基于GERT 模型的新產(chǎn)品試制項(xiàng)目概率優(yōu)化分析

唐超 龍子泉

(武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，湖北 武漢 430027)

0 引言

新產(chǎn)品試制是企業(yè)面向市場(chǎng)需求進(jìn)行研究與開發(fā)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是企業(yè)生存和發(fā)展的戰(zhàn)略核心之一。它既有創(chuàng)新成功的潛在收益，也有創(chuàng)新失敗的潛在損失。新產(chǎn)品試制活動(dòng)可以視為一項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)投資行為，是指新產(chǎn)品在完成設(shè)計(jì)與工藝準(zhǔn)備之后、正式投產(chǎn)之前進(jìn)行的試制生產(chǎn)。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于圖形評(píng)審技術(shù) (Graphical Evaluation and Review Technique，GERT)運(yùn)用于工程項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理方面的研究比較多，然而將其運(yùn)用于新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的研究則比較少。其中吳艷霞(2007)等從企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新項(xiàng)目群風(fēng)險(xiǎn)的角度提出了其串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)三種不同的組合模式，為企業(yè)如何正確客觀地把握企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新狀態(tài)提供了理論依據(jù)和算法依據(jù)［1］。何正文(2003)等以新產(chǎn)品研發(fā)項(xiàng)目的研發(fā)過程為背景，利用隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)建立了該項(xiàng)目的GERT 模型，并運(yùn)用簡(jiǎn)化遞推算法對(duì)項(xiàng)目完成時(shí)間的各種統(tǒng)計(jì)特征值和概率分布進(jìn)行了模擬計(jì)算［2］。李社會(huì)(1998)運(yùn)用均值網(wǎng)絡(luò)將隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)看成肯定型網(wǎng)絡(luò)來對(duì)GERT 模型中的時(shí)間費(fèi)用問題進(jìn)行優(yōu)化［3］。這些研究有的只給出了項(xiàng)目耗費(fèi)的期望時(shí)間的一個(gè)具體算法，有些在處理時(shí)間費(fèi)用優(yōu)化問題時(shí)沒有考慮到活動(dòng)實(shí)現(xiàn)成功概率的變化。而本文在考慮增加項(xiàng)目費(fèi)用導(dǎo)致項(xiàng)目成功的概率變化的情況下，以新產(chǎn)品試制項(xiàng)目為背景從概率優(yōu)化的角度進(jìn)行分析，做出更進(jìn)一步的研究，對(duì)于企業(yè)做出更好的決策具有重大意義。

1 新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的GERT 時(shí)間費(fèi)用優(yōu)化問題

1.1 圖形評(píng)審技術(shù)簡(jiǎn)介

GERT 是1966 年在執(zhí)行阿波羅登月計(jì)劃時(shí)開發(fā)的一種新技術(shù)。它是一種能反映多種隨機(jī)因素及隨機(jī)變量之間相互關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)。在GERT模型中，可以包含多種隨機(jī)成分如時(shí)間、費(fèi)用、質(zhì)量、效益等，并可以處理系統(tǒng)中各種活動(dòng)及其相互影響的隨機(jī)性問題，從而為許多復(fù)雜的、包含多種隨機(jī)因素問題的研究提供了有效的途徑。

在GERT 中，其傳輸矢線如同一般網(wǎng)絡(luò)的箭線，但其包含的參數(shù)意義卻不同，本文引入以下四個(gè)方面的參數(shù):①緊前節(jié)點(diǎn)i 實(shí)現(xiàn)的情況下該箭線 (i，j) 發(fā)生概率pij;②該箭線完成其所表示的工序所需作業(yè)時(shí)間tij;③作業(yè)時(shí)間的概率分布形式fij;④該箭線完成其所表示的工序所需作業(yè)費(fèi)用cij。工序網(wǎng)絡(luò)仿真圖如圖1 所示。

