一類特殊的Volterra型積分方程的解的存在性

葉陸紅， 楊海洋

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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一類特殊的Volterra型積分方程的解的存在性

葉陸紅， 楊海洋

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文主要應(yīng)用壓縮映像原理討論了一類特殊的Volterra型積分方程的解的存在性問題，獲得解的存在性條件，并舉例說明了其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：積分方程；解；不動(dòng)點(diǎn)；映射

積分方程是含有對未知函數(shù)的積分運(yùn)算的方程，數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多問題都可以歸結(jié)為積分方程問題。積分方程理論的發(fā)展，始終與數(shù)學(xué)物理問題的研究緊密相連，它在工程、力學(xué)等方面有著極其廣泛的應(yīng)用。

“積分方程”一詞是雷蒙德于1888年首先提出的。19世紀(jì)的最后兩年，瑞典數(shù)學(xué)家弗雷德霍姆和意大利數(shù)學(xué)家V.沃爾泰拉開創(chuàng)了研究線性積分方程理論的先河。從此，積分方程理論逐漸發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。 1899年，弗雷德霍姆在給他的老師米塔-列夫勒的信中，提出如下的方程

1900年，弗雷德霍姆在其論文中把上方程稱為“積分方程”，形如

和

的積分方程，依次稱為第一種沃爾泰拉積分方程和第二種沃爾泰拉積分方程。它與弗雷德霍姆積分方程的不同之處，僅在于它的積分上限是變量x，且σ≤y≤x≤b，此處σ,b是常量。沃爾泰拉積分方程可視為弗雷德霍姆積分方程的核K(x,y)當(dāng)y>x時(shí)為零的情形。最早被研究的一個(gè)帶弱奇性核的沃爾泰拉積分方程，是阿貝爾方程,它是N.H.阿貝爾于1823年在求一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的落體運(yùn)動(dòng)軌跡與時(shí)間的關(guān)系中得到的。

隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，作為工程計(jì)算的重要基礎(chǔ)之一，積分方程進(jìn)一步得到了廣泛而有效地應(yīng)用。如今物理問題變得越來越復(fù)雜，積分方程變得越來越有用。 它的形成和發(fā)展是很多重要數(shù)學(xué)思想和概念的最初來源和模型。例如，對泛函分析中平方可積函數(shù)、平均收斂、算子等的形成，對一般線性算子理論的創(chuàng)立，以至于對整個(gè)泛函分析的形成都起著重要的推動(dòng)作用。

解的存在性理論是常微分方程最基本和最重要的理論之一，它一般通過構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列來說明其解的存在性。本文主要應(yīng)用壓縮映像原理來討論積分方程

(1)

的解的存在性問題，其中f(x)在[a,b]上連續(xù)，K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的連續(xù)函數(shù)，λ為常數(shù)。

定義1[1]設(shè)R是按距離ρ的度量空間，A是R到自身的一個(gè)映照，若存在α∈[0,1)使對一切x,y∈R有ρ(Ax,Ay)≤αρ(x,y)，則稱A是R上的一個(gè)壓縮映照。

定義2[1]設(shè)A是R到自身的一個(gè)映照，若x∈R使Ax=x，則x是A的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

引理1[1]在完備的度量空間中的壓縮映照必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

引理2[1]設(shè)度量空間R完備，B是R到R的映照，若存在一個(gè)自然數(shù)n，使Bn是R上的一個(gè)壓縮映照，則B在R中必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

定理設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的連續(xù)函數(shù)，若|λ|足夠小，則方程(1)存在唯一的連續(xù)解。

證明構(gòu)造C[a,b]到C[a,b]映射：

B∶φ∈C[a,b]→Bφ∈C[a,b]

其中f(x)在[a,b]上連續(xù)，K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的連續(xù)，故有界，即存在正的常數(shù)M使|K(x,ξ)|≤M。

?φ1(x)，φ2(x)∈C[a,b]，當(dāng)x∈[a,b]，有:

|Bφ1(x)-Bφ2(x)|=

|λ|M(b-a)‖φ1-φ2‖

下面利用歸納法證明：當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，有

當(dāng)n=1顯然成立。設(shè)上式對n成立，下面證明對于n+1也成立。

事實(shí)上，

|Bn+1φ1(x)-Bn+1φ2(x)|=

取自然數(shù)n使:

則

α‖φ1-φ2‖

由引理知，方程(1)在C[a,b]中必有唯一解。

注方程(1)解的存在性還可以通過構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列

來證明。

下面舉例說明以上定理的應(yīng)用。

例討論積分方程

(2)

的解的存在性，其中y(t)∈C[0,1]，λ為常數(shù)，|λ|<1。

分析此方程等價(jià)于：

z(t)=e-tx(t),ξ(t)=e-ty(t)

令

則

即T是壓縮映射，壓縮常數(shù)|λ|<1，因而T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程

在C[0,1]上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，因此原方程在C[0,1]上有唯一解。

下面介紹用逐步逼近法求解方程的過程。

定義C[0,1]上映射：

取k(t,s)=et-s，φ0=0，φn=Knφ0，則有

φ1(t)=y(t)

一般地有

所以，kn(t,s)由遞推關(guān)系確定：

k1(t,s)=k(t,s),

函數(shù)列{φn(t)}是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，并且在[0,1]上均勻收斂于φ*(t)，故對給定正數(shù)ε只要取n使

有

即積分方程的第n次逼近解φn的誤差小于ε。

參考文獻(xiàn):

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Existence of Solutions for a Class of Special Volterra Integral Equations

YE Lu-hong， YANG Hai-yang

(School of Mathematics and Compution Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:By means of contraction mapping principle, we discuss the existence of solutions for a class of special Volterra integral equations, and obtain the existence conditions of solutions, and give an example to illustrate its application.

Key words:integral equations, solutions, fixed point, mapping

文章編號：1007-4260(2015)02-0007-03

中圖分類號：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：葉陸紅，女，安徽潛山人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)槲⒎址匠汤碚摷捌鋺?yīng)用。

基金項(xiàng)目：安慶師范學(xué)院青年科研 (KJ201107)，安徽省高等學(xué)校省級教學(xué)研究項(xiàng)目(2012jyxm364)和安徽省高校自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目(AQKJ2014B010)。

收稿日期：2014-08-28