計(jì)算數(shù)學(xué)研究中理論分析與實(shí)踐的辯證關(guān)系

黃海洋+關(guān)宏波+劉澤

摘要：從計(jì)算數(shù)學(xué)研究出發(fā)，闡述計(jì)算數(shù)學(xué)與實(shí)踐相結(jié)合的辯證關(guān)系，分為“計(jì)算數(shù)學(xué)源于實(shí)踐” “計(jì)算數(shù)學(xué)必須要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)”和“計(jì)算數(shù)學(xué)能夠應(yīng)用于實(shí)踐”三個(gè)部分，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不能做假大空的研究，必須與實(shí)踐相結(jié)合，才能成為真正有用的科學(xué)。

關(guān)鍵詞：計(jì)算數(shù)學(xué)；實(shí)踐檢驗(yàn)；辯證關(guān)系

哲學(xué)是一些科學(xué)研究的根源，其思想具有宏觀性，而數(shù)學(xué)的研究具有高度的抽象性，是一種文化體系，是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的自然科學(xué)，是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。哲學(xué)是自然知識(shí)、社會(huì)知識(shí)和思維知識(shí)的概括和總結(jié)，是研究世界觀的學(xué)問，是世界觀和方法論的統(tǒng)一，是人類思維的結(jié)晶與提煉。正如文獻(xiàn)[1]中論述，數(shù)學(xué)和哲學(xué)同為兩門最古老的學(xué)科，在人們不斷認(rèn)識(shí)大自然，認(rèn)識(shí)自我的過程中都發(fā)揮了重要的作用，也都得到了極大的發(fā)展。數(shù)學(xué)與哲學(xué)都具有高度的抽象性，他們之間存在著密切的聯(lián)系。從古至今，數(shù)學(xué)都始終影響著哲學(xué)。數(shù)學(xué)的發(fā)展，加深了對(duì)哲學(xué)基本規(guī)律的理解，豐富了哲學(xué)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)有嚴(yán)密的邏輯性，這使得哲學(xué)家都重視對(duì)邏輯的研究和運(yùn)用，哲學(xué)家經(jīng)常用數(shù)學(xué)的研究成果來論證他們的哲學(xué)思想，或者是對(duì)數(shù)學(xué)的一些研究成果進(jìn)行抽象概括，建立哲學(xué)理論，推動(dòng)哲學(xué)的發(fā)展。反言之，數(shù)學(xué)歷來都是哲學(xué)研究的對(duì)象，哲學(xué)作為世界觀，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著指導(dǎo)和推動(dòng)作用。從古代常量數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的形成過程中，哲學(xué)在揭示其內(nèi)涵方面都起到了重要的作用。例如，柏拉圖的理念論哲學(xué)、馬克思主義哲學(xué)等都對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有非常大的影響。

R. Murawski在文獻(xiàn)[2]中對(duì)哲學(xué)家Bornstein的邏輯與數(shù)學(xué)品質(zhì)的一些主要觀點(diǎn)進(jìn)行了重述，如集合論的一些概念原理，以及歐式幾何與非歐幾何中的一些區(qū)別進(jìn)行了闡述。文獻(xiàn) [3] 和 [4] 都是從數(shù)學(xué)史的角度介紹了數(shù)學(xué)與實(shí)踐的關(guān)系。文獻(xiàn) [5] 對(duì)數(shù)學(xué)工作者提出加強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，不做偽科學(xué)。文獻(xiàn) [6] 主要突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究與工科專業(yè)知識(shí)之間的聯(lián)系，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的講授與教研一定要與工科應(yīng)用結(jié)合起來，注重其在實(shí)踐中的應(yīng)用。

在日常的計(jì)算數(shù)學(xué)研究中，針對(duì)不同的實(shí)際模型問題，要給出相應(yīng)數(shù)值算法的同時(shí)，須嚴(yán)格按照因果關(guān)系導(dǎo)出該數(shù)值解與精確解之間的誤差，并找出計(jì)算網(wǎng)格剖分加密時(shí)，所增加的工作量與誤差之間的關(guān)系。也就是說，當(dāng)工作量增加時(shí)，所得到的誤差精度也應(yīng)該指數(shù)倍的提高，如果工作量增加了很多，誤差雖然有所減少，但是減小得不夠劇烈，這說明算法也是不成功的。工作成本與誤差精度之間的關(guān)系，稱之為收斂階，當(dāng)收斂階越高，說明我們的算法就越優(yōu)越。另一方面，在實(shí)際研究中，必須利用一個(gè)或多個(gè)現(xiàn)實(shí)中的例子，按照給出的理論算法，編寫程序驗(yàn)證該算法是否有效可行，與理論分析是否吻合。如果與理論分析不吻合。那就要檢查是程序編寫是否有誤，理論分析是否嚴(yán)禁，并說明相互之間的辯證關(guān)系。直到數(shù)值計(jì)算與理論分析的誤差在容許范圍之內(nèi)時(shí)，才能夠說明該方法是可以被實(shí)踐檢驗(yàn)的，誠如“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”。實(shí)踐實(shí)際上是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，最終也必將是認(rèn)識(shí)的歸宿所在?，F(xiàn)將計(jì)算數(shù)學(xué)與實(shí)踐的論證關(guān)系分三個(gè)方面闡述如下：

