隧道下穿時基于傅里葉時間序列預(yù)測臨近結(jié)構(gòu)沉降發(fā)展

沈 圣，肖 力，張 浩

(1．福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建福州 350116;2．石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，河北石家莊 050043)

0 引言

隨著我國城市化進程的不斷加快，修建地鐵隧道來緩解人口密集帶來的交通壓力成為經(jīng)濟和社會發(fā)展的必然選擇．由于市政規(guī)劃的復(fù)雜性，修建隧道必然會穿越一些重要結(jié)構(gòu)物．大量的現(xiàn)場觀測表明，隧道下穿會使周邊結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生不均勻沉降，沉降嚴(yán)重時將影響到結(jié)構(gòu)物的安全，因而需要根據(jù)穿越期內(nèi)結(jié)構(gòu)物沉降的發(fā)展來控制隧道穿越速度．目前結(jié)構(gòu)沉降監(jiān)測的報警閾值多設(shè)定為沉降總量超限，以及日平均或最大沉降速度超限［1－2］，但由于隧道與結(jié)構(gòu)之間存在一定厚度的土層，結(jié)構(gòu)沉降的發(fā)展必然滯后于下部隧道的掘進，也就是說僅憑當(dāng)前沉降觀測值判定結(jié)構(gòu)的安全性，存在滯后的可能．另外，目前規(guī)范對穿越期現(xiàn)場人工監(jiān)測頻率僅規(guī)定為每天1～2次［1－2］，若沉降突變發(fā)生在本期觀測結(jié)束、下期沉降觀測尚未進行這個時間段內(nèi)，沉降觀測的預(yù)警目的就無法實現(xiàn)．針對這兩個問題，一個較好的解決方案是基于當(dāng)前沉降數(shù)據(jù)對本期觀測結(jié)束、下期沉降觀測尚未進行這個短期時間段內(nèi)的結(jié)構(gòu)沉降(后文簡稱短期沉降)發(fā)展進行預(yù)測，這樣可以盡可能早地獲知未來可能發(fā)生的沉降突變，以此評估結(jié)構(gòu)未來的安全狀況并采取必要預(yù)防措施，在一定程度上彌補傳統(tǒng)沉降預(yù)警時間滯后的缺點．

對于結(jié)構(gòu)沉降預(yù)測，目前的研究主要集中在監(jiān)測數(shù)據(jù)足夠充分、沉降趨勢相對明確的長期沉降上，相繼提出了固結(jié)度對數(shù)配合法(即三點法)、雙曲線法［3］、Verhulst曲線法(也稱為Logistic生長模型法)［4］、Asaoka法［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［6］、基于自回歸與滑動平均模型的時間序列法［7－8］等．但將上述方法直接移植于結(jié)構(gòu)短期沉降預(yù)測則不可行．原因是結(jié)構(gòu)短期沉降具有與長期沉降相比明顯不同的物理與數(shù)學(xué)特征:①環(huán)境因素對短期沉降的擾動作用更加顯著，結(jié)構(gòu)的長期沉降主要取決于外荷載和土體的固結(jié)特性，而短期沉降，特別是每日沉降，各種環(huán)境因素(如溫度、濕度等)和偶然因素(如降雨等)也會導(dǎo)致沉降的明顯改變;②與長期沉降相比，短期沉降更多地呈現(xiàn)出貧信息的特征，即有效觀測值數(shù)量較少、已知數(shù)據(jù)波動較大，因而難以對已知數(shù)據(jù)的變化規(guī)律進行擬合分析和外推預(yù)測．對于第②點，目前僅有基于灰色關(guān)聯(lián)度理論的GM(1，1)灰色模型［9］可用于貧信息條件下的預(yù)測，然而該模型進行預(yù)測時并未考慮“短期”這一條件所隱含的結(jié)構(gòu)物理狀態(tài)變化特征，故其預(yù)測精度還有進一步提升的余地．

首先，對某混凝土水庫在臨近地鐵隧道右線穿越時若干關(guān)鍵點處的沉降進行逐小時的長期監(jiān)測，通過分析沉降－時間曲線(s－t曲線)得到其反映出的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化特征．其次，提出了基于傅里葉時間序列(Fourier time series)的結(jié)構(gòu)短期沉降的預(yù)測方法，簡稱FTS沉降預(yù)測法．最后，采用該水庫在地鐵隧道左線下穿時的沉降實測數(shù)據(jù)，對FTS沉降預(yù)測法和GM(1，1)灰色模型得到的沉降預(yù)測值的預(yù)測精度進行對比．

