與時(shí)俱進(jìn)之基礎(chǔ)引領(lǐng)統(tǒng)計(jì)與概率考查新趨勢(shì)*

☉江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教育局教研室 石樹偉

與時(shí)俱進(jìn)之基礎(chǔ)引領(lǐng)統(tǒng)計(jì)與概率考查新趨勢(shì)*

☉江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教育局教研室 石樹偉

一、統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域必備基礎(chǔ)在與時(shí)俱進(jìn)

九年義務(wù)教育屬于基礎(chǔ)教育．隨著時(shí)代的發(fā)展，“基礎(chǔ)”在不斷發(fā)生著變化，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也不例外．在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域?qū)W生必備基礎(chǔ)的與時(shí)俱進(jìn)主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

1．統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域必備基礎(chǔ)的內(nèi)涵在與時(shí)俱進(jìn)

時(shí)代發(fā)展日新月異，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)涵也在與時(shí)俱進(jìn)．清末民初時(shí)，打得一手好算盤、簡(jiǎn)單的口算速算是一個(gè)學(xué)生必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；解放后學(xué)習(xí)蘇聯(lián)，在“數(shù)學(xué)=邏輯”的主導(dǎo)思想下，邏輯思維能力是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；進(jìn)入21世紀(jì)，投資理財(cái)、抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)、大數(shù)據(jù)決策等都呈現(xiàn)在世人面前，數(shù)據(jù)估算、統(tǒng)計(jì)意識(shí)、計(jì)算機(jī)應(yīng)用等應(yīng)成為新時(shí)代公民必備的新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．［1］

過去的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)主要以統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖表制作為主．隨著科技的發(fā)展，這些工作逐步被計(jì)算機(jī)（器）所替代，概率分析與統(tǒng)計(jì)決策成為現(xiàn)代公民工作生活必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程將過去的“統(tǒng)計(jì)初步”提升為四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一的“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域．

2．統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域必備基礎(chǔ)的外延在與時(shí)俱進(jìn)

時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的要求不斷提升，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的外延也在與時(shí)俱進(jìn)．作為中國(guó)數(shù)學(xué)教育優(yōu)良傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)雙基教學(xué)如果插上創(chuàng)新應(yīng)用的翅膀，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育將會(huì)真正領(lǐng)先于世界．為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）在課程目標(biāo)中提出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．［2］將傳統(tǒng)“雙基”擴(kuò)充為“四基”，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的外延得到擴(kuò)展．

在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域，統(tǒng)計(jì)知識(shí)和技能的掌握是需要的，但以其為載體的統(tǒng)計(jì)意識(shí)和數(shù)據(jù)分析觀念更重要，是義務(wù)教育階段學(xué)生必備的新基礎(chǔ)．

二、順應(yīng)基礎(chǔ)發(fā)展的統(tǒng)計(jì)與概率考查呈現(xiàn)新趨勢(shì)

隨著統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域?qū)W生必備基礎(chǔ)的發(fā)展，與過去的“統(tǒng)計(jì)初步”相比，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域不僅內(nèi)容和課時(shí)顯著增加，學(xué)習(xí)要求、學(xué)業(yè)考查也與時(shí)俱進(jìn)呈現(xiàn)新趨勢(shì)．

1．知識(shí)考查重現(xiàn)實(shí)意義理解

統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域概念多，過去的考查注重概念的記憶和應(yīng)用概念進(jìn)行計(jì)算．隨著計(jì)算機(jī)（器）進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂和生活應(yīng)用，概念的記憶和應(yīng)用概念進(jìn)行計(jì)算不再是必備基礎(chǔ)，考查也與時(shí)俱進(jìn)，概念現(xiàn)實(shí)意義的理解和應(yīng)用正在成為考查的重點(diǎn)．

例1概念理解考查范例（選擇題）.

（1）下列說法中不正確的是（）．

A.要了解一批燈泡的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式

B.池塘的平均水深為1.2米，身高1.6米的水牛走進(jìn)池塘可能會(huì)被淹沒

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差s2甲=0.05，乙組數(shù)據(jù)的方差s2乙= 0.1，則甲組數(shù)據(jù)要比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

D.一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)率是1%，則做100次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)

（2）一位運(yùn)動(dòng)鞋經(jīng)銷商抽樣調(diào)查了9位七年級(jí)學(xué)生的鞋號(hào)，號(hào)碼分別為（單位：cm）：24，22，21，24，23，25，24，23，24，經(jīng)銷商最感興趣的是這組數(shù)據(jù)的（）．

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

（3）有十五位同學(xué)參加大運(yùn)河申遺知識(shí)競(jìng)賽，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，取八位同學(xué)進(jìn)入決賽，某同學(xué)知道了自己的分?jǐn)?shù)后，還需知道這十五位同學(xué)的分?jǐn)?shù)的（），就能判斷他能不能進(jìn)入決賽．

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.最高分?jǐn)?shù)