圖1 工序網(wǎng)絡(luò)仿真圖

1.2 新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的GERT 屬性

科學(xué)技術(shù)的發(fā)展加劇了產(chǎn)品的升級(jí)換代，新產(chǎn)品試制的周期越來越短。同時(shí)為了盡可能滿足現(xiàn)實(shí)和潛在需求，新產(chǎn)品試制的目標(biāo)也越來越高，對(duì)于新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的投入也不斷增大。GERT 模型是包含時(shí)間、費(fèi)用、效益、成功概率等多種隨機(jī)成分并可以處理系統(tǒng)中各種活動(dòng)及其相互影響的隨機(jī)性問題的模型，因此，本文結(jié)合新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的特點(diǎn)與GERT 的基本網(wǎng)絡(luò)知識(shí)做出新產(chǎn)品試制的GERT 模型圖(圖2)，并從時(shí)間、費(fèi)用及概率的角度對(duì)新產(chǎn)品試制項(xiàng)目進(jìn)行優(yōu)化分析。

一個(gè)新產(chǎn)品由幾個(gè)部分或者零件組成，每個(gè)零件由不同的小組進(jìn)行試制，將整個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)看作一個(gè)總系統(tǒng)，將每個(gè)零件的生產(chǎn)看作各個(gè)子系統(tǒng)。如圖2 所示，產(chǎn)品由粗坯開始進(jìn)入試制過程，用節(jié)點(diǎn)0 表示。以零件a 為例，零件a 經(jīng)試制1 完成后再進(jìn)行檢測(cè)1;檢測(cè)1 持續(xù)的時(shí)間擬服從概率分布，其持續(xù)時(shí)間的概率密度函數(shù)為f1(t)，其中t 表示持續(xù)時(shí)間;經(jīng)檢測(cè)1 后的產(chǎn)品有一部分需要送到加工2 進(jìn)行再加工，其余的送加工3 進(jìn)行最后加工。經(jīng)加工2 進(jìn)行再加工的零件還要經(jīng)過檢測(cè)2，檢測(cè)2 持續(xù)的時(shí)間也服從一定的概率分布，其概率密度函數(shù)可表示為f2(t)。此時(shí)也有一部分的產(chǎn)品不成功，因而造成試制失敗，其余的加工成功(即通過了檢測(cè))，也送到加工3 進(jìn)行最后加工，經(jīng)過檢測(cè)3 仍有一部分產(chǎn)品成為廢品，而剩下的則為成功的產(chǎn)品。

其他子系統(tǒng)的零件試制過程也類似于零件a，可以有更多或者更少的試制或者加工過程，最終有一部分產(chǎn)品會(huì)試制失敗，即不管經(jīng)過幾條路徑到達(dá)最后的成功產(chǎn)品是有一定的概率的。

圖2 新產(chǎn)品試制的GERT 模型圖

在所有的子系統(tǒng)的各零件試制成功后進(jìn)行組裝成為最終的產(chǎn)品，到達(dá)節(jié)點(diǎn)1。

新產(chǎn)品試制項(xiàng)目(總系統(tǒng))只有在各個(gè)子系統(tǒng)全部試制成功的情況下才能夠完成，各子系統(tǒng)的試制成功建立在每一個(gè)試制活動(dòng)全部通過檢測(cè)的基礎(chǔ)上。各個(gè)活動(dòng)的完成時(shí)間是隨機(jī)的，通過測(cè)試的概率也受到投入其試制過程的費(fèi)用決定。因此，如何合理分配追加的費(fèi)用到各個(gè)子系統(tǒng)及各子系統(tǒng)的各個(gè)活動(dòng)中，使得新產(chǎn)品試制項(xiàng)目在規(guī)定的時(shí)間完成的概率最大是本文所要解決的問題。

2 新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的概率優(yōu)化分析

2.1 優(yōu)化問題的提出

新產(chǎn)品試制項(xiàng)目主要由各個(gè)子系統(tǒng)組成，各個(gè)子系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)又以子系統(tǒng)內(nèi)部各階段活動(dòng)通過測(cè)試為基礎(chǔ)。實(shí)際生產(chǎn)中，由于行業(yè)間的競(jìng)爭(zhēng)，企業(yè)會(huì)通過追加一定的費(fèi)用來提前完成新產(chǎn)品試制項(xiàng)目，追加費(fèi)用同時(shí)又會(huì)使得項(xiàng)目完成的概率增大。因此，本文主要研究如何在各子系統(tǒng)之間及子系統(tǒng)內(nèi)部的各活動(dòng)中合理分配一定的追加費(fèi)用，使得項(xiàng)目總體在規(guī)定的時(shí)間完成的概率最大。

