構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模型 提高綜合分析能力

夏金娟

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 分析能力 教學(xué)片段

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）12A-

0074-02

2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)小學(xué)高年級(jí)解決問題的目標(biāo)是這樣描述的：嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用一些知識(shí)加以解決；能探索分析和解決問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性；經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程；能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性。數(shù)學(xué)問題的解決，從根本上講是把已學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到新的情境中去，通過對(duì)已有知識(shí)的重新組合而生成新的解題策略和方法。由此可見，解決問題是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的重要途徑，有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。

一、教學(xué)片段

（一）合作交流，思維訓(xùn)練

（出示：閱覽室里，女同學(xué)占）

師：誰來說說這句話的意思？

生：把閱覽室里的總?cè)藬?shù)看作整體“1”，平均分成4份，女同學(xué)占其中的一份。

師：你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)問題嗎？

四人學(xué)習(xí)小組討論后匯報(bào)。

生1：男同學(xué)占總?cè)藬?shù)的。

生2：女同學(xué)和男同學(xué)的比是：1∶3.

生3：女同學(xué)占男同學(xué)的；男同學(xué)是女同學(xué)的3倍。

……

（二）創(chuàng)設(shè)情境，交流提升

師：平時(shí)同學(xué)們都喜歡到學(xué)校閱覽室看書，下面，我們就去學(xué)校閱覽室里看看有什么數(shù)學(xué)問題。（課件出示情境圖文：學(xué)校閱覽室里看書的同學(xué)中，女同學(xué)占，30分鐘后，有6位女同學(xué)進(jìn)去看書，這時(shí)看書的同學(xué)中，女同學(xué)占?，F(xiàn)在閱覽室有多少名同學(xué)在看書？）

師：請(qǐng)同學(xué)們說說看這道題有幾個(gè)數(shù)量信息。

生1：有四個(gè)信息，女同學(xué)占看書總?cè)藬?shù)的；半小時(shí)后；增加了6名女同學(xué)；女同學(xué)占看書總?cè)藬?shù)的。

生2：（搶答），30分鐘這個(gè)信息對(duì)解題沒有用。

師：你的觀察真仔細(xì)！誰來說說你讀完信息后想到了什么？下面請(qǐng)四人小組合作解答問題。

生：=40（人）

師：說說你的思路？

生：女同學(xué)原來占總數(shù)的，增加6人后，現(xiàn)在女同學(xué)占總數(shù)的，用女同學(xué)前后的數(shù)量差6人除以前后對(duì)應(yīng)總?cè)藬?shù)的分率差就可以得到閱覽室的總?cè)藬?shù)了。

師：誰有不同意見嗎？

（學(xué)生沉默。教師知道結(jié)果是錯(cuò)誤的，但沒有直接點(diǎn)出學(xué)生的錯(cuò)誤，而是組織學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題）

師：下面我們一起檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果是否正確?，F(xiàn)在有40人，沒來6位女同學(xué)之前，閱覽室原有幾人？

生：40-6=34人。

師：原來女同學(xué)占，原來的女同學(xué)人數(shù)怎么算？

列式：34×

（學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：結(jié)果不是整數(shù)，開始懷疑列式是否正確）

師：我們通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)原來女同學(xué)的人數(shù)不是整數(shù)，說明列式有問題，讓我們反思一下這道題在哪個(gè)地方理解錯(cuò)了。

（組織四人學(xué)習(xí)小組討論。通過合作交流，學(xué)生自己探索解決問題的方法）

師：你們發(fā)現(xiàn)癥結(jié)在哪了嗎？

（學(xué)生沉默）

師（點(diǎn)化）：同學(xué)們，你們想想看，原來女同學(xué)占和后來女同學(xué)占對(duì)應(yīng)的單位“1”雖然都是閱覽室里的總?cè)藬?shù)，但這個(gè)總?cè)藬?shù)變了沒？

（這個(gè)拋磚引玉的點(diǎn)化提問，激活了學(xué)生的思維，學(xué)生的發(fā)言活躍起來了）

生1：變了，增加了6個(gè)女同學(xué)，總?cè)藬?shù)也增加了6人。

生2：總?cè)藬?shù)變了，和對(duì)應(yīng)的單位“1”的數(shù)量就不相同了。

生3：這道題里，女同學(xué)增加了，造成總?cè)藬?shù)也增加了。

師（小結(jié)）：當(dāng)單位“1”的數(shù)量發(fā)生變化時(shí)，單位“1”不相同的分率是不能直接相加減的，比如12的和20的，我們不能把直接加。但如果是20的和20的，就可以把直接加后再乘以20，因?yàn)楹蛯?duì)應(yīng)的單位“1”都是20。你們聽明白了嗎？

