“矩陣相似”等價(jià)于“特征矩陣等價(jià)”的證明

袁書(shū)萍，程家興

(安徽新華學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230088)

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“矩陣相似”等價(jià)于“特征矩陣等價(jià)”的證明

袁書(shū)萍，程家興

(安徽新華學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230088)

摘要：兩個(gè)數(shù)域上的數(shù)字矩陣的相似問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)的特征矩陣等價(jià)的命題來(lái)解決。很多教科書(shū)對(duì)這一問(wèn)題的證明過(guò)于簡(jiǎn)單，沒(méi)有真正的區(qū)分?jǐn)?shù)字矩陣和多項(xiàng)式矩陣之間的不同。數(shù)字矩陣與多項(xiàng)式矩陣的區(qū)別就在于數(shù)字矩陣經(jīng)過(guò)加法、減法、乘法、除法后還是數(shù)字矩陣，但多項(xiàng)式矩陣不能無(wú)條件的進(jìn)行除法運(yùn)算后還是多項(xiàng)式矩陣。所以，我們?cè)谧C明多項(xiàng)式矩陣的有些問(wèn)題時(shí)，不能直接套用數(shù)字矩陣的一些命題和定理。本文對(duì)“數(shù)字矩陣相似”等價(jià)于“特征矩陣等價(jià)”這一問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)論述。

關(guān)鍵詞：矩陣相似；數(shù)字矩陣；特征矩陣；多項(xiàng)式矩陣

設(shè)A,B是數(shù)域上的n階矩陣，則A～B的充分必要條件是λI-A?λI-B。目前很多的教科書(shū)上對(duì)這一問(wèn)題的證明比較簡(jiǎn)單，該命題的必要性很顯然，充分性的證明有些是這樣：因λI-A?λI-B，故存在n階數(shù)字矩陣P和Q，使得：λI-A=λPQ-PBQ,比較兩邊的λ的同次冪的系數(shù)矩陣，有PQ=I,A=PBQ,由此得Q=P-1，A=PBP-1，故A～B。我們認(rèn)為這樣的證明沒(méi)有真正的區(qū)分?jǐn)?shù)字矩陣和多項(xiàng)式矩陣之間的不同。

在教學(xué)過(guò)程中，我們把這一問(wèn)題這樣描述:數(shù)域上的兩個(gè)n階矩陣A,B相似的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)的特征矩陣λI-A和λI-B等價(jià)來(lái)解決[1]，即

A～B?U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

因?yàn)檫@里λI-A,λI-B為多項(xiàng)式矩陣，它們的等價(jià)是指對(duì)λI-A實(shí)行一系列的多項(xiàng)式矩陣的初等行(列)變換后變成λI-B，而不是數(shù)域上的行(列)初等變換，所以這里的U(λ)，V(λ)是單模矩陣。下面將對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)論述。

為了證明上述問(wèn)題，引入一些定義和定理及它們的證明。

定義1對(duì)多項(xiàng)式矩陣A(λ)施行的下列三種變換稱(chēng)為多項(xiàng)式矩陣的初等行(列)變換：

(1)交換A(λ)的任意兩行(列)；

(2)數(shù)k(k≠0)乘A(λ)的某一行(列)；

(3)A(λ)的某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中φ(λ)是λ的一個(gè)多項(xiàng)式；

定義2設(shè)A(λ)為n階多項(xiàng)式矩陣，如果存在一個(gè)n階的多項(xiàng)式矩陣B(λ)，滿足A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I，則稱(chēng)A(λ)是可逆的，或稱(chēng)是單模矩陣，這里的I是n階單位陣。

定理1單模矩陣可以寫(xiě)成初等矩陣的乘積

此定理所說(shuō)的初等矩陣是指對(duì)單位陣I經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式矩陣的三種初等行(列)變換得到的相應(yīng)三種多項(xiàng)式矩陣的初等矩陣。

