面向快速成型的CAD三角網(wǎng)格模型局部細(xì)分技術(shù)研究

彭育輝，陳英杰，黃彬

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350116)

0 引言

快速成型制造具有制造任意形狀復(fù)雜零件及加工周期短、成本低等優(yōu)點(diǎn)，越來越多地被應(yīng)用于機(jī)械、醫(yī)學(xué)、材料、電子等諸多學(xué)科領(lǐng)域．目前，與快速成型機(jī)接口的STL三角網(wǎng)格模型已成為事實(shí)上的標(biāo)準(zhǔn)接口，物體的幾何模型通過此接口傳輸?shù)娇焖俪尚拖到y(tǒng)中，按一定的分層厚度對(duì)其進(jìn)行分層切割，進(jìn)而加工成為物理原型，其表面的光滑度是衡量原型質(zhì)量優(yōu)劣的重要依據(jù)．一般來說，STL三角網(wǎng)格模型的網(wǎng)格越密集，三角網(wǎng)格逼近程度越高，模型表面光滑度越好，模型精度越高［1］．理想的STL模型應(yīng)能在滿足光滑度要求的前提下，以最少數(shù)量的三角面片來逼近表達(dá)原始模型．然而光滑度和數(shù)據(jù)量之間的矛盾，一直都沒有得到很好的解決［2］．

在實(shí)際應(yīng)用中，由計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)造型軟件(如CATIA、PRO/E、I－DEAS等)進(jìn)行實(shí)體建模后，再經(jīng)過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換而獲得的STL模型是快速成型應(yīng)用的主要數(shù)據(jù)來源．為提高STL模型的幾何精度，工程上最為常用的方法是在模型轉(zhuǎn)換過程中通過控制幾何誤差參數(shù)．但是，如果所設(shè)精度太高的話，由于CAD曲面曲率和浮點(diǎn)數(shù)的影響，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)分離等錯(cuò)誤．另一種解決方案是利用細(xì)分曲面(subdivision surface)技術(shù)在初始網(wǎng)格模型上直接反復(fù)迭代進(jìn)行細(xì)分，從而提高了目標(biāo)模型的表面光滑度．吳劍煌等提出自適應(yīng)蝶形細(xì)分造型技術(shù)來提高STL模型表面的光滑度［3］;溫佩芝等利用相鄰三角面片夾角閥值對(duì)STL模型整體進(jìn)行分割，再基于Loop模式對(duì)模型進(jìn)行自適應(yīng)曲面細(xì)分，以提高STL模型中曲面部分的光順性［4］;法國里昂大學(xué)的Lavoue對(duì)模型進(jìn)行分割，提取特征線，利用細(xì)分曲線逼近特征線從而構(gòu)建特征控制點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上對(duì)三角網(wǎng)格模型進(jìn)行細(xì)分［5］．

但是，上述兩種解決方案都以模型整體為數(shù)據(jù)處理目標(biāo)，隨著光滑度的提高，隨之增加的數(shù)據(jù)量影響模型文件的存儲(chǔ)、傳輸以及RP后續(xù)的數(shù)據(jù)處理效率［6］．以大量增加模型的數(shù)據(jù)量換取模型整體表面光滑度的提高，不能很好地解決模型的表面光滑度與數(shù)據(jù)量的矛盾．實(shí)際上，對(duì)于最終的加工原型，并非對(duì)原型所有區(qū)域都要求有很高的表面光滑度，客戶的需求往往集中在某些方面．譬如，物體的外表面要光滑，定位孔、定位面等區(qū)域幾何精度要高，而內(nèi)表面等其他區(qū)域并不做嚴(yán)格要求．因此，在實(shí)現(xiàn)CAD三角網(wǎng)格模型邊界提取的研究基礎(chǔ)上［7］，針對(duì)選擇的區(qū)域是具有邊界的非封閉網(wǎng)格，提出一種基于邊界控制的Loop細(xì)分算法．該算法對(duì)于區(qū)域內(nèi)部網(wǎng)格采用Loop細(xì)分規(guī)則進(jìn)行處理，在邊界處理上，設(shè)計(jì)新的邊界三角形細(xì)分規(guī)則，提出一種基于過特征點(diǎn)插值方式消除邊界線細(xì)分過程的收縮現(xiàn)象，從而實(shí)現(xiàn)保證邊界的幾何精度前提下，使模型中增加的三角面片主要用于提高用戶關(guān)心的局部關(guān)鍵特征區(qū)域光滑度，較好地解決模型表面光滑度與數(shù)據(jù)量的矛盾．

