人們的普遍關(guān)注。其中，對(duì)硅微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)的關(guān)注尤為顯著。目前，影響硅微機(jī)械諧振器動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)的耗散機(jī)制包括：壓膜阻尼、熱彈性阻尼、支撐損耗和內(nèi)損耗等耗散機(jī)制。岳東旭等[1]和Ruzziconi等[2]做了關(guān)于微懸臂梁運(yùn)動(dòng)方程的建模工作，并用理論和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法探討了交直流電以及過腐蝕對(duì)微結(jié)構(gòu)剛度和頻率響應(yīng)的影響。Mestrom等[3]研究了真空狀態(tài)微機(jī)械諧振器在簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，探究了微機(jī)械諧振器機(jī)械部分、靜電部分和熱彈性阻尼對(duì)其運(yùn)動(dòng)形態(tài)、諧振響應(yīng)等性能的影響。Mestrom等[4-5]利用鐵木辛柯梁理論以及伽遼金離散和攝動(dòng)分析，在考慮幾何非線性以及靜電非線性影響下，進(jìn)一步研究了微機(jī)械諧振器機(jī)械部分、靜電部分和熱彈性阻尼的影響，并創(chuàng)新性的研究了錨點(diǎn)丟失對(duì)微機(jī)械諧振器的影響。Gologanu等[6]和Belardinelli等[7-8]，利用有限元的方法綜述了粘性流體阻尼、聲輻射、熱彈性阻尼等耗散機(jī)制對(duì)微機(jī)械諧振器共振頻率以及質(zhì)量因子的影響。

近年來，由于封裝技術(shù)的日趨成熟，為了獲得盡可能高的質(zhì)量因子，降低壓膜阻尼對(duì)微機(jī)械諧振器的影響，微機(jī)械諧振器通常在真空環(huán)境下工作。但是，在諸如微生物傳感器、微化學(xué)傳感器和微生物物種傳感器等微系統(tǒng)中，真空封裝是不可取的，它們一般工作在不同的環(huán)境壓力之下。Wu等[9]通過數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，發(fā)現(xiàn)了壓膜阻尼對(duì)微機(jī)械諧振器振動(dòng)的主要影響因素為剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，并提出了其等效電路模型。Nigro等[10]對(duì)于稀薄效應(yīng)下的壓膜系數(shù)做了比較深入的研究，比較了幾種有效粘度的計(jì)算公式，并給出了他們的適用范圍和準(zhǔn)確度。Keyvani 等[11]通過理論分析，探討了氣體壓強(qiáng)、交直流電等因素對(duì)微機(jī)械諧振器共振頻率以及質(zhì)量因子的影響。Gualdino等[12]以理論和實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，分析了不同環(huán)境壓力作用下，盤式結(jié)構(gòu)微機(jī)械諧振器的動(dòng)態(tài)特性，指出同一壓力作用下，提高共振頻率除減小微結(jié)構(gòu)的尺寸外，還可以改變盤式結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)。Zhang等[13-14]分析了壓膜阻尼作用下微共振傳感器動(dòng)態(tài)響應(yīng)，通過歐拉伯努利梁理論，建立微振動(dòng)部件的運(yùn)動(dòng)方程，并分析了交直流電以及壓膜阻尼對(duì)微振動(dòng)部件動(dòng)力學(xué)特性的影響。

