愛(ài)情動(dòng)力學(xué)的微分方程建模

呂貴臣　宋江敏

摘要：本文利用數(shù)學(xué)建模思想考慮了大學(xué)生普遍關(guān)注的愛(ài)情問(wèn)題，通過(guò)對(duì)大學(xué)生的愛(ài)情引入回應(yīng)、遺忘、直覺(jué)以及家庭和學(xué)習(xí)壓力的干預(yù)等因素，建立微分方程模型。通過(guò)例子，我們發(fā)現(xiàn)家庭和學(xué)習(xí)壓力的干預(yù)雖然會(huì)對(duì)大學(xué)生的愛(ài)情產(chǎn)生較大影響，但是只要二人能夠風(fēng)雨同濟(jì)，還是有可能做到學(xué)習(xí)、愛(ài)情兩不誤，最終走到一起。

關(guān)鍵詞：微分方程；數(shù)學(xué)建模；穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）03-0171-02

一、引言

愛(ài)情，作為一種復(fù)雜的心理活動(dòng)，在現(xiàn)實(shí)生活中，一直被人們所關(guān)注。我們無(wú)法洞悉愛(ài)情的本質(zhì)是什么，但是我們可以從數(shù)學(xué)的角度，去分析它、解讀它。1988年，Strogatz在文獻(xiàn)[5]中首先給出了羅密歐和朱麗葉之間愛(ài)情的數(shù)學(xué)模型。在Strogatz的基礎(chǔ)上，Spott[3]給出了更具一般性的微分方程模型，并進(jìn)一步考察了三角戀的問(wèn)題。Rinaldi[4]將一個(gè)完整的戀愛(ài)過(guò)程分為回應(yīng)、遺忘和直覺(jué)三個(gè)因素，并給出了更具一般性的微分方程模型。在Rinaldi的基礎(chǔ)上，Son和Park.[1]，Bielezyk等[2]進(jìn)一步考慮了時(shí)間滯后的影響。顧仁財(cái)、許勇和狄根虎在文獻(xiàn)[6]中，對(duì)三角戀的愛(ài)情模型引入了隨機(jī)因素，并揭示了混沌現(xiàn)象。

本文我們將在Rinaldi[4]的基礎(chǔ)上，對(duì)大學(xué)生的戀愛(ài)問(wèn)題，做了進(jìn)一步的研究，主要揭示家庭、學(xué)習(xí)等因素對(duì)大學(xué)生男女的感情影響。

二、模型建立

隨著社會(huì)的進(jìn)步和社會(huì)文明程度的提高，大學(xué)生在讀書期間談戀愛(ài)也變成十分普遍的現(xiàn)象，牽手徜徉在美麗的校園中，也逐步成為了校園文化的一道亮麗的風(fēng)景。大學(xué)生該不該談戀愛(ài)，會(huì)不會(huì)有結(jié)果，是否會(huì)影響學(xué)習(xí)等問(wèn)題一直被人們所關(guān)注。假設(shè)大學(xué)生的愛(ài)情也會(huì)受到遺忘（oblivion）、回應(yīng)（return）和直覺(jué)（instinct）三個(gè)因素的影響。記i=1，2分別表示戀愛(ài)過(guò)程的男女雙方。x （t）表示t時(shí)刻i的愛(ài)（>0）與恨（<0），O （t）表示t時(shí)刻i的遺忘函數(shù)，R （t）表示t時(shí)刻i對(duì)j（i≠j）的回應(yīng)函數(shù)，A 表示t時(shí)刻i的直覺(jué)函數(shù)。由[4]知，i的戀愛(ài)方程為：

=O （t）+R （t）+A （1）

其中，O （t）函數(shù)只與i對(duì)j（i≠j）的愛(ài)有關(guān)，我們假設(shè)愛(ài)情若不加補(bǔ)充，總是隨著時(shí)間的長(zhǎng)久而消耗，這就所謂的愛(ài)情守恒定律。為此，令O （t）=-αixi（t），這里α 為遺忘系數(shù)。R （t）表示t時(shí)刻i對(duì)j（i≠j）的愛(ài)情的一個(gè)回應(yīng)，它是一個(gè)依賴于x （t）的函數(shù)，即R =

