由冪函數(shù)生成的廣義李薩如圖形

李京潁，王春曉

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，阜陽(yáng) 236037)

由冪函數(shù)生成的廣義李薩如圖形

李京潁，王春曉

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，阜陽(yáng) 236037)

基于拓?fù)浞治?，將?biāo)準(zhǔn)李薩如圖形的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方式由簡(jiǎn)諧函數(shù)推廣到半波對(duì)稱函數(shù)，得到了一類與標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形拓?fù)涞葍r(jià)，但更一般的周期平面曲線。構(gòu)造出了與正弦函數(shù)拓?fù)涞葍r(jià)的半波對(duì)稱連續(xù)函數(shù)，給出了完成上述方案的具體程序。用科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica得到了由各種不同的冪函數(shù)生成的廣義的李薩如圖形，并給出了它們的統(tǒng)一規(guī)律。最后討論了廣義李薩如圖形的對(duì)稱性，給出了相應(yīng)的判別條件。

冪函數(shù)；李薩如圖形；Mathematica

李薩如圖形是兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在頻率比為有理數(shù)時(shí)生成的幾何曲線[1]，具有穩(wěn)定的封閉的運(yùn)動(dòng)軌跡。李薩如圖形在電學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[2-4]。在工程技術(shù)領(lǐng)域，人們常常利用李薩如圖形來(lái)測(cè)量分振動(dòng)的頻率和確定相位差。近年來(lái)，人們對(duì)李薩如圖形進(jìn)行了較為深入和廣泛的研究，文獻(xiàn)[5]研究了李薩如結(jié)，即高維的李薩如圖形，并將構(gòu)成李薩如圖形的分運(yùn)動(dòng)推廣到較為一般的周期運(yùn)動(dòng)，可以用有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)描述；文獻(xiàn)[6]從量子力學(xué)的角度研究了形成李薩如圖形的物理學(xué)機(jī)制，并討論了經(jīng)典的周期曲線與量子系統(tǒng)簡(jiǎn)并度之間的聯(lián)系。本文的目的是在保證拓?fù)涞葍r(jià)的情況下，將構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形的分運(yùn)動(dòng)推廣到更為一般的情況。

按文獻(xiàn)[7]，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(以正弦函數(shù)為例)只是一種特殊的半波對(duì)稱函數(shù)。一般地，由單調(diào)增函數(shù)生成的連續(xù)半波對(duì)稱函數(shù)與正弦函數(shù)拓?fù)涞葍r(jià)，形成一個(gè)拓?fù)涞葍r(jià)類。我們將通常標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形的分振動(dòng)形式由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)改為拓?fù)涞葍r(jià)的連續(xù)半波對(duì)稱函數(shù)，可以得到與經(jīng)典李薩如圖形拓?fù)涞葍r(jià)

的更一般的平面周期曲線，即廣義李薩如圖形。作為典型的例子，我們給出了一類由冪函數(shù)生成的廣義李薩如圖形。

1 正弦函數(shù)的拓?fù)涞葍r(jià)類

不失一般性，我們考慮正弦函數(shù)形式的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。容易驗(yàn)證，以T為周期的正弦函數(shù)

f(x)=sin(2πx/T)

(1)

具有如下性質(zhì)：

2)在原點(diǎn)處連續(xù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

顯然，具有上述性質(zhì)的連續(xù)周期函數(shù)都與正弦函數(shù)拓?fù)涞葍r(jià)，形成一個(gè)拓?fù)涞葍r(jià)類。

(2)

按照文獻(xiàn)[7]，這樣構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)與簡(jiǎn)諧函數(shù)具有同樣的增減性，是一個(gè)半波對(duì)稱的連續(xù)函數(shù)。

與上述定義對(duì)應(yīng)的Mathematica命令[8]為

F[x_]：=f[x]/；x<=T/4；F[x_]：=f[T/2-x]/；x<=T/2;F[x_]：=-F[x-T/2]/；x<=T；F[x_]：=F[x-T]/；x>T

例如，我們?nèi)【€性函數(shù)f(x)=x,T=4，由上述Mathematica命令可以得到

圖1 由線性函數(shù)生成的半波對(duì)稱連續(xù)函數(shù)

這正是我們所熟悉的三角波圖形。

其中取非線性函數(shù)為f(x)=x2，完整的Mathematica程序如下：

f[x_]=x^2；T=4；

F[x_]：=f[x]/；x<=T/4；F[x_]：=f[T/2-x]/；x<=T/2;F[x_]：=-F[x-T/2]/；x<=T；F[x_]：=F[x-T]/；x>T

Plot[F[x]，{x，0，20}]

圖2 由非線性函數(shù)生成的半波對(duì)稱連續(xù)函數(shù)

f[x_]=x^(1/2)；T=4；

F[x_]：=f[x]/；x<=T/4；F[x_]：=f[T/2-x]/；x<=T/2;F[x_]：=-F[x-T/2]/；x<=T；F[x_]：=F[x-T]/；x>T

Plot[F[x]，{x，0，20}]

按照這樣的方法，可以由任意的單調(diào)連續(xù)函數(shù)構(gòu)造出與正弦函數(shù)拓?fù)涞葍r(jià)的半波對(duì)稱連續(xù)函數(shù)。