目前，微機(jī)械諧振器在實(shí)驗(yàn)和理論方面研究已經(jīng)比較成熟，但是在理論上還有許多非線性問題亟待解決和探索。隨著微機(jī)械技術(shù)的發(fā)展，壓膜阻尼得到了廣泛的應(yīng)用，成為一種新的阻尼技術(shù)，可用于調(diào)節(jié)微機(jī)械結(jié)構(gòu)的質(zhì)量因子以及線性和非線性共振頻率。壓膜阻尼中可控的因素即為環(huán)境壓力。所以，清楚了解環(huán)境壓力與微諧振器線性和非線性共振頻率之間的關(guān)系成為設(shè)計(jì)微器件的重要依據(jù)。立方非線性靜電剛度作為微機(jī)械諧振器非線性特性的重要影響因素之一。在微諧振器小位移振動(dòng)時(shí)，立方非線性靜電剛度是否可以省略關(guān)系到設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)出的微器件能否達(dá)到使用的預(yù)期，所以對(duì)于該問題的研究具有非常重要的理論價(jià)值。如果能夠?qū)⑽C(jī)械諧振器的各種微觀影響因素的機(jī)理分析清楚，這將不僅有利于我們進(jìn)一步加深對(duì)諧振式微器件的工作原理的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也將有利于優(yōu)化產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，提高產(chǎn)品的工作性能。

1運(yùn)動(dòng)方程

圖1　微型雙端固支梁模型 Fig.1Model of clamped-clamped beam

本文采用單自由度模型，既能很好的描述微機(jī)械諧振器的結(jié)構(gòu)，又能準(zhǔn)確的探究微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)行為以及其非線性特性。MEMS微型雙端固支梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型見圖1，微梁結(jié)構(gòu)采用對(duì)稱位置放置直流偏置電壓，這樣可以有效地降低直流偏置電壓對(duì)微機(jī)械諧振器的影響，更有利于微機(jī)械諧振器性能的發(fā)揮。微型雙端固支梁的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

(1)

(2)

式中:C0表示當(dāng)x=0時(shí)的電容，d0表示基底和微梁間的初始距離，V1(t)和V2表示基底的加載電壓，表達(dá)式分別為：

V1(t)=Vdc+Vacsin(wt),V2=Vdc

(3)

式中:Vdc為直流偏置電壓，Vac為交流電壓的幅值。將非線性靜電力在x=0處泰勒公式展開：

(4)

式中:h.o.t為高階小量。

非線性靜電力Fe(x,t)展開后的動(dòng)力學(xué)模型與Duffing方程相似，但具有高階位移項(xiàng)，由于諧振器的振動(dòng)位移是小量，所以舍去高階位移項(xiàng)。最終的非線性靜電力為：

(5)

MEMS的阻尼機(jī)制對(duì)其動(dòng)力學(xué)、控制、性能和設(shè)計(jì)至關(guān)重要。由于矩形微梁的振動(dòng)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)換間隙中的空氣壓縮，從而形成壓膜阻尼。壓膜阻尼力主要由兩部分組成：由于粘性而導(dǎo)致的粘性阻尼力和由于流體壓縮引起的彈性阻尼力。由文獻(xiàn)[9]可知，矩形微梁標(biāo)準(zhǔn)化的壓膜阻尼力為：

(6)

式中:ke和cd分別表示彈性阻尼力系數(shù)和粘性阻尼力系數(shù)。其中ke和cd分別表示為：

(7)

(8)

式中:m和n為奇整數(shù),β為矩形板長(zhǎng)寬比，w、Ae和pa分別表示微梁振動(dòng)角速度、基底和微梁重合面積以及環(huán)境壓力。壓膜數(shù)σ的表達(dá)式為：

(9)

式中:μep表示有效粘度系數(shù)，l表示微梁的特征長(zhǎng)度。由文獻(xiàn)[10]可知，有效粘度的表達(dá)式為：

(10)

式中:a=0.018 07，b=1.353 55，c=-1.174 68，且D表示為：

(11)

式中:Kn為Knudsen數(shù)，由文獻(xiàn)[6]可知，Kn的表達(dá)式為：

(12)

式中:λ0為平均自由程，且λ0=64 nm，p0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

引入無量綱量：

(13)

其中：

(14)

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可寫成以下無量綱式：

(15)

2多尺度攝動(dòng)分析

(16)

利用多尺度法對(duì)方程(15)進(jìn)行攝動(dòng)分析，為了使分析方程中不出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)，可得：

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)方程(20)可以得到微機(jī)械諧振器各參數(shù)對(duì)其幅頻響應(yīng)的影響，以及各參數(shù)與非線性共振頻率之間的關(guān)系。