1 隧道下穿時結(jié)構(gòu)短期沉降變化特征

無論何種預(yù)測方法，都需要建立在已知數(shù)據(jù)的變化規(guī)律基礎(chǔ)上，方能保證較好的預(yù)測精度．由于現(xiàn)場人工測量頻率較低，其數(shù)據(jù)無法全面反映24 h內(nèi)沉降的變化規(guī)律．為此課題組在某市地鐵隧道右線下穿臨近一混凝土水庫時，在水庫關(guān)鍵區(qū)域布設(shè)靜力水準(zhǔn)系統(tǒng)(精度為0．01 mm)，每隔1 h測量一次，得到隧道下穿時水庫沉降的逐小時變化數(shù)據(jù)．

該穿越于2012年秋季實施．沉降監(jiān)測點與隧道空間關(guān)系如圖1所示，其中1#、2#監(jiān)測點分別位于約距隧道中線4倍直徑的結(jié)構(gòu)角點和隧道中線上方處，測量數(shù)據(jù)以向上運動為正．根據(jù)有限元模擬結(jié)果，2#測點受到隧道穿越的影響較大，1#測點也處于影響范圍內(nèi)．圖2給出了兩個測點在下穿全過程(528 h)的s－t曲線．從中發(fā)現(xiàn)，雖然測點沉降趨勢相反，但兩條曲線局部最大或最小值和距離其最近的兩個局部最大或最小值之間的時間間隔大致相等．為此將沉降數(shù)據(jù)進行傅里葉變換，得到如圖3所示的頻譜圖．由圖3可見，頻譜圖上各階頻率基本成倍數(shù)關(guān)系，且1#測點沉降的第一、二階頻率與2#測點沉降的對應(yīng)頻率相等．這表明雖然測點位置不同，但各測點的短期沉降發(fā)展都受到同一個基頻約為11．393μHz的周期性因素影響，相應(yīng)的周期為87 773 s，相當(dāng)于24．38 h．據(jù)此猜測，造成這種波動的最可能原因就是每日溫度變化．

圖1 沉降測點與隧道空間關(guān)系圖Fig．1 Spatial relationships about the settlement monitoring points and the shield tunnels

圖2 下穿全過程內(nèi)結(jié)構(gòu)沉降－時間(s－t)曲線Fig．2 Relationships between settlements and times in different monitoring points

圖3 沉降頻譜圖Fig．3 Frequency spectrum of settlements

分析圖2兩條曲線的整體趨勢可知，1#測點總體向下沉降，2#測點總體往上隆起，每日沉降圍繞趨勢線上下波動，且波動幅度較大．若將隨時間變化的沉降值視為時間序列，則該序列表現(xiàn)出明顯的周期性和趨勢性特征．時間序列理論指出，時間序列一般由長期趨勢、季節(jié)變動、不規(guī)則變動構(gòu)成［10］．在短期沉降預(yù)測問題中，季節(jié)變動即為溫度循環(huán)導(dǎo)致的沉降波動，不規(guī)則波動即為沉降突變．但是，沉降突變一般都有一個發(fā)展過程，若將兩次監(jiān)測的時間間隔縮短至1 h甚至更小，沉降突變就可以視為長期趨勢發(fā)生了改變．因此，只要沉降預(yù)測的時間間隔足夠短，就可以認(rèn)為短期沉降s僅由趨勢項s1和周期項s2兩部分構(gòu)成．前者來源于盾構(gòu)隧道下穿，為沉降發(fā)生的主要因素;后者體現(xiàn)了溫度等周期性因素的影響，為沉降發(fā)生的次要因素．

2 基于傅里葉時間序列的臨近結(jié)構(gòu)短期沉降預(yù)測方法

考慮到隧道穿越期間人工測量沉降是不斷進行的，基于傅里葉時間序列的臨近結(jié)構(gòu)短期沉降預(yù)測方法(FTS沉降預(yù)測法)的目標(biāo)就集中在預(yù)測本次人工測量結(jié)束到下次測量發(fā)生前這一時間段內(nèi)的沉降發(fā)展．