生：我明白了，單位“1”不相同的兩個(gè)分率是不能直接相加減的，這道題把減是錯(cuò)的。

（學(xué)生明白了解題錯(cuò)誤的原因，但不知道如何找到解題的方法，這時(shí)教師點(diǎn)化啟發(fā)）

師：閱覽室里有女同學(xué)、男同學(xué)，還有總?cè)藬?shù)，這三個(gè)量哪個(gè)是變量，哪個(gè)是不變的量呢？

生1：女同學(xué)變了，總?cè)藬?shù)也變了，但男同學(xué)的人數(shù)沒有變。

生2：男同學(xué)的人數(shù)始終沒有改變，我們可以把單位“1”轉(zhuǎn)化成用男同學(xué)表示就可以解答了。

師：你看到了解決問題的關(guān)鍵了，那怎樣把女同學(xué)轉(zhuǎn)化成用男同學(xué)看作單位“1”來表示呢？

（學(xué)生的思維活躍起來了）

生1：從女同學(xué)占原來閱覽室總?cè)藬?shù)的可以知道原來閱覽室總?cè)藬?shù)有4份，女同學(xué)占1份，男同學(xué)占3份，那么，女同學(xué)占男同學(xué)的。

生2：女同學(xué)占現(xiàn)在閱覽室人數(shù)的，現(xiàn)在的閱覽室有5份，女同學(xué)占2份，男同學(xué)占3份，女同學(xué)占男同學(xué)的。

師：善于抓住不變量，把變量轉(zhuǎn)化成用不變量的男同學(xué)做單位“1”是解決變量單位“1”的分?jǐn)?shù)問題的關(guān)鍵。同學(xué)們明白這道題怎樣解答了嗎？

（學(xué)生列式）

原女同學(xué)占男同學(xué)的比為：=

現(xiàn)女同學(xué)占男同學(xué)的比為：=

男同學(xué)： =18（人）

現(xiàn)總?cè)藬?shù)：=30（人）

師：還有別的方法嗎？

生：也可以通過總?cè)藬?shù)的變化來求解的。

（學(xué)生列式）

原總?cè)藬?shù)占男同學(xué)：=

現(xiàn)總?cè)藬?shù)占男同學(xué)：=

男同學(xué)：=18（人）

現(xiàn)總?cè)藬?shù)：18×=30（人）

師：下面我們對(duì)比一下這兩種方法，方法一求現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)用除法，方法二求現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)用乘法，為什么呢？

生：方法一是通過“男同學(xué)占現(xiàn)在總?cè)藬?shù)的”來求總?cè)藬?shù)，這里的總?cè)藬?shù)是未知的，用除法算。方法二是通過“總?cè)藬?shù)占男同學(xué)的”來求總?cè)藬?shù)，這里的單位“1”是男同學(xué)，是已知的，所以用乘法算。

（通過對(duì)比，提高轉(zhuǎn)化單位“1”思維的靈活性）

師：今天我們學(xué)會(huì)了抓住不變量，用算數(shù)法解決了分?jǐn)?shù)問題，希望同學(xué)們今后做題能學(xué)會(huì)觀察分析哪個(gè)是變量，哪個(gè)是不變量，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化單位“1”，把不變量看作單位“1”求解。

生：老師，能不能用方程解答？

（這時(shí)已經(jīng)打下課鈴了）

師：怎樣用方程解答呢？請(qǐng)同學(xué)們回去探究一下，下一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)。