3理論分析和數(shù)值仿真

微機(jī)械諧振器重要的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)包括：共振頻率、幅頻響應(yīng)等。這些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)對(duì)微機(jī)械諧振器性能的表現(xiàn)有非常顯著的影響。所以，本文采用理論分析和數(shù)值模擬的方法分析了微機(jī)械諧振器的幾何結(jié)構(gòu)、環(huán)境壓力等因素對(duì)諧振器動(dòng)力學(xué)特性的影響。

3.1共振頻率

共振頻率是微機(jī)械諧振器的重要參數(shù)之一，其對(duì)微機(jī)械諧振器的設(shè)計(jì)參數(shù)有著直接的影響，探究不同環(huán)境壓力下，壓膜阻尼對(duì)共振頻率的影響是非常重要的。

圖2是不同環(huán)境壓力下一階共振頻率與直流偏置電壓之間的關(guān)系，其中d0=2.2 μm。由圖可知，隨著直流電壓的增大，共振頻率逐漸減小，有很明顯的“彈簧軟化”現(xiàn)象，即剛度軟化；微機(jī)械諧振器隨著環(huán)境壓力的增加，共振頻率逐漸增加，引起明顯的“彈簧硬化”現(xiàn)象，即剛度硬化。

3.2幅頻響應(yīng)

通過方程(20)來描繪微機(jī)械諧振器的幅頻響應(yīng)。非線性控制因素主要包括：環(huán)境壓力pa、直流偏置電壓Vdc、交流電壓幅值Vac、微梁與固定基底間的距離d0以及立方剛度系數(shù)η。本文將分別分析各個(gè)參數(shù)對(duì)微機(jī)械諧振器的影響。

3.2.1環(huán)境壓力的影響

微諧振式壓力傳感器[15]是工業(yè)控制、生物檢測(cè)、航天、軍事等領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的傳感器之一。了解腔內(nèi)環(huán)境壓力與微諧振器非線性共振頻率之間的關(guān)系是設(shè)計(jì)微壓力傳感器的關(guān)鍵。環(huán)境壓力的改變，會(huì)導(dǎo)致微懸臂梁非線性共振頻率的改變，通過檢測(cè)非線性共振頻率及其變化，推斷出外界壓力。

圖3描述了當(dāng)取參數(shù)Vdc=50 V，Vac=0.5 V時(shí)不同環(huán)境壓力下的幅頻響應(yīng)曲線 。隨著環(huán)境壓力的增加，微機(jī)械諧振器的非線性共振頻率逐漸減小，穩(wěn)態(tài)幅值也逐漸減小。由圖3可知，環(huán)境壓力與微機(jī)械諧振器非線性共振頻率之間的關(guān)系。當(dāng)環(huán)境壓力大于30 000 Pa時(shí)，共振漂移量幾乎為零，微機(jī)械諧振器呈現(xiàn)線性振動(dòng)。

圖2 不同的環(huán)境壓力第一階共振頻率與直流電壓之間的關(guān)系圖Fig.2Differentambientpressuresbetweenfirst-orderresonantfrequencyandDCvoltagediagram圖3 不同環(huán)境壓力下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.3Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentambientpressure圖4 不同直流偏置電壓下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.4Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentDCbiasvoltage

3.2.2直流偏置電壓Vdc的影響

圖4給出了不同直流偏置電壓下微機(jī)械諧振器的幅頻響應(yīng)特性曲線。從圖可知，幅頻曲線變化不大，但是隨著直流偏置電壓的增加，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的幅值上升，頻率響應(yīng)曲線向右逐漸彎離σ=0軸，呈現(xiàn)硬式非線性。