一、 計(jì)算數(shù)學(xué)源于實(shí)踐

目前，計(jì)算數(shù)學(xué)中經(jīng)常針對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)物理方程或模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和數(shù)值模擬，如計(jì)算數(shù)學(xué)中經(jīng)常處理的二階膜問題、四階板問題、拋物方程、Maxwell方程、磁流體方程和最優(yōu)控制問題等都是源于現(xiàn)實(shí)生活、工程領(lǐng)域及物理現(xiàn)象的，都有其實(shí)際的應(yīng)用背景，即我們的研究是源于實(shí)踐的。

關(guān)于數(shù)學(xué)演變的數(shù)學(xué)故事及數(shù)學(xué)研究已有很多，被數(shù)學(xué)教師經(jīng)常用于課堂上的是關(guān)于數(shù)論的進(jìn)化過程，由最初原始人用于對(duì)所獲得獵物計(jì)數(shù)的自然數(shù)，到整數(shù)、分?jǐn)?shù)，一直到現(xiàn)代文明中出現(xiàn)的無理數(shù)、虛數(shù)，還有近年來出現(xiàn)的四元數(shù)研究等等。而高等數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容微積分，是由數(shù)學(xué)家牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立完成的，他們的出發(fā)點(diǎn)分別是物理學(xué)和數(shù)學(xué)，所給出的引例和定理也是分別針對(duì)物理和數(shù)學(xué)的，但是框架和內(nèi)容幾乎是完全相同的，算法也一樣，到目前為止，這也是科學(xué)界公認(rèn)的奇跡之一。微積分最初給出的數(shù)學(xué)模型是導(dǎo)數(shù)，主要是由變化率導(dǎo)出的，源于物理中的速度和加速度問題以及平面幾何中的切線斜率問題，給出導(dǎo)數(shù)的極限定義，進(jìn)一步得出導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法和性質(zhì)后，不僅可以求解上述問題，還可用來求其它變化率的問題，另一方面是積分知識(shí)，也是有其現(xiàn)實(shí)應(yīng)用背景的。

上面提到的計(jì)算數(shù)學(xué)中針對(duì)的各類方程其實(shí)都有其理論背景，以最簡單的二階膜問題為例，模型方程為：

其經(jīng)典研究背景是有一張邊緣被固定的膜，當(dāng)在其表面施加外力f時(shí)，求解其振動(dòng)幅度u。由于膜的邊緣被固定，故u在區(qū)域■的邊緣■處的振幅都是0，也就是所謂的零邊界條件。另外我們知道拉普拉斯算子■，這正是物理運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)原理：“位移的變化率為速率，速率的變化率為加速度?！奔铀俣日桥c外界受力f有關(guān)的，拉普拉斯算子前面的負(fù)號(hào)“-”也正說明了薄膜的最大振幅正是與受力方向相反的。而用有限元方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，也是強(qiáng)制令邊界單元部分取值為0，進(jìn)而根據(jù)外力f來求解出u的近似解的，在有限元方法中經(jīng)常是一個(gè)分片的多項(xiàng)式。理論上說來，多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近的誤差也就越小，但實(shí)際上，當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)增加過多時(shí)，必然給實(shí)際應(yīng)用時(shí)的計(jì)算機(jī)工作量增加，我們?cè)谶@里稱之為自由度。當(dāng)自由度增加過快時(shí)，由于計(jì)算機(jī)的硬件是有限制的，計(jì)算機(jī)可能無法承受，甚至死機(jī)，也就宣告了該算法是失敗的。在實(shí)際計(jì)算中，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)增加時(shí)，計(jì)算機(jī)能夠正常運(yùn)行計(jì)算，但誤差卻沒有按照理論分析中那樣減少的那么快，經(jīng)常性的一個(gè)原因就是原問題解的正則性達(dá)不到多項(xiàng)式次數(shù)的要求。也就是說，增加多項(xiàng)式的次數(shù)也不是任意的，需要根據(jù)解的正則性確定合適的多項(xiàng)式空間，按照Sobolev插值定理，當(dāng)精確解屬于■時(shí)，最多只能選取k-1階多項(xiàng)式空間即可，次數(shù)再高，也不會(huì)提高計(jì)算精度。