證明設(shè)U(λ)是n階單模矩陣，則U(λ)可逆，|U(λ)|=C(常數(shù))≠0，U(λ)的秩為n，所以U(λ)的n階行列式因子Dn(λ)=1，根據(jù)Smith標(biāo)準(zhǔn)型的遞推公式：

d1(λ)d2(λ)…dn(λ)=Dn(λ)=1

(1)

di(λ)(i=1,…,n)為U(λ)的不變因子。觀察(1)式：n個(gè)λ多項(xiàng)式乘積是1，左右兩邊比較系數(shù)法，推導(dǎo)出：di(λ)=1,i=1,…,n，即單位模陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為單位陣I，Smith標(biāo)準(zhǔn)型的含義就是多項(xiàng)式矩陣在初等變換下得到一種重要的標(biāo)準(zhǔn)型，于是可以寫(xiě)成下式：

Ps(λ)Ps-1(λ)…P1(λ)U(λ)·

Q1(λ)…Qt(λ)=I

(2)

其中t,s為自然數(shù)，Pi(λ)，Qj(λ)(i=1,…,s;j=1,…,t)均為多項(xiàng)式矩陣的初等矩陣，變換(2)式則有

(3)

即

(4)

初等矩陣的逆仍為初等矩陣，根據(jù)(4)式單模矩陣可以寫(xiě)成初等矩陣的乘積得證。

定義3多項(xiàng)式次數(shù)的定義：設(shè)A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，A0,A1,…,Ar均為數(shù)字矩陣，且Ar≠0，則稱(chēng)A(λ)的次數(shù)為r，記為：?(A(λ))=r，零多項(xiàng)式的次數(shù)無(wú)意義。

定理2若A(λ)是m階非零多項(xiàng)式矩陣，B(λ),C(λ)是m行n列非零多項(xiàng)式矩陣，A(λ)B(λ)=C(λ)，A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，Ai(i=0,…,r)為m階數(shù)字矩陣且Ar可逆，則有?(A(λ))+?(B(λ))=?(C(λ))。

證明設(shè)A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，B(λ)=B0+B1λ+…+Bsλs，其中Ai(i=0,…,r)為m階數(shù)字矩陣，Bj(j=0,…,s)為m×n的數(shù)字矩陣，則

C(λ)=(A0+A1λ+…+Arλr)(B0+B1λ+…+Bsλs)=C0+C1λ+…+Cr+sλr+s

(5)

其中Cr(k=0,…,r+s)為m×n的數(shù)字矩陣，比較(5)式左右兩邊最高項(xiàng)系數(shù)有Cr+s=ArBs，當(dāng)Ar可逆時(shí)，它們的次數(shù)是可以相加的，即

?(A(λ))+?(B(λ))=?(C(λ))

定理3設(shè)A(λ)是m階非零多項(xiàng)式矩陣，A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，Ai(i=0,…,r)為m階數(shù)字矩陣且Ar可逆,B(λ)=B0+B1λ+…+Btλt是m×n的多項(xiàng)式矩陣，Bj(j=0,…,t)為m×n的數(shù)字矩陣，則存在唯一的Q(λ)和R(λ)多項(xiàng)式矩陣，使得：

B(λ)=A(λ)Q(λ)+R(λ)且R(λ)=0或者?(R(λ))

證明顯然，當(dāng)R(λ)=0時(shí)即是“除盡”了，當(dāng)?(R(λ))

“存在性”當(dāng)?(B(λ))

?(R(λ))=?(B(λ))

圖1

即R(λ)=0 或者?(R(λ))

“唯一性”(反證法)若存在兩組不同的商和余式，則B(λ)可以寫(xiě)成(6)

B(λ)=A(λ)Q(λ)+R(λ)=

A(λ)Q～(λ)+R～(λ)

(6)

改寫(xiě)(6)式有

A(λ)(Q(λ)-Q～(λ))=R～(λ)-R(λ)

(7)

根據(jù)定理2則有

?(A(λ))+?(Q(λ)-Q～(λ))=

?(R～(λ)-R(λ))

(8)

(8)式可以寫(xiě)成

r+max(?(Q(λ)),?(Q～(λ)))=

max(?(R～(λ)),?(R(λ)))

(9)

而根據(jù)“存在性”證明知道：?(R(λ))

max(?(R(λ)),?(R～(λ)))