3.2.3交流電壓幅值Vac的影響

不同交流電壓幅值下微機(jī)械諧振器的幅頻響應(yīng)特性曲線見圖5，改變交流電壓的幅頻響應(yīng)特性曲線和改變直流偏置電壓幅頻響應(yīng)特性曲線相似，不同點(diǎn)在于，相同百分比的幅值改變，改變交流激勵(lì)電壓可以降低能源輸入。所以，在微機(jī)械諧振器的設(shè)計(jì)中，可以通過改變交流激勵(lì)電壓，以較小的能源輸入，設(shè)計(jì)出滿足工作要求的微系統(tǒng)。

3.2.4微梁與固定基底間的距離d0

圖6給出了不同間距下微機(jī)械諧振器的幅頻響應(yīng)特性曲線。由圖可知，隨著間距的減小，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的幅值增加，共振漂移量逐步變大。

3.2.5立方剛度系數(shù)的影響

由立方剛度系數(shù)可知，其中控制參數(shù)分別為直流偏置電壓，微梁與固定基底間的距離。立方剛度主要影響微機(jī)械諧振器幅頻曲線的偏轉(zhuǎn)方向。當(dāng)η>0時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線向右彎離σ=0軸，呈現(xiàn)硬式非線性；當(dāng)η<0時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線向左彎離σ=0軸，呈現(xiàn)軟式非線性。

圖7表示的是在相同條件下，直流偏置電壓與交流電壓幅值相乘為常數(shù)時(shí)，微機(jī)械諧振器的幅頻曲線。當(dāng)直流電壓逐漸減小，交流電壓幅值逐漸增加的過程中，微機(jī)械諧振器逐漸從軟式非線性向硬式非線性過度。所以，對(duì)于微機(jī)械諧振器不同的設(shè)計(jì)參數(shù)，可以確定相應(yīng)參數(shù)下直流偏置電壓和交流電壓幅值的取值范圍，在此范圍內(nèi)，微機(jī)械諧振器的幅頻響應(yīng)曲線不會(huì)出現(xiàn)軟硬非線性，即不會(huì)有滯后現(xiàn)象的發(fā)生。因此可以利用其穩(wěn)定的幅頻響應(yīng)滿足某些微機(jī)電應(yīng)用的需求。

圖5 不同交流電壓幅值下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentACvoltage圖6 不同間距下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.6Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentspacing圖7 直流交流電壓相乘為常數(shù)時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.7Amplitude-frequencyresponsecurveofDCandACvoltagemultipliedbyaconstant

圖8研究了在微機(jī)械諧振器處于小位移振動(dòng)時(shí)，立方非線性靜電剛度對(duì)其幅頻響應(yīng)曲線的影響。圖8(a)是在直流偏置電壓為70 V，交流電壓幅值為150 mV，間距為2.2 μm時(shí)微系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。由圖可知，立方非線性靜電剛度對(duì)微機(jī)械諧振器的幅頻響應(yīng)幾乎沒有影響。但是，對(duì)于不同微系統(tǒng)不同的參數(shù)設(shè)計(jì)，立方非線性靜電剛度往往起決定性作用。圖8(b)是在直流偏置電壓為70 V，交流電壓幅值為75 mV,間距為1 μm時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。虛線表示的是立方剛度項(xiàng)不含非線性靜電剛度，實(shí)線表示的是立方剛度項(xiàng)含有非線性靜電剛度。結(jié)果表明，微機(jī)械諧振器表現(xiàn)出不同的非線性特性，含有非線性靜電剛度時(shí)表現(xiàn)出軟式非線性，而不含有非線性靜電剛度時(shí)卻表現(xiàn)出硬式非線性。

通過兩幅圖的對(duì)比，本文得到相應(yīng)的結(jié)論，對(duì)于不同的設(shè)計(jì)參數(shù)，是否考慮立方非線性靜電剛度對(duì)微機(jī)械諧振器表現(xiàn)出來的性能有很大的影響。為了能夠讓微機(jī)械諧振器達(dá)到預(yù)期的設(shè)計(jì)要求，在對(duì)微機(jī)械諧振器進(jìn)行設(shè)計(jì)的時(shí)候，立方非線性靜電剛度是至關(guān)重要的且不可忽略。