R （x （t））。粗略地講，這一項(xiàng)可以解釋為一個(gè)人“l(fā)ove to be loved”和“hates to be hated”（愛(ài)憎分明）。為了討論起來(lái)的簡(jiǎn)單，文獻(xiàn)Rinaldi[4]假設(shè)R （t）為一個(gè)無(wú)限增長(zhǎng)線性函數(shù)，R （x ）=β x （t），（β >0）。但在實(shí)際中，R （t）不可能是一個(gè)無(wú)限增長(zhǎng)的函數(shù)，設(shè)想一下，i對(duì)j（i≠j）的愛(ài)情的一個(gè)正效應(yīng)（“l(fā)ove to be loved”），但是若j（i≠j）付出的愛(ài)情太多，i相應(yīng)地會(huì)感受到窒息（被愛(ài)的透不過(guò)氣）。相應(yīng)地，若i對(duì)j（i≠j）的愛(ài)情的一個(gè)負(fù)效應(yīng)（“hates to be hated”），這個(gè)恨也不可能無(wú)限增加。因此，R （t）應(yīng)當(dāng)滿足當(dāng)x （t）>0時(shí)，R （t）達(dá)到正最大值，當(dāng)x （t）<0時(shí)，R （t）達(dá)到負(fù)最小值，基于此，我們令R （x ）=β ，若不考慮大學(xué)生的學(xué)習(xí)以及家庭等因素的影響，我們有

=-α x +β +A ，

=-α x +β +A .？搖 （2）

在大學(xué)生的學(xué)習(xí)階段，不可避免地會(huì)受到一些來(lái)自諸如家庭、學(xué)習(xí)壓力等因素的干預(yù)。此時(shí)勢(shì)必會(huì)對(duì)大學(xué)生的愛(ài)情產(chǎn)生影響，記U （t）為t時(shí)刻i對(duì)j（i≠j）的愛(ài)情的干預(yù)函數(shù)。因?yàn)楦深A(yù)一般都是對(duì)的愛(ài)情的一個(gè)負(fù)效應(yīng)，并且對(duì)i對(duì)j（i≠j）的感情都產(chǎn)生影響，因此，我們假設(shè)U （t）=-εixixj，ε >0.此時(shí)，我們有對(duì)應(yīng)的干預(yù)函數(shù)的微分方程模型：

=-α x +β +A -ε x x ，

=-α x +β +A -ε x x .？搖？搖？搖 （3）

三、例子與結(jié)論

為了進(jìn)一步說(shuō)明大學(xué)生的感情的變化和家庭干預(yù)的影響，我們對(duì)模型（2）和（3）的解進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

例：考慮模型

=-2x +2 +1-ε x x ，

=-x + +1-ε x x .？搖 （4）

若ε =ε =0，此時(shí)模型（4）為非干預(yù)愛(ài)情模型，根據(jù)文獻(xiàn)[7]的多項(xiàng)式的實(shí)根分離算法，運(yùn)行Mrealroot指令，可以得到，系統(tǒng)存在正平衡點(diǎn)（x ，x ）且其變化范圍為（[7877/8192，3939/4096]，[12283/8192，12287/8192]）。并進(jìn)一步，可判定模型（4）正平衡點(diǎn)處雅可比矩陣的特征根λ ，λ 滿足λ +λ =-3<0，λ λ >0.由穩(wěn)定性理論知，正平衡解穩(wěn)定，即說(shuō)明男女雙方的愛(ài)情在一定初值范圍內(nèi)，可以持久下去，最終走在一起。

若ε =5，ε =200，此時(shí)模型（6）干預(yù)的愛(ài)情模型，由[7]可知，正平衡點(diǎn)（ ， ）的變化范圍為（[1017/2048，8137/16384]，[7307/524288，

7309/524288]）。并進(jìn)一步，可判定模型（4）正平衡點(diǎn)處雅可比矩陣的特征根λ ，λ 滿足λ +λ <0，λ λ >0.由穩(wěn)定性理論知，正平衡解穩(wěn)定.由此可知，正平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的。與非干預(yù)模型比較可知，在相同的控制參數(shù)下，引入家庭和學(xué)習(xí)壓力等因素的干預(yù)，將會(huì)對(duì)大學(xué)生男女的感情產(chǎn)生較大的負(fù)影響（正平衡點(diǎn)的值變?。?，但是如果二人同心協(xié)力，二人最終還是有希望可以走在一起。

參考文獻(xiàn)：

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[6]顧仁才，許勇，狄根虎.非線性三角戀模型及其在高斯白噪聲激勵(lì)下的基本動(dòng)力學(xué)特征[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2010，8（2）：142-145.

[7]陸征一，何碧，羅勇.多項(xiàng)式系統(tǒng)的實(shí)根分離算法及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.