顯然r+max(?(Q(λ)),?(Q～(λ)))≥r，從而得到(9)是個(gè)矛盾式，故唯一性得證。

有了上述基礎(chǔ)知識(shí)的準(zhǔn)備，就可以證明：數(shù)域上的兩個(gè)n階矩陣A,B相似問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)的特征矩陣λI-A和λI-B等價(jià)來(lái)解決,即

A～B?U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

(10)

這里的U(λ)，V(λ)是單模矩陣，它們可以寫(xiě)成初等矩陣的乘積。

“必要性”由A～B，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B,取U(λ)=P-1,V(λ)=P,有

U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B，即

A～B?U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

“充分性”我們根據(jù)定理3把U(λ)寫(xiě)成：

U(λ)=(λI-B)Q(λ)+R(λ)

(11)

其中R(λ)=0或者?(R(λ))<1=?(λI-B),即R(λ)=0或者R(λ)為n階的數(shù)字矩陣R。

U(λ)(λI-A)=(λI-B)V-1(λ)

(12)

把(11)式帶入(12)得：

((λI-B)Q(λ)+R)(λI-A)=(λI-B)V-1(λ)

(13)

改寫(xiě)(13)式得：

R(λI-A)=(λI-B)[V-1(λ)-Q(λ)(λI-A)]

(14)

令S=V-1(λ)-Q(λ)(λI-A),由定理2，S必須為n階數(shù)字矩陣，即

R(λI-A)=(λI-B)S

(15)

進(jìn)而R=S，下面只要證明R可逆就可以了。

因?yàn)閁(λ)是單模矩陣，則U-1(λ)也是n階多項(xiàng)式矩陣，則U-1(λ)可以寫(xiě)為

U-1(λ)=(λI-A)Q～(λ)+R～

(16)

結(jié)合(11)式和(16)式則有：

U(λ)U-1(λ)=[(λI-B)Q(λ)+R]·

[(λI-B)Q～(λ)+R～]=I

(17)

化簡(jiǎn)(17)式得：

(λI-B)SQ～(λ)+RR～=

I-(λI-B)Q(λ)U-1(λ)

(18)

化簡(jiǎn)(18)式得：

RR～=I-(λI-B)[Q(λ)U-1(λ)+SQ～(λ)]

(19)

根據(jù)定理3，RR～=I，即R可逆，則有RAR-1=B，即A～B。

即U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B?A～B

綜合上述證明過(guò)程，(10)式命題得證。

本文針對(duì)“數(shù)域上的兩個(gè)n階矩陣A,B相似的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)的特征矩陣λI-A和λI-B等價(jià)來(lái)解決”命題的證明，沒(méi)有真正區(qū)分?jǐn)?shù)字矩陣和多項(xiàng)式矩陣在某些問(wèn)題證明時(shí)的不同。本文就這一問(wèn)題，引入了一些相應(yīng)的定義和定理及其證明，最后對(duì)這一命題進(jìn)行了詳細(xì)深入的論述和證明。

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The Proof of “Matrix’s Similarity” Equivalent

to “The Equivalence of Characteristic Matrix”

YUAN Shu-ping，CHENG Jia-xing

(Institute of Information Engineering, Anhui Xinhua University, Hefei 230088, China)

Abstract:The problem about digital matrix’s similarity can be solved with the equivalence of the corresponding characteristic matrix. In many textbooks the proof of this problem is too simple; they haven’t made a distinction between the digital matrix and the polynomial matrix. The difference between digital matrix and polynomial matrix is that the digital matrix is still digital matrix through the operation of addition, subtraction, multiplication, and division, but the polynomial matrix is not. So, when we prove some problems about polynomial matrix, it can not be used directly with the digital matrix’s definitions and theorems. This article has discussed in detail this problem that "digital matrix’s similarity” is equivalent to “the equivalence of characteristic matrix”.

Key words:Matrix’s similarity, digital matrix, characteristic matrix, polynomial matrix

文章編號(hào)：1007-4260(2015)02-0019-03

中圖分類(lèi)號(hào)：G47

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：袁書(shū)萍，女，安徽懷寧人，碩士，安徽新華學(xué)院信息工程學(xué)院講師，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理與模式識(shí)別、數(shù)值計(jì)算。

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目(2012jyxm578)。

收稿日期：2014-12-18