圖8　小位移振動(dòng)立方非線性靜電剛度影響 Fig.8 The effect of small displacement cubic nonlinear electrostatic

圖9 無量綱與有量綱幅頻曲線對(duì)比Fig.9Dimensionlessincontrasttodimensionedamplitudefrequencycurve圖10 不同環(huán)境壓力下微機(jī)械諧振器的相圖Fig10Thephasediagramofthemicromechanicalresonatorsunderdifferentambientpressure

圖9是環(huán)境壓力為20 000 Pa時(shí)，無量綱幅頻曲線與有量綱幅頻曲線的對(duì)比，圖9(a)為有量綱幅頻曲線，圖9(b)為無量綱幅頻曲線。由圖可知，無量綱與有量綱幅頻曲線的一致性，驗(yàn)證了本文理論分析的正確性。

3.3數(shù)值仿真

不同環(huán)境壓力下微機(jī)械諧振器的相圖見圖10，隨著環(huán)境壓力的增加，微機(jī)械諧振器穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的幅值逐漸降低，與理論分析結(jié)果保持一致。

圖11為環(huán)境壓力為20 000 Pa，激勵(lì)頻率逐漸增加時(shí)的相圖。線性固有頻率為0.421 9 MHz，由圖中可以看到，微機(jī)械諧振器穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的峰值并不是在線性固有頻率點(diǎn)，而是向右有較小的偏移。而且，當(dāng)激勵(lì)頻率從0.426 0 MHz增加到0.426 1 MHz時(shí)，微機(jī)械諧振器穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值出現(xiàn)了突跳，與本文的理論分析保持一致。

圖11　不同激勵(lì)頻率下微機(jī)械諧振器的相圖 Fig.11 Thephase diagram of the micromechanical resonators under different excitation

根據(jù)對(duì)微機(jī)械諧振器共振頻率、幅頻響應(yīng)以及動(dòng)力學(xué)特性的理論分析和數(shù)值模擬，了解了不同環(huán)境壓力以及直流電壓對(duì)微機(jī)械諧振器共振頻率的影響規(guī)律，并通過幅頻響應(yīng)分析得到了不同因素影響下共振頻率漂移的規(guī)律。共振頻率漂移是微機(jī)械諧振器非常重要的特性，在生物傳感器、化學(xué)傳感器中，都是通過測(cè)量共振頻率的漂移來探測(cè)質(zhì)量等因素的變化。為設(shè)計(jì)者提供了理論依據(jù)。

4分析與討論

通過對(duì)微機(jī)械諧振器運(yùn)動(dòng)方程的分析和數(shù)值模擬，清楚的了解了其響應(yīng)和動(dòng)力學(xué)特性。直流偏置電壓軟化微機(jī)械諧振器的有效剛度，環(huán)境壓力硬化微機(jī)械諧振器的有效剛度，另外，隨著基底與極板間距離的增加，共振頻率也逐漸的增加。共振頻率漂移是微機(jī)械諧振器至關(guān)重要的特性，一般共振式微機(jī)電器件都是通過共振頻率漂移來實(shí)現(xiàn)其基本功能。同時(shí)，由于微機(jī)械諧振器較高的靈敏度、較小的體積、易集成等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。