2．1 FTS沉降預(yù)測法

對于周期性時間序列，可按照周期對序列分段處理．對于本問題而言，采用多項式擬合中的分段線性擬合思想，可認(rèn)為當(dāng)分段取的足夠小時，該段內(nèi)沉降的趨勢項s1可近似為線性函數(shù):

式中:t為預(yù)測值所處時間;k、c為待定獨立參數(shù)，其中c為常數(shù)．

該段內(nèi)沉降的周期項s2可以通過傅里葉級數(shù)展開進行擬合:

式中:a0、an和bn均為待定獨立參數(shù)，其中a0為常數(shù)．

總沉降s=s1+s ，將式(1)、(2)代入得:

由于c和a0均為常數(shù)，可以合并為獨立常參數(shù)d，式(3)即化簡為式(4):

假定在p個等間隔時間點上時間t1=τ，t2=2τ，…，tp=pτ，τ為以小時為單位的時間間隔，各時間點上對應(yīng)沉降為s1、s2、…、sp，將其代入式(4)，整理得:

式中:X={k，d，a1，b1，…，aN，bN}T，S={s1，…，sp}T．系數(shù)矩陣 B 的表達(dá)式為:

由于T=24 h，可得式(6)中ω=2π/T=π/12．

采用最小二乘法求解，則有:

注意若時刻t1=τ，t2=2τ，…，tp=pτ的取值使B的主元為0，(BTB)－1就不存在，可通過對時間軸進行整體平移來避免該問題．

2．2 計算過程中傅里葉展開次數(shù)N和已知數(shù)據(jù)數(shù)量p的確定

在實際工程預(yù)測中，N的取值不宜過高，這是因為:①N越大，待定系數(shù)的數(shù)量就越多，最小二乘擬合中使殘差平方和小到一定程度所需要的數(shù)據(jù)個數(shù)就越多，則擬合函數(shù)對于沉降突變的靈敏度就越低;②沉降實測值也非絕對真值，而是含有一定的測量誤差，對周期項的過度擬合有可能會放大測量誤差的影響;③在一定條件下，無窮階數(shù)的傅里葉級數(shù)可以無限逼近任意形式的周期函數(shù)，觀察圖2中曲線可知，任意周期內(nèi)的曲線形狀都較接近于正弦/余弦函數(shù)，較低的展開次數(shù)N即可對此類曲線取得不錯的擬合精度．基于上述理由并為簡化計算起見，本文令N=1，則式(4)和式(6)即可簡化為:

已知數(shù)據(jù)數(shù)量p的取值也存在合適范圍．為了滿足最小二乘法使用條件以及對已知數(shù)據(jù)的擬合達(dá)到一定精度，要求p＞2N+2=4．同時，p的取值又不宜過大，這是由于當(dāng)前沉降和已知沉降的相關(guān)性會隨著時間間隔的增大而不斷降低，如果相關(guān)性較低的數(shù)據(jù)在已知數(shù)據(jù)中所占比例較大，預(yù)測精度以及對沉降突變的靈敏度就會不升反降．因此在實際應(yīng)用時，建議采用前期數(shù)據(jù)進行試預(yù)測以確定合適的p值．

2．3 預(yù)測模型的自修正

如前所述，當(dāng)前沉降和已知沉降的相關(guān)性會隨著時間間隔的增大而不斷降低，即第p至(p+1)時刻之間的沉降與第p時刻的沉降值具有最大的相關(guān)性，而與第(p－1)、(p－2)、…、2、1時刻的沉降值相關(guān)性則是依次遞減．故在預(yù)測第(p+1)至(p+2)時刻之間的沉降值時，在序列{(t1，s1)，(t2，s2)，…，(tp，sp)}中刪除第一項(t1，s1)，增加最后一項(tp+1，sp+1)．在預(yù)測第(p+2)至(p+3)時刻之間的沉降值時，在序列中繼續(xù)刪除第二項(t2，s2)，增加最后一項(tp+2，sp+2)，后續(xù)可依次類推．這樣做不僅可以保持已知數(shù)據(jù)序列和預(yù)測值之間的相關(guān)性，且可使已知數(shù)據(jù)序列長度不變，則預(yù)測方法的計算格式也就保持穩(wěn)定不變．