通過對(duì)測(cè)試活動(dòng)的緊前活動(dòng)分配追加費(fèi)用使得活動(dòng)通過檢測(cè)的概率得到提高。項(xiàng)目活動(dòng)概率變化機(jī)理如圖3 所示(p0為通過檢測(cè)的概率)，通過將費(fèi)用分配至各個(gè)加工活動(dòng)使得總項(xiàng)目完成的概率最大是本文研究的目標(biāo)。

圖3 活動(dòng)概率變化機(jī)理

在GERT 網(wǎng)絡(luò)中，活動(dòng)的作業(yè)時(shí)間是隨機(jī)變量。因此假設(shè)在GERT 網(wǎng)絡(luò)中活動(dòng) (i，j) 的正常期望作業(yè)時(shí)間為Tij，如果增加追加費(fèi)用，那么活動(dòng)(i，j)期望作業(yè)時(shí)間可能最大限度地縮短到T′ij，同時(shí)此階段的產(chǎn)品通過檢測(cè)的概率pij也會(huì)隨之發(fā)生變化。

2.2 優(yōu)化模型

2.2.1 優(yōu)化模型的大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本文采用大系統(tǒng)協(xié)調(diào)技術(shù)，建立新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的二級(jí)遞階單目標(biāo)優(yōu)化模型，建立新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。由圖2 可知，將費(fèi)用在總項(xiàng)目各子系統(tǒng)間的分配看作是對(duì)上層總系統(tǒng)追加費(fèi)用，而將費(fèi)用在各子系統(tǒng)的各個(gè)活動(dòng)間的分配看作是對(duì)下層子系統(tǒng)追加費(fèi)用。本文分別建立上級(jí)協(xié)調(diào)器的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型和下級(jí)子系統(tǒng)的非線性規(guī)劃模型對(duì)目標(biāo)進(jìn)行求解。

2.2.2 上層總系統(tǒng)追加費(fèi)用優(yōu)化的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

設(shè)新產(chǎn)品試制項(xiàng)目提前至T0時(shí)間完成，上層總系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)是合理分配追加費(fèi)用到各個(gè)子系統(tǒng)使得總系統(tǒng)完成的概率最大，即

式中，p(m)為第m 個(gè)子系統(tǒng)完成的概率。

當(dāng)已知分配給各子系統(tǒng)不同費(fèi)用所對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)概率的情況下，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型可實(shí)現(xiàn)總系統(tǒng)的追加費(fèi)用優(yōu)化分配，具體如下。

模型假定:

(1)若追加的費(fèi)用不足以使得項(xiàng)目完成的時(shí)間縮短至規(guī)定時(shí)間，不用討論，即項(xiàng)目失敗。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程用下式表示，代表分配給第m +1 個(gè)子系統(tǒng)至第n 個(gè)子系統(tǒng)的費(fèi)用。

式中，sm是狀態(tài)變量，為分配給第m 個(gè)子系統(tǒng)的第n 個(gè)子系統(tǒng)的費(fèi)用，且s1= c;cm是決策變量，為分配給第m 個(gè)子系統(tǒng)的費(fèi)用。

由優(yōu)化目標(biāo)可知，指標(biāo)函數(shù)為階段指標(biāo)積的形式，即

式中，pm(cm)是cm分配給第m 個(gè)子系統(tǒng)后其完成的概率，將cm分配至第m 個(gè)子系統(tǒng)各試制加工活動(dòng)可以得到不同的完成概率，取其中的最大值作為pm的值。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程用以下遞推關(guān)系表示

式中，φm(sm)是sm分配給第m 個(gè)子系統(tǒng)至第n個(gè)子系統(tǒng)后其完成的最大概率。

2.2.3 子系統(tǒng)優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型

因此，子系統(tǒng)的優(yōu)化模型為

顯然，該模型為非線性規(guī)劃模型。

3 案例分析

3.1 案例

假設(shè)一個(gè)新產(chǎn)品試制項(xiàng)目由三個(gè)子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)編號(hào)為a、b、c，其GERT 模型如圖4所示。在不追加費(fèi)用的情況下，各活動(dòng)完成時(shí)間的概率分布、實(shí)現(xiàn)概率假設(shè)如表1 所示;各活動(dòng)在有追加費(fèi)用的情況下，時(shí)間與費(fèi)用的關(guān)系及活動(dòng)實(shí)現(xiàn)概率與費(fèi)用的關(guān)系假設(shè)如表2 所示?，F(xiàn)假設(shè)對(duì)總系統(tǒng)追加費(fèi)用為100 萬元，要求項(xiàng)目必須在60d 內(nèi)完成，根據(jù)上述模型求解步驟求出該項(xiàng)目的追加費(fèi)用最優(yōu)分配方案。