微機(jī)械諧振器的頻率響應(yīng)特性對(duì)于共振式微機(jī)電器件是非常重要的。例如微諧振式壓力傳感器，它被廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制、生物檢測(cè)、航天軍事等領(lǐng)域。了解腔內(nèi)環(huán)境壓力與微機(jī)械諧振器與非線性共振頻率之間的關(guān)系是設(shè)計(jì)微壓力傳感器的關(guān)鍵。本文通過分析環(huán)境壓力對(duì)微機(jī)械諧振器幅頻響應(yīng)的影響，得到了微機(jī)械諧振器非線性共振頻率與環(huán)境壓力之間的關(guān)系，為微諧振式壓力傳感器的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。又如，國(guó)內(nèi)微陀螺儀[16]常采用常壓封裝，空氣阻尼成為影響陀螺性能的主要因素。因此，在陀螺的研制過程中，建立有效的空氣阻尼模型十分關(guān)鍵。本文采用了單自由度模型，分析了包括環(huán)境壓力在內(nèi)的各種因素對(duì)微機(jī)械諧振器的影響，并得到了相應(yīng)的結(jié)論，這些結(jié)論將為陀螺儀的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)方程的三次非線性項(xiàng)應(yīng)該包括三次機(jī)械剛度、三次非線性靜電剛度以及非線性阻尼項(xiàng)。所有的這三項(xiàng)都將對(duì)微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)特性造成影響，但是，根據(jù)Zhang等[13]對(duì)微諧振式傳感器的研究表明，當(dāng)微機(jī)械諧振器處于小位移振動(dòng)時(shí)，非線性阻尼項(xiàng)是可以忽略的。本文通過分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)微機(jī)械諧振器處于小位移振動(dòng)時(shí)，三次非線性靜電剛度對(duì)微機(jī)械諧振器的振動(dòng)響應(yīng)有著非常重要的影響。在某些設(shè)計(jì)參數(shù)下，如不考慮三次非線性項(xiàng)時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線呈現(xiàn)硬非線性，而考慮三次非線性靜電力時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線呈現(xiàn)軟非線性。所以在微機(jī)械諧振器設(shè)計(jì)時(shí)，三次非線性靜電剛度是不可忽略的。詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)模型和分析是設(shè)計(jì)共振式微機(jī)電器件的重要工具和理論依據(jù)。溫度也會(huì)對(duì)微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響，為了提高微機(jī)械諧振器的靈敏度，了解微機(jī)械的動(dòng)力學(xué)特性，溫度的影響不可忽略。

微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)特性是諧振式傳感器的根本，本文分析了不同設(shè)計(jì)參數(shù)下，微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)特性， 這將為設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)出成本低廉、性能可靠的微機(jī)電器件提供理論依據(jù)。

5結(jié)論

本文用理論和數(shù)值的方法探究了硅微機(jī)械諧振器在交直流載荷作用下非線性動(dòng)力學(xué)分析，在考慮主共振情況下，主要研究了環(huán)境壓力和三次非線性靜剛度對(duì)微機(jī)械諧振器動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，主要有如下結(jié)論：

(1)通過理論分析，得到了環(huán)境壓力對(duì)微機(jī)械諧振器非線性動(dòng)力學(xué)的影響規(guī)律，建立了環(huán)境壓力與線性共振頻率和非線性共振頻率的關(guān)系；

(2)根據(jù)對(duì)三次非線性靜電剛度的詳細(xì)討論，得到相應(yīng)的結(jié)論，即在微機(jī)械諧振器設(shè)計(jì)時(shí)，三次非線性靜電剛度至關(guān)重要且不可忽略；

(3)本文雖然對(duì)微機(jī)械諧振器的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了較為深入的研究，但也忽略了溫度等其他因素對(duì)微機(jī)械諧振器的影響。同時(shí)，本文的仿真和分析，都是基于軟件上的仿真和理論上的分析，缺少對(duì)實(shí)物進(jìn)行實(shí)際的測(cè)試和對(duì)理論的驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和更全面的參數(shù)分析是本文將來的研究方向。

參考文獻(xiàn)

[1]岳東旭, 于虹, 袁衛(wèi)民. 靜電驅(qū)動(dòng)的亞微米懸臂梁諧振器非線性特性[J]. 光學(xué) 精密工程, 2011, 19(4): 783.

YUE Dong-xu, YU Hong, YUAN Wei-min. Nonlinear characteristics of sub micron cantilever beam resonators actuated by statical electricity[J]. Optics and Precision Engineering, 2011, 19(4): 783.

[2]Ruzziconi L, Bataineh A M, Younis M I, et al. Nonlinear dynamics of an electrically actuated imperfect microbeam resonator: experimental investigation and reduced-order modeling[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2013, 23(7): 075012.