1 Loop網(wǎng)格細(xì)分

Loop細(xì)分是由美國Utah大學(xué)的Charles Loop在其碩士論文中提出［8］，通過細(xì)分所生成的曲面是Box樣條曲面二分算法的推廣．Loop細(xì)分是從一個(gè)初始控制網(wǎng)格開始的，經(jīng)過一次細(xì)分，把網(wǎng)格Mr變成Mr+1．在細(xì)分時(shí)，相應(yīng)于初始控制網(wǎng)格的每個(gè)控制頂點(diǎn)，需要計(jì)算一個(gè)新的控制頂點(diǎn)，此頂點(diǎn)稱為V－頂點(diǎn);相應(yīng)于初始控制網(wǎng)格的每一條邊需要計(jì)算一個(gè)新的控制頂點(diǎn)，此新頂點(diǎn)稱為E－頂點(diǎn)．V－頂點(diǎn)和E－頂點(diǎn)的計(jì)算通過以下細(xì)分規(guī)則進(jìn)行求解，如圖1所示．

1)V－頂點(diǎn):若內(nèi)部頂點(diǎn)V的邊鄰點(diǎn)為V0，V1，V2，…，Vn－1，其中n=，則相應(yīng)的V－頂點(diǎn)為:

圖1 Loop細(xì)分規(guī)則Fig．1 Rule of Loop subdivision

即，頂點(diǎn)本身與其所有相鄰頂點(diǎn)的加權(quán)和，其本身的權(quán)值為1－nβn，而鄰點(diǎn)權(quán)值為:

2)E－頂點(diǎn):設(shè)內(nèi)部邊的兩個(gè)頂點(diǎn)為V0和V1，共享此邊的兩個(gè)三角形面為(V0，V1，V2)和(V0，V1，V3)，則E－頂點(diǎn)為:

由于Loop細(xì)分算法具有細(xì)分規(guī)則簡單，在奇異點(diǎn)處達(dá)到C1連續(xù)，非奇異點(diǎn)處達(dá)到C2連續(xù)的特點(diǎn)，且基于三角形控制網(wǎng)格，所以自其面世以后，國內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了持續(xù)研究，使得Loop細(xì)分適合于構(gòu)建類型更多、品質(zhì)更高的曲面．

但是，Loop細(xì)分作為一種逼近型的細(xì)分方法，其細(xì)分極限曲面相對(duì)于初始控制網(wǎng)格不可避免地存在著一定的收縮效應(yīng)［8］，如圖2所示．然而，工程中通過正向設(shè)計(jì)的CAD模型往往帶有棱和角等非光滑特征或尖銳特征，特別是對(duì)于非封閉的模型局部區(qū)域，要想利用細(xì)分曲面提高曲面質(zhì)量，必須在進(jìn)行細(xì)分的同時(shí)還能保持模型上的尖銳特征．

圖2 Loop細(xì)分拓?fù)湟?guī)則Fig．2 Topology rule of Loop subdivision

Hoppe等考慮細(xì)分曲面上尖銳特征的生成對(duì)Loop細(xì)分算法進(jìn)行了擴(kuò)展，將尖銳特征分為折痕、角、尖刺、錐、公共尖刺5種類別．對(duì)給定的初始三角網(wǎng)格，根據(jù)尖銳特征的分類，在尖銳特征點(diǎn)或邊上分別進(jìn)行標(biāo)記，并分別構(gòu)造不同的細(xì)分規(guī)則．生成細(xì)分曲面時(shí)，根據(jù)不同的標(biāo)記采用相應(yīng)的細(xì)分規(guī)則［9］;與Hoppe的擴(kuò)展方式類似，李桂清基于Loop細(xì)分模式，根據(jù)不同類型的尖銳特征，給每個(gè)標(biāo)記的頂點(diǎn)復(fù)制若干新頂點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)匦薷目刂凭W(wǎng)格中每個(gè)多邊形面(包含標(biāo)記頂點(diǎn))的頂點(diǎn)序號(hào)，使原標(biāo)記頂點(diǎn)及新增加復(fù)制頂點(diǎn)都成為邊界點(diǎn)，把各種類型的尖銳特征都轉(zhuǎn)化成邊界情況處理［10］;我們注意到上述兩者都注重保持細(xì)分時(shí)多條棱線交匯的角點(diǎn)位置不變，而對(duì)于網(wǎng)格邊界或折痕上的頂點(diǎn)和邊，細(xì)分規(guī)則采用以下兩個(gè):