3 工程實例檢驗

3．1 工程簡介與檢驗方法設(shè)定

某箱型鋼筋混凝土水庫使用年限較久，且底板較?。?、右線隧道與水庫的平面關(guān)系如圖1所示．底板與隧道之間的土層厚度約為9 m，以粘土和粉質(zhì)粘土為主．繼右線隧道下穿后，左線隧道下穿于2013年春季實施．采用有限元軟件對左線隧道在水庫底部穿越全過程進行了模擬，結(jié)果表明水庫西墻中部和西南角處可能發(fā)生較大沉降．為避免隧道穿越期間水庫底板開裂，采用靜力水準(zhǔn)系統(tǒng)對水庫在左線隧道穿越期的沉降進行逐小時自動化監(jiān)測，1#、2#測點布設(shè)如圖1所示．在穿越期間也實施了間隔6 h的人工沉降觀測．將自動監(jiān)測數(shù)據(jù)中與人工觀測時間一致的數(shù)據(jù)假定為已知實測數(shù)據(jù)，采用FTS沉降預(yù)測法對其余時間點沉降進行預(yù)測，并與實測沉降對比．為了檢驗FTS方法的預(yù)測效果，還采用了目前工程中較為常用的另一種預(yù)測方法——GM(1，1)灰色模型．GM(1，1)灰色模型是一種基于灰關(guān)聯(lián)理論的預(yù)測方法，其基本步驟是先將無規(guī)則的數(shù)據(jù)序列變換成較有規(guī)律的序列(如近似于指數(shù)模型的序列)，再依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則將指數(shù)模型變換成微分方程形式，從而用微分?jǐn)M合曲線比較準(zhǔn)確地逼近數(shù)據(jù)序列，而此曲線的延伸即可認(rèn)為是所求的預(yù)測值［9］．

2#測點在左線隧道下穿期內(nèi)的s－t曲線如圖4所示．由于數(shù)據(jù)較多，選取2個時長為24 h的時間段作為檢測時段:A時段(157～180 h)為隧道穿過監(jiān)測點后2天，模擬結(jié)果表明該時段內(nèi)沉降趨勢項(隆起)可能出現(xiàn)局部極值;B時段(325～348 h)當(dāng)天有小寒潮，可能導(dǎo)致沉降波動項出現(xiàn)局部極值．通過前期平穩(wěn)段沉降的試預(yù)測，發(fā)現(xiàn)當(dāng)取N=1、p=8時預(yù)測誤差絕對值基本小于0．15 mm，故在A、B時段預(yù)測時取系數(shù)N=1、p=8．

預(yù)測A時段中157～162 h的沉降值時，設(shè)定8個已知的沉降值為0．25 mm(114 h)、0．14 mm(120 h)、0．02 mm(126 h)、0．08 mm(132 h)、0．18 mm(138 h)、0．06 mm(144 h)、－0．07 mm(150 h)和 0．15 mm(156 h)，在預(yù)測163 ～168 h時，刪除0．25 mm(114 h)，補入162 h時的沉降實測值0．21 mm，后續(xù)時段做法類同，依次補入沉降值為0．00 mm(168 h)和－0．07 mm(174 h)．預(yù)測B時段325～330 h的沉降值時，設(shè)定8個已知的沉降值分別為－0．09 mm(282 h)、－0．23 mm(288 h)、－0．33 mm(294 h)、－0．22 mm(300 h)、－0．39 mm(306 h)、－0．50 mm(312 h)、－0．50 mm(318 h)和 －0．25 mm(324 h)．后續(xù)補入的實測沉降數(shù)據(jù)依次為 －0．2 mm(330 h)、－0．52 mm(336 h)和 －0．54 mm(342 h)．另外，由于GM(1，1)灰色模型僅能預(yù)測與給定數(shù)據(jù)時間間隔相同的未來時刻沉降，故其它時刻預(yù)測數(shù)據(jù)采用線性插值給出．