[3]Mestrom R, Fey R, Van Beek J, et al. Modelling the dynamics of a MEMS resonator: Simulations and experiments[J]. Sensors and Actuators A: Physical, 2008, 142(1): 306-315.

[4]Mestrom R, Fey R, Phan K, et al. Experimental validation of hardening and softening resonances in a clamped-clamped beam MEMS resonator[J]. Procedia Chemistry,2009,1(1): 812-815.

[5]Mestrom R, Fey R, Phan K, et al. Simulations and experiments of hardening and softening resonances in a clamped-clamped beam MEMS resonator[J]. Sensors and Actuators A: Physical, 2010, 162(2): 225-234.

[6]Gologanu M, Bostan C G, Avramescu V, et al. Damping effects in MEMS resonators[C] //Semiconductor Conference (CAS), 2012 International. IEEE, 2012, 1: 67-76.

[7]Belardinelli P, Brocchini M, Demeio L, et al. Dynamical characteristics of an electrically actuated microbeam under the effects of squeeze-film and thermoelastic damping[J]. International Journal of Engineering Science, 2013, 69: 16-32.

[8]Feng C, Jiang L, Lau W M. Dynamic characteristics of a dielectric elastomer-based microbeam resonator with small vibration amplitude[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2011, 21(9): 095002.

[9]Wu G, Xu D, Xiong B, et al. Analysis of air damping in micromachined resonators[C] //Nano/Micro Engineered and Molecular Systems (NEMS), 2012 7th IEEE International Conference on， IEEE, 2012: 469-472.

[10]Nigro S, Pagnotta L, Pantano M F. A numerical approach for modeling squeeze-film damping in rigid microstructures including rarefaction effects[C] //Proceedings of the 11th WSEAS international conference on Instrumentation, Measurement, Circuits and Systems, and Proceedings of the 12th WSEAS international conference on Robotics, Control and Manufacturing Technology, and Proceedings of the 12th WSEAS international conference on Multimedia Systems & Signal Processing. World Scientific and Engineering Academy and Society (WSEAS), 2012: 37-42.

[11]Keyvani A, Sadeghi M H, Rezazadeh G, et al. Effects of squeeze film damping on a clamped-clamped beam MEMS filter[J]. Journal of Micro-Bio Robotics, 2013, 8(2): 83-90.

[12]Gualdino A, Chu V, Conde J P. Pressure effects on the dynamic properties of hydrogenated amorphous silicon disk resonators[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2012, 22(8): 085026.

[13]Zhang W M, Meng G. Nonlinear dynamic analysis of electrostatically actuated resonant MEMS sensors under parametric excitation[J]. Sensors Journal, IEEE, 2007,7(3):370-380.

[14]張文明, 孟光, 周健斌, 等. 參數(shù)激勵(lì)下靜電驅(qū)動(dòng) MEMS 共振傳感器的非線性動(dòng)力特性研究[J]. 力學(xué)季刊, 2009, 30(1): 44-48.

ZHANG Wen-ming, MENG Guang, ZHOU Jian-bin, et al. Nonlinear dynamic characteristics of electrostatically actuated MEMS resonant sensors under parametric excitation[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2009, 30(1): 44-48.

[15]史曉晶, 陳德勇, 王軍波, 等. 一種新型微機(jī)械諧振式壓力傳感器研究[J]. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào), 2009 (6): 790-793.

SHI Xiao-jing, CHENG De-yong, WANG Jun-bo, et al. Research of a novel micromachined resonant pressure sensor[J]. Chinese Journal of Sensors and Actuators,2009 (6):790-793.

[16]王偉, 劉軍潔. Z 軸微機(jī)械陀螺儀的空氣阻尼分析[J]. 西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 30(3): 219-223.

WANG Wei, LIU Jun-jie. The analysis ofZaxis micromachined gyroscope under air damping[J]. Journal of Xi’an Technological University, 2010, 30(3): 219-223.