另外類似地，四階板問題，研究的是薄板的彎曲幅度，原理與上面提到的二階問題的類似；拋物問題加入了時(shí)間t的影響，稱之為發(fā)展方程或非定常問題；Maxwell方程是針對(duì)電磁場(chǎng)給出的模型；我的博士論文研究的是最優(yōu)控制問題。實(shí)際上，最優(yōu)控制問題在工程中有著非常廣泛的應(yīng)用，其中一個(gè)典型的應(yīng)用就來源于大氣污染控制問題。目前對(duì)于大氣污染的控制，一種思路是以控制污染源排放量為手段，使得大氣污染物濃度在特定區(qū)域和特定時(shí)間段內(nèi)保持在一個(gè)容許范圍之內(nèi)，同時(shí)又使得付出的代價(jià)最小。這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)典型的偏微分方程控制問題。此外，一些大型撓性空間結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與制造、大型柔性結(jié)構(gòu)的波動(dòng)控制研究、低溫超導(dǎo)激光能量爆破的控制研究等都可以歸結(jié)為偏微分方程描述的最優(yōu)控制問題的研究。最優(yōu)控制問題在工程中的應(yīng)用還包括復(fù)合材料設(shè)計(jì)問題，須要考慮怎樣合理的配置具有不同結(jié)構(gòu)和屬性的材料使得得到的復(fù)合材料滿足我們的需求。還有石油開采過程優(yōu)化，在石油開采過程中，須要通過注水使得油田的油往出油口流動(dòng)，而在很多情況下，二次污染問題以及珍貴的水資源也是必須考慮的因素，因此需要合理的注水來達(dá)到最大的收益。此外還包括在溫度控制、交通信號(hào)控制、系數(shù)控制（即參數(shù)辨識(shí)）、材料設(shè)計(jì)、形狀設(shè)計(jì)、流體控制以及航空航天中的應(yīng)用等等，都是針對(duì)控制系統(tǒng)給出的。即我們?cè)谟?jì)算數(shù)學(xué)中所研究的模型問題都是有其應(yīng)用背景的，所給出的數(shù)值算法都是有意義可循的。

事實(shí)上，很多著名的大數(shù)學(xué)家，如牛頓、笛卡爾、龐加萊等同時(shí)也是物理學(xué)家、力學(xué)家等，他們將現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象和規(guī)律總結(jié)為一類數(shù)學(xué)模型，只需將該數(shù)學(xué)模型處理好，它所對(duì)應(yīng)的實(shí)際問題也被規(guī)范地解決完畢，并且能夠形成統(tǒng)一模式去處理，提高工作效率。無論是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)，如果他所研究的模型根本就找不到合適的物理背景，或者找不到實(shí)際例子，更不要提其所給出的研究方法和研究結(jié)論了，他所研究的內(nèi)容就是假大空的內(nèi)容，其研究可稱為毫無意義的研究。

二、 計(jì)算數(shù)學(xué)必須要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)

對(duì)于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型，或者通過總結(jié)規(guī)律得到的數(shù)學(xué)模型，須要采用合適的方法去解決它。如果能夠找到精確解（如歐式期權(quán)問題），就可以直接利用該精確解去處理相應(yīng)問題，得到一些結(jié)果。

然而很多模型（如美式期權(quán)問題）只能證明其存在唯一精確解，但是求解其精確解非常困難，甚至根本就不解析，那么就要采用數(shù)值方法找到其數(shù)值解，有時(shí)稱為近似解，這也是計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)工作者的主要研究內(nèi)容。然而，要想使得該求解方法可行，就必須接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，在數(shù)值試驗(yàn)中，根據(jù)所設(shè)計(jì)的算法編制出能夠直接處理問題的程序，對(duì)某一個(gè)或一類特定問題進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)結(jié)果是否有效。主要指的是在某一范數(shù)（模）意義下，所計(jì)算出來的數(shù)值解與精確解之間是否存在逼近關(guān)系，如果相差甚大，那么該計(jì)算方法顯然是不適用的，沒有通過實(shí)踐的檢驗(yàn)。而如果該數(shù)值解確實(shí)是與精確解比較接近的，那說明該方法是可行的。特別是當(dāng)要求所給出數(shù)值解與精確解之間的誤差足夠小時(shí)，計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力是否能夠達(dá)到，也就是說須要不斷地改進(jìn)算法，使得計(jì)算方法能夠處理現(xiàn)實(shí)生活中足夠大規(guī)模的問題，讓工程界工作者能夠直接利用該算法去解決問題。

三、計(jì)算數(shù)學(xué)能夠應(yīng)用于實(shí)踐

計(jì)算數(shù)學(xué)方法所給出的理論分析以及計(jì)算方法，還要能夠應(yīng)用于實(shí)踐，在實(shí)踐中確實(shí)有其獨(dú)道之處。數(shù)學(xué)給人的第一感覺就是嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，甚至讓人窒息。然而，也正是有了這些優(yōu)勢(shì)，數(shù)學(xué)在目前科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，才有其一席之地。