圖4 2#測點在左線隧道穿越期間s－t曲線Fig．4 Relationship between settlements and time in point 2

3．2 兩種方法預(yù)測結(jié)果與實測沉降的對比及分析

圖5給出了采用FTS沉降預(yù)測法與GM(1，1)灰色模型對兩個時段沉降的預(yù)測值與沉降實測值的比較．兩類沉降預(yù)測值的誤差列于表1．從圖5中可以看出，采用FTS沉降預(yù)測法得到的沉降－時間預(yù)測曲線與實際發(fā)生的沉降－時間曲線較為吻合，而采用GM(1，1)灰色模型得到的沉降－時間預(yù)測曲線則存在較大誤差．將FTS沉降預(yù)測法與GM(1，1)灰色模型得到的沉降預(yù)測值與沉降實測值列于表1．對比數(shù)據(jù)可見，F(xiàn)TS沉降預(yù)測法給出的數(shù)據(jù)誤差大都小于0．15 mm，而GM(1，1)灰色模型給出的數(shù)據(jù)誤差大都超過了0．15 mm．進一步分析表明，A時段內(nèi)FTS沉降預(yù)測法得到預(yù)測值中誤差分布個數(shù)隨誤差值的增大呈遞減趨勢，在全部24組預(yù)測數(shù)據(jù)中，預(yù)測誤差在0．05 mm以下的數(shù)據(jù)約達(dá)50%，75%的數(shù)據(jù)的誤差在0．1 mm以下，而GM(1，1)灰色模型得到的預(yù)測值中誤差分布個數(shù)隨誤差值的增大則呈遞增趨勢，預(yù)測誤差在0．05 mm以下的數(shù)據(jù)僅占全部預(yù)測數(shù)據(jù)的15%，而超過50%的數(shù)據(jù)的誤差大于0．1 mm．而B時段中的誤差分布趨勢與A時段基本相同．FTS沉降預(yù)測法給出的預(yù)測數(shù)據(jù)中有95%的數(shù)據(jù)誤差小于0．15 mm，而GM(1，1)灰色模型給出數(shù)據(jù)中可達(dá)到上述精度的數(shù)據(jù)僅占全部數(shù)據(jù)的40%．

通過上述對比，可以認(rèn)為在預(yù)測帶有溫度影響的結(jié)構(gòu)短期沉降時，F(xiàn)TS沉降預(yù)測法的預(yù)測精度要高于GM(1，1)灰色模型．主要原因是GM(1，1)灰色模型的計算公式［9］從本質(zhì)上而言還是一個近似的指數(shù)曲線模型計算．指數(shù)模型適用的一個重要前提是數(shù)據(jù)分布有較好的單調(diào)性，而結(jié)構(gòu)短期沉降受到溫度等周期性因素的影響，其單調(diào)性恰巧是比較差的．FTS沉降預(yù)測法也正是考慮了周期性的影響才能得到比較好的預(yù)測精度．

圖5 采用兩種方法得到沉降預(yù)測值與實測值對比Fig．5 Comparison between forecasting values by two methods and real values

表1 兩種沉降預(yù)測值與實測值的誤差Tab．1 Differences between forecasting values by two methods and real values

另外，無論是FTS沉降預(yù)測法還是GM(1，1)灰色模型，B時段中誤差要大于A時段．這是由于當(dāng)溫度劇烈變化時，結(jié)構(gòu)沉降受到溫度的影響就會明顯增大，而已知數(shù)據(jù)所處時刻的溫度波動并不明顯，從而造成了誤差的增加．

4 結(jié)論

1)測量了某地鐵隧道右線下穿時，臨近結(jié)構(gòu)逐小時變化的沉降－時間曲線．曲線的分析結(jié)果表明，臨近結(jié)構(gòu)的短期沉降受到溫度波動的顯著影響，結(jié)構(gòu)短期沉降應(yīng)主要由隧道穿越引起的趨勢項和溫度波動導(dǎo)致的周期項組成．

2)根據(jù)上述特征，提出了基于傅里葉時間序列的短期沉降預(yù)測方法．該方法采用傅里葉級數(shù)和線性函數(shù)對周期項和趨勢項分別進行擬合，相加即得短期沉降的總預(yù)測值．該方法對于未來沉降突變的靈敏度可由數(shù)據(jù)新陳代謝保證．根據(jù)沉降－時間曲線形狀，建議傅里葉展開次數(shù)取為1，提出已知數(shù)據(jù)的數(shù)量不宜過小和過大，實際預(yù)測時可通過前期數(shù)據(jù)試預(yù)測確定．

3)采用同一結(jié)構(gòu)在隧道左線下穿時的沉降實測數(shù)據(jù)對FTS沉降預(yù)測法和GM(1，1)灰色模型的預(yù)測精度進行比較．結(jié)果表明，F(xiàn)TS沉降預(yù)測法對結(jié)構(gòu)短期沉降的預(yù)測精度高于GM(1，1)灰色模型．