圖4 某新產(chǎn)品試制的GERT 模型圖

表1 新產(chǎn)品開發(fā)項(xiàng)目的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)說明

(續(xù))

表2 時(shí)間費(fèi)用關(guān)系與概率費(fèi)用關(guān)系

用GERT 技術(shù)的基本解法可知，在不追加費(fèi)用時(shí)，此新產(chǎn)品試制項(xiàng)目完成概率為65.3%，完成時(shí)間為79d。

3.2 模型求解

(1)對(duì)于子系統(tǒng)a，將總追加費(fèi)用離散化，以不同的追加費(fèi)用c(m)為約束，求解子系統(tǒng)a 的非線性規(guī)劃模型，可得到相應(yīng)的子系統(tǒng)a 最大可能實(shí)現(xiàn)概率p(a)。對(duì)子系統(tǒng)b 和子系統(tǒng)c 做同樣的操作，可得到如表3 所示的各子系統(tǒng)最大可能實(shí)現(xiàn)概率、完成時(shí)間與追加費(fèi)用的關(guān)系。

表3 子系統(tǒng)最大可能實(shí)現(xiàn)概率、完成時(shí)間與追加費(fèi)用關(guān)系表

(續(xù))

(2)由表3 中給出的數(shù)據(jù)，在規(guī)定完成時(shí)間為60d 的情況下，利用大系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型求出使總系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)概率最大的追加費(fèi)用分配方案。求解結(jié)果為:最優(yōu)追加費(fèi)用分配方案為子系統(tǒng)a、子系統(tǒng)b 和子系統(tǒng)c 分別分配30 萬元、40 萬元和30 萬元，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)概率為0.808 3。

(3)將30 萬元分配到子系統(tǒng)a 的非線性規(guī)劃模型中，利用lingo 軟件可得到活動(dòng)1、活動(dòng)2和活動(dòng)3 的最優(yōu)追加費(fèi)用分配方案分別為11 萬元、7 萬元和12 萬元，實(shí)現(xiàn)概率為0.929。類似的利用子系統(tǒng)b 和子系統(tǒng)c 的非線性規(guī)劃模型可得到相應(yīng)的最優(yōu)分配方案，具體結(jié)果見表4。

表4 費(fèi)用概率優(yōu)化分配表

由上述模型可求得最佳方案如下:將100 萬元費(fèi)用分給a 系統(tǒng)30 萬元(其中試制1 活動(dòng)11 萬元，加工1 活動(dòng)7 萬元，加工2 活動(dòng)12 萬元)，b系統(tǒng)40 萬元(其中試制2 活動(dòng)17 萬元，加工3 活動(dòng)2 萬元，加工4 活動(dòng)21 萬元)，c 系統(tǒng)30 萬元(其中試制3 活動(dòng)13 萬元，加工5 活動(dòng)1 萬元，加工6 活動(dòng)16 萬元)，使得總系統(tǒng)完成的概率最大為80.8%，完成時(shí)間為59d。當(dāng)項(xiàng)目規(guī)定的完成時(shí)間不同，追加費(fèi)用的分配方案也不同。

4 結(jié)語

本文結(jié)合GERT 屬性和新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的特點(diǎn)建立了新產(chǎn)品試制項(xiàng)目的GERT 模型，主要分析了追加費(fèi)用對(duì)活動(dòng)概率的影響，同時(shí)建立了新產(chǎn)品試制項(xiàng)目概率優(yōu)化分析的大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，對(duì)大系統(tǒng)中不同的層次采用不同的方法進(jìn)行費(fèi)用的合理分配，最終使得項(xiàng)目能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成的概率最大。然而對(duì)于增加費(fèi)用使得活動(dòng)通過測(cè)試的概率發(fā)生變化這一函數(shù)關(guān)系在不同的產(chǎn)品試制項(xiàng)目中是不同的，這種函數(shù)關(guān)系還有待進(jìn)一步的研究和確定。

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