在文化大革命剛剛結(jié)束之時(shí)，鄧小平同志就派人四處尋找華羅庚先生，希望從基礎(chǔ)學(xué)科抓起，給以后的科學(xué)發(fā)展提供前期保障和理論支撐，以免走錯(cuò)路、走彎路?，F(xiàn)在看來，鄧小平同志的決定是英明的，是有先見之明的。如果基礎(chǔ)理論不扎實(shí)，那么在具體的實(shí)踐科學(xué)技術(shù)中，就容易出紕漏、出差錯(cuò)，保證不了其正確性，甚至造成難以預(yù)料的損失和災(zāi)難。

從另一方面來說，為了避免這么嚴(yán)重的災(zāi)難和后果的發(fā)生，前提就必須要求基礎(chǔ)學(xué)科的知識(shí)是完備的，經(jīng)受住考驗(yàn)的，是能夠應(yīng)用于實(shí)踐的。如果所提出的一些理論都是假大空的，根本就不能應(yīng)用于實(shí)踐，完全是自娛自樂、自圓其說，那么可以肯定的是，這樣的研究不是我們需要的，完全可以稱之為偽科學(xué)。計(jì)算數(shù)學(xué)所要求的，必須包括模型假設(shè)的合理性、理論分析的正確性和設(shè)計(jì)算法的應(yīng)用性等方面，這也正是當(dāng)今科研工作所必備的。

實(shí)際上，國際上也對(duì)我們國家的科研有著質(zhì)疑，認(rèn)為很多科學(xué)研究實(shí)際上是偽科學(xué)，盡管沒有學(xué)術(shù)造假行為，但是所給出的方法只能存在于理論研究，根本走不出實(shí)驗(yàn)室。曾經(jīng)發(fā)生過這樣一個(gè)故事，一個(gè)西南某高校的數(shù)學(xué)教授，根據(jù)自己的理論推導(dǎo)，證明了某種映射是具有不動(dòng)點(diǎn)的，并據(jù)此發(fā)表了數(shù)十篇論文。幾年以后，一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)大二的一個(gè)本科生。在國內(nèi)一個(gè)一般性期刊上發(fā)表了僅僅兩頁的論文，說明這種假設(shè)下的映射只能針對(duì)只有一個(gè)點(diǎn)的集合，根本就不可能應(yīng)用于實(shí)踐。至此，說明該教授的系列研究就沒有任何意義可言。所以，我們的研究應(yīng)該找到實(shí)際應(yīng)用背景，并能夠接受現(xiàn)實(shí)實(shí)踐的檢驗(yàn)，才能有長遠(yuǎn)的、可持續(xù)的發(fā)展。實(shí)驗(yàn)室的研究也應(yīng)該向著能夠用于生產(chǎn)的方向研究，不能僅限于促成偶然出現(xiàn)的小概率事件而沾沾自喜。

四、結(jié)束語

從上述論述過程中可以看出，其實(shí)不僅僅是計(jì)算數(shù)學(xué)，乃至整個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)甚至于其他理工科的科學(xué)研究工作，都要理論與實(shí)踐相結(jié)合，才能成為真正的科學(xué)。研究內(nèi)容必須有意義，研究過程必須科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，研究結(jié)果必須能夠接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。在我們?nèi)粘５目蒲泄ぷ髦校瑥囊黄蒲姓撐牡倪x題，經(jīng)過理論分析與數(shù)值試驗(yàn)，一直到論文的定稿不斷修改和錄用，都必須與實(shí)踐高度結(jié)合，這也正是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科與實(shí)踐之間的必然聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭翠花.淺議數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系[J].中山大學(xué)研究生學(xué)刊（自然科學(xué)版），2005，26（3）：107-111.

[2]Roman Murawski. Benedykt Bornsteins Philosophy of Logic and Mathematics，Axiomathes[J]，2014，（4）： 549-558.

[3]董駿.從數(shù)學(xué)哲學(xué)看數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)之友， 2014，（16）： 76-77.

[4]李衛(wèi).論數(shù)學(xué)的哲學(xué)思辨和社會(huì)實(shí)踐[J]，速讀（教學(xué)研討）， 2014，（2）： 54-55.

[5]杜其奎，寧連華，周興和.淺談數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)素質(zhì)[J].中國大學(xué)教學(xué)，2011，（5） ：11-14.

[6]關(guān)宏波，黃海洋. 高等數(shù)學(xué)與工科專業(yè)課程有機(jī)結(jié)合的若干思考[J]，高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，（1）： 5-6.

編輯/宋 宇