二、教學(xué)反思

（一）鼓勵(lì)學(xué)生掌握多樣化的解決問題策略，逐步完善數(shù)學(xué)模型

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求積極鼓勵(lì)學(xué)生體驗(yàn)“從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題—構(gòu)建數(shù)學(xué)模型—求解模型—解釋、應(yīng)用和拓展”，從而分析問題和解決問題。本節(jié)課首先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己列式錯(cuò)誤，從而進(jìn)一步明確了這類數(shù)學(xué)問題的解答模型——單位“1”的數(shù)量發(fā)生變化時(shí)，要運(yùn)用轉(zhuǎn)化單位“1”的策略解決問題。解決問題的關(guān)鍵是要觀察哪個(gè)是變量，哪個(gè)是不變量，把不變量看成單位“1”，才能求解。這里學(xué)生一般很難想到這樣的轉(zhuǎn)化，這就需要教師的點(diǎn)化。為突破難點(diǎn)，新課前教師讓學(xué)生合作交流，對(duì)“閱覽室里，女同學(xué)占”進(jìn)行大膽聯(lián)想，為轉(zhuǎn)化思維奠定基礎(chǔ)。在解決問題過程中，教師注意培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性，即能通過女同學(xué)占男同學(xué)的分率求解，也可以通過全班同學(xué)占男同學(xué)的分率求解。最后還引導(dǎo)學(xué)生用方程的思維去求解，讓學(xué)生課后探索用方程解的方法，激發(fā)學(xué)生的求知欲，完善這類數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

（二）教師要善于關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和需求

一節(jié)課的流程，不可能都是按照教師的備課教案按部就班來完成，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些意外的收獲。這些收獲有的來自師生的互動(dòng)，有的來自學(xué)生間思維的碰撞，還有的是來自個(gè)別學(xué)生的“別出心裁”。因此，教師要善于從“關(guān)注知識(shí)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生”，學(xué)會(huì)由“給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引出知識(shí)”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)于新知識(shí)，學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)往往是模糊的、零散的，這就要求教師幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中獲得的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化、清晰化、條理化。教師要學(xué)會(huì)對(duì)一些突發(fā)的事情隨機(jī)應(yīng)變，從糾正學(xué)生錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)思維中提升和完善學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。比如，本節(jié)課中學(xué)生出現(xiàn)了列式上的錯(cuò)誤，主要是學(xué)生對(duì)“女同學(xué)占”和“女同學(xué)占”這兩句話看作相同的單位“1”，即以閱覽室里的總?cè)藬?shù)看作單位“1”，這是學(xué)生思維的形象性與問題的抽象性發(fā)生了沖突而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，說明學(xué)生的思維在解決問題過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。在小學(xué)階段，學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，對(duì)一些深度的抽象思維的數(shù)學(xué)問題感到棘手是正常的，這就需要教師有意識(shí)地點(diǎn)撥和訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生反思。本節(jié)課中，教師通過點(diǎn)撥學(xué)生回顧分?jǐn)?shù)的加減法的意義來反思錯(cuò)誤的列式，從而提高了學(xué)生遷移知識(shí)的能力和推理能力。

（三）教師要善于讓學(xué)生學(xué)會(huì)用學(xué)過的數(shù)學(xué)思維模型為新的思維模型服務(wù)

數(shù)學(xué)很講究“溫故而知新”的學(xué)習(xí)方法。新知識(shí)的出現(xiàn)，往往是以舊知識(shí)為基礎(chǔ)的，新知識(shí)是舊知識(shí)的引申和發(fā)展，是舊知識(shí)的重新組織或轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)新知識(shí)前，復(fù)習(xí)相關(guān)的舊知識(shí)，不僅可以鞏固并加深對(duì)新舊知識(shí)的掌握，還可以使知識(shí)系統(tǒng)化，有利于學(xué)生循序漸進(jìn)地探索、推理、學(xué)習(xí)知識(shí)。學(xué)習(xí)新知識(shí)后要善于與舊知識(shí)聯(lián)系，形成一個(gè)更廣泛的知識(shí)體系。本節(jié)課中，當(dāng)學(xué)生用兩種方法解答后，教師啟發(fā)學(xué)生對(duì)比這兩種方法：方法一求現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)用除法，方法二求現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)用乘法，為什么呢？從而幫助學(xué)生既鞏固“已知單位‘1的數(shù)量時(shí)用乘法，求單位‘1的數(shù)量用除法”的數(shù)學(xué)思維模式，又加深了“如果單位‘1發(fā)生變化時(shí)，需要轉(zhuǎn)化單位‘1求解”的思維模式，提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合分析能力。

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展史，始終把解決問題作為貫穿數(shù)學(xué)課程的一條主線。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力作為重要的教學(xué)任務(wù)。本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐證明，以培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力為教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)成效是不錯(cuò)的。

（責(zé)編 黎雪娟）