1)邊界上V－頂點(diǎn)的細(xì)分規(guī)則

其中:V1、Vn是與V0相連的兩個(gè)邊界頂點(diǎn)，如圖3所示．

2)邊界上E－頂點(diǎn)的細(xì)分規(guī)則

如果邊包含端點(diǎn)，采用特殊邊規(guī)則:

圖3 邊界V－頂點(diǎn)Fig．3 Vertex V of boundary

否則，采用正則邊規(guī)則:

邊界的細(xì)分效果具體如圖4所示，V0、V4是曲線的端點(diǎn)，初始控制邊界(黑色虛線)經(jīng)過一次細(xì)分后得到細(xì)分邊界曲線(紅色實(shí)線)．可以看到由于逼近的數(shù)值誤差，細(xì)分后的邊界同樣存在幾何位置的收縮現(xiàn)象．

圖4 Hoppe邊界細(xì)分Fig．4 Hoppe subdivision for boundary

2 基于特征點(diǎn)插值的邊界控制

由于要處理的對(duì)象是從CAD造型軟件轉(zhuǎn)化得到的STL三角網(wǎng)格模型，而由CAD造型軟件構(gòu)建的實(shí)體模型可認(rèn)為是理想的細(xì)分極限模型，所以初始STL網(wǎng)格模型上的頂點(diǎn)位置是準(zhǔn)確的，包括邊界上的特征點(diǎn)．將初始邊界特征點(diǎn)作為初始控制點(diǎn)，細(xì)分過程中保留其位置不變，采用過控制點(diǎn)插值方式產(chǎn)生E－頂點(diǎn)(如圖5所示)，經(jīng)過一次細(xì)分，新的邊界線(褐色實(shí)線表示)比初始邊界(虛線表示)更加逼近原始曲線p(V)(紅色實(shí)線表示)，光滑度提高的同時(shí)消除了邊界的收縮現(xiàn)象．因此，邊界細(xì)分的核心在于E－頂點(diǎn)的生成，其基本思路是:將邊界特征點(diǎn)Vi(i=0，1，2，…，n－1)當(dāng)作型值點(diǎn)，構(gòu)建通過此n個(gè)型值點(diǎn)的三次B樣條插值曲線p(V)，最后求解Vi、Vi+1之間的E－頂點(diǎn)為:

圖5 邊界特征點(diǎn)插值Fig．5 Interpolation of boundary feature points

2．1 三次B樣條插值曲線求解

三次均勻B樣條曲線段的矩陣表示為:

其中:u為參數(shù)，u∈［0，1］;Vi、Vi+1、Vi+2、Vi+3為曲線段的控制頂點(diǎn)，i=(0，1，2，…，n－1)．

若給定n個(gè)型值點(diǎn)列Qi(i=0，1，2…，n－1)，我們的問題是反算求解控制頂點(diǎn)列Vj(j=0，1，2，…，n+1)，使其定義的三次B樣條曲線通過點(diǎn)列Qi．

因?yàn)槿蜝樣條曲線各曲線段連續(xù)，令:

將式(9)代入式(8)求解控制點(diǎn)列Vj，即求解方程組:

欲求解點(diǎn)列Vj的頂點(diǎn)數(shù)為n+2，而方程組(10)只有n個(gè)方程，因此需要再補(bǔ)充兩個(gè)適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，才能使方程組有唯一解．由于本文研究的邊界線是光滑連續(xù)的封閉曲線，所以取:

由式(11)、(10)聯(lián)立方程組可解得控制點(diǎn)列Vj(j=0，1，2，…，n+1)，由式(8)可獲得通過型值點(diǎn)列Qi(i=0，1，2，…，n－1)的三次B樣條插值曲線．

2．2 E－頂點(diǎn)求解

在型值點(diǎn)Qi、Qi+1之間的E－頂點(diǎn)為:

2．3 邊界三角形細(xì)分規(guī)則

與邊界線相連的三角形定義為邊界三角形．如圖6所示，虛線為初始網(wǎng)格，藍(lán)色網(wǎng)格表示所選擇的局部區(qū)域的一部分，紅色實(shí)線表示所求的邊界三次B樣條曲線，邊界特征點(diǎn)Vi(i=0，1，2，3，4)，Ei(i=0，1，2，3)為對(duì)應(yīng)的插值獲得的E－頂點(diǎn)．

邊界三角形的細(xì)分模式分為:

1)三角形的2個(gè)頂點(diǎn)位于邊界上，如圖6中的△V0V1V7，其中V0、V1保持不動(dòng)，若頂點(diǎn)V7不是特征點(diǎn)，則按Loop模式的V－頂點(diǎn)細(xì)分規(guī)則處理;若頂點(diǎn)V7也是特征點(diǎn)則保持不動(dòng)．E頂點(diǎn)的產(chǎn)生要分別處理，E－頂點(diǎn)V13、V14也按照Loop模式計(jì)算，E0則根據(jù)2．2節(jié)的插值方式求得．同時(shí)將位于非選擇區(qū)域的邊界三角形△V0V1V8進(jìn)行1－2分裂．此為細(xì)分規(guī)則1．

2)三角形中只有1個(gè)頂點(diǎn)位于邊界上，如圖6中的△V1V6V7，則保持特征點(diǎn)V1的位置不變，若頂點(diǎn)V6、V7不是特征點(diǎn)，則按Loop模式的V－頂點(diǎn)細(xì)分規(guī)則處理．E－頂點(diǎn)則按照Loop模式的E－頂點(diǎn)細(xì)分規(guī)則處理．若位于非選擇區(qū)域，如△V1V8V9，則保持不變．此為細(xì)分規(guī)則2．

圖6 邊界三角形細(xì)分Fig．6 Subdivision of boundary mesh

3 實(shí)例與分析

在圖7所示活塞模型(面片精度:0．1 mm，三角面片數(shù):2 540)已實(shí)現(xiàn)區(qū)域分割的基礎(chǔ)上，由于在設(shè)計(jì)功能上，活塞銷孔與活塞銷配合，需要較高的幾何精度和表面光滑度，所以選擇活塞銷孔進(jìn)行局部細(xì)分，利用本文提出的基于Loop的局部區(qū)域網(wǎng)格細(xì)分規(guī)則，得到圖7(d)、(e)所示一次細(xì)分后的模型結(jié)果．

通過圖7(e)和圖7(b)的比較，可以明顯看到銷孔的光滑度得到較大的提高，且整體模型的其他區(qū)域網(wǎng)格保持不變．在網(wǎng)格數(shù)量上，細(xì)分后模型的三角面片數(shù)為2 868，較原模型只增加了318個(gè)三角面片．

對(duì)銷孔細(xì)分前、后的模型的同一切片(第126層)輪廓進(jìn)行對(duì)比，如圖8(a)、(b)所示，細(xì)分后的切片的輪廓線光滑度有顯著提高;局部細(xì)分前、后模型的快速成型的結(jié)果對(duì)比如圖7(c)、(f)所示，可以看出在模型三角面片總數(shù)增加較少的前提下，能明顯提高局部關(guān)鍵特征區(qū)域的光滑度，說明本文提出的技術(shù)方案可以較好地解決表面光滑度與數(shù)據(jù)量的矛盾．

圖7 活塞銷孔的局部細(xì)分對(duì)比Fig．7 Comparison of partial subdivision for pinhole

圖8 銷孔輪廓線的局部細(xì)分對(duì)比Fig．8 Contour line comparison after partial subdivision

4 結(jié)語

在實(shí)現(xiàn)STL三角網(wǎng)格模型特征邊界提取基礎(chǔ)上，提出一種基于過特征點(diǎn)插值方法產(chǎn)生細(xì)分頂點(diǎn)．在模型的邊界處理上，設(shè)計(jì)新的邊界三角形細(xì)分規(guī)則，從而實(shí)現(xiàn)保證邊界幾何精度的前提下，消除邊界線細(xì)分過程的收縮現(xiàn)象．

結(jié)合快速成型的應(yīng)用實(shí)例證實(shí)了本文所提技術(shù)方案的可行性．通過對(duì)CAD三角網(wǎng)格模型的區(qū)域分割以實(shí)現(xiàn)模型局部細(xì)分的方法，可以較好地解決模型關(guān)鍵特征區(qū)域光滑度的提高與模型整體數(shù)據(jù)量增大之間的矛盾．