2 廣義李薩如圖形

標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形的參數(shù)方程為

(3)

其中p，q為正整數(shù)，而φ為兩個(gè)相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)分量的位相差。

按照上面的方案，我們可以將標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形中的正弦函數(shù)改為其拓?fù)涞葍r(jià)類中的任意一個(gè)函數(shù)，所生成的圖形與標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形拓?fù)涞葍r(jià)，可以認(rèn)為是廣義的李薩如圖形。

為了具體起見(jiàn)，我們考慮由冪函數(shù)生成的半波對(duì)稱函數(shù)，以此構(gòu)造出廣義的李薩如圖形。

2.1 部分廣義李薩如圖形

先保持X方向的振動(dòng)周期為T= 2π/p的正弦波，將Y軸方向的振動(dòng)變?yōu)橹芷跒門= 2π/q的半波對(duì)稱函數(shù)。即

(4)

由此可以構(gòu)造出部分廣義李薩如圖形。

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們?nèi)∥幌嗖顬棣? π/2，

q=1，利用Mathematica軟件作圖，得到結(jié)果如下：

圖3 廣義李薩如圖形與標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形的對(duì)比

上表中第一行為標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形，可以用來(lái)進(jìn)行比較。

2.2 完全廣義李薩如圖形

現(xiàn)在我們考慮X、Y方向的振動(dòng)都是半波對(duì)稱函數(shù)的情況，即

(5)

容易檢驗(yàn)，所得圖形與標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形拓?fù)涞葍r(jià)。

更一般地，我們還可以在X、Y方向分別取不同的半波對(duì)稱函數(shù)。

2.3 對(duì)稱性

下面以完全廣義李薩如圖形為例，對(duì)其對(duì)稱性進(jìn)行研究。

根據(jù)(5)式，當(dāng)t=t1和t=t2時(shí)，分別有

要使y2=-y1，則

(6)

把(6)式代入x2得

此時(shí)要使x2=x1，則得到

pt2=pt1+2mπ，

圖4 不同位相差和頻率比的廣義李薩如圖形

即廣義李薩如圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，要滿足條件

p(2k+1)=2mq

(7)

其中m,k為任意整數(shù)。

在滿足y2=-y1，還滿足x2=-x1，即廣義李薩如圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，要滿足條件

整理得

(8)

其中m，k為任意整數(shù)。

3 結(jié)論

本文將生成李薩如圖形的簡(jiǎn)諧函數(shù)推廣到了與其拓?fù)涞葍r(jià)的半波對(duì)稱函數(shù)，由此構(gòu)造出了非常一般的廣義李薩如圖形。利用科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica具體給出了由冪函數(shù)生成的廣義李薩如圖形，這些新得到的圖形與標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形拓?fù)涞葍r(jià)，可以認(rèn)為是標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形的一種具有普遍性的推廣。

[1] 黃時(shí)中，倪致祥．大學(xué)物理(上冊(cè)) [M]．北京：高等教育出版社，2014：115-120．

[2] 張玉蓮，宋雙杰．李薩如圖形在檢測(cè)系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]．力學(xué)與實(shí)踐，2006，28(5)：54-57．

[3] 梁 生，盛新志，婁淑琴，等．基于Lissajous圖形的光纖分布式擾動(dòng)傳感器定位方法[J]．紅外與激光工程，2013，42(7)：1896-1901．

[4] 郝艷捧，王曉蕾，陽(yáng) 林．基于Lissajous圖形研究大氣壓氦氣介質(zhì)阻擋放電[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，24(7)：11-15．

[5]BoocherA,DaigleJ,J.Hoste&W.zheng.samplinglissajousandfourierknots[J].J.Experiment.Math, 2009, 18(4): 481-497.

[6]LauritzenB.Discretesymmetriesandtheperiodic-orbitexpansions[J]．PhysicalReview.A1991，43：603-606.

[7] 鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理．上冊(cè)[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：94-97．

[8] 倪致祥．科研的有力工具——Mathematica[J]．阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，22(2)：7-10．

ExtendedLissajous'figuresgeneratedbythepowerfunctions

LIJing-ying,WANGChun-xiao

(SchoolofPhysicsandElectronicEngineering，F(xiàn)uyangNormalUniversity，F(xiàn)uyangAnhui236037，China)

Basedonthetopologicalmethod,thestandardLissajous'figuresgeneratedbythesimpleharmonicfunctionswasextendtoaseriesofnewresultsgeneratedbythehalfwavesymmetricfunctions,andtheextendedLissajous'figuresareequivalenttothestandardonesinthetopologicalproperties.Inaddition,aclassofnewLissajous'figuresgeneratedbythepowerfunctionsusingtheMathematicawasobtained,andanunitelawforthemwasgiven.Atlast,thesymmetryofextendedLissajous'figureswasdiscussed,andthecorrespondingdiscriminantconditionswasgiven.

powerfunctions;Lissajous'figures;Mathematica

2015-07-25

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11273008)；安徽省教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(20100636)；阜陽(yáng)師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目(2010JYXM37，2015JYXM34)資助。

李京潁( 1962-) ，女，學(xué)士，副教授，研究方向:計(jì)算物理、物理教育。

O321

A

1004-4329(2015)04-034-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-034-04