評(píng)注：本例三個(gè)小題均沒有要求學(xué)生計(jì)算相關(guān)統(tǒng)計(jì)量或概率，而是考查學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)概念及其現(xiàn)實(shí)意義的理解，涉及的抽樣調(diào)查、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、概率均為初中階段統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的核心概念．本例為統(tǒng)計(jì)與概率如何有效進(jìn)行概念考查提供了示范．

2．技能考查重結(jié)果分析應(yīng)用

對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)圖表制作的考查，過去是為了計(jì)算而計(jì)算、為了制作而制作．隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖表制作的工作將越來越多地由計(jì)算機(jī)完成，統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分析應(yīng)用取代統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖表制作成為學(xué)生必備基礎(chǔ)．因此，在有關(guān)技能考查中，統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖表制作不應(yīng)是考查的重點(diǎn)所在，而應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生基于統(tǒng)計(jì)量計(jì)算基礎(chǔ)上應(yīng)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出判斷和決策等，更多地關(guān)注對(duì)于統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖表制作原理的理解，以及圖表信息的提取、圖表的特點(diǎn)和選用等；概率計(jì)算無需復(fù)雜，關(guān)鍵在于對(duì)概率分析原理和概率現(xiàn)實(shí)意義的理解.

例2統(tǒng)計(jì)圖表考查范例（2013年江蘇南通模擬卷）.

某校學(xué)生會(huì)采用隨機(jī)抽樣的方式調(diào)查九年級(jí)同學(xué)每天（除課間操外）的課外鍛煉時(shí)間，繪制出如圖1所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和如圖2所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.

圖1

圖2

（1）請(qǐng)求出圖1中每天課外鍛煉時(shí)間約10分鐘的人數(shù)，并將圖1和圖2補(bǔ)充完整；（注：圖2中相鄰兩虛線形成的圓心角為30°）

（2）若該校九年級(jí)共有240名同學(xué)，請(qǐng)你估計(jì)其中每天（除課間操外）課外鍛煉時(shí)間不大于20分鐘的人數(shù)，并根據(jù)調(diào)查情況向?qū)W生會(huì)提出一條建議.

評(píng)注：本例通過一個(gè)實(shí)際問題向?qū)W生呈現(xiàn)“數(shù)據(jù)收集→數(shù)據(jù)表示→數(shù)據(jù)分析→判斷決策”的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)全過程，重點(diǎn)在于統(tǒng)計(jì)圖表制作原理的考查，以及用樣本去估計(jì)總體的推理思想．題目呈現(xiàn)的是兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，首先，需要學(xué)生善于從中提取有用信息進(jìn)行推理計(jì)算，其次，讓學(xué)生在前面推理計(jì)算的基礎(chǔ)上補(bǔ)充完整統(tǒng)計(jì)圖表，既考查了圖表信息的提取和應(yīng)用，又考查了學(xué)生對(duì)圖表制作原理的理解及圖表繪制的技能，同時(shí)工作量又不是很大，這不失為統(tǒng)計(jì)圖表考查的一種切實(shí)可行的辦法．本例為統(tǒng)計(jì)圖表的考查提供了一個(gè)示范．

例3概率計(jì)算考查范例（2007年江蘇揚(yáng)州卷）.

端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．五月初五早上，奶奶為小明準(zhǔn)備了四只粽子：一只肉餡，一只香腸餡，兩只紅棗餡，四只粽子除內(nèi)部餡料不同外其他均相同．小明喜歡吃紅棗餡的粽子．

（1）請(qǐng)你用樹狀圖為小明預(yù)測(cè)一下吃兩只粽子剛好都是紅棗餡的概率；

圖3

（2）在吃粽子之前，小明準(zhǔn)備用一枚均勻的正四面體骰子（如圖3所示）進(jìn)行吃粽子的模擬試驗(yàn)，規(guī)定：擲得點(diǎn)數(shù)1向上代表肉餡，點(diǎn)數(shù)2向上代表香腸餡，點(diǎn)數(shù)3、4向上代表紅棗餡，連續(xù)拋擲這個(gè)骰子兩次表示隨機(jī)吃兩只粽子，從而估計(jì)吃兩只粽子剛好都是紅棗餡的概率．你認(rèn)為這樣模擬正確嗎？試說明理由．

評(píng)注：本例考查了學(xué)生應(yīng)用列舉法分析預(yù)測(cè)概率這一核心技能，關(guān)注學(xué)生利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力．本例的教學(xué)價(jià)值有兩點(diǎn)：一是幫助學(xué)生在具體的問題情境中辨別區(qū)分兩種常見模型——不可重復(fù)事件和可重復(fù)事件，可通俗地理解為“無放回再摸模型”和“有放回再摸模型”，有助于學(xué)生理解掌握概率預(yù)測(cè)的原理；二是澄清一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，就是古典概型的概率都是等可能條件下的概率.問題（1）中畫樹狀圖時(shí)吃第一個(gè)粽子切忌誤認(rèn)為只有三種情況：肉粽、腸粽、棗粽，因?yàn)樗鼈儾皇堑瓤赡苁录?，?yīng)有四種情況：肉粽、腸粽、棗粽1、棗粽2．

3．思想考查重?cái)?shù)據(jù)分析觀念

數(shù)學(xué)基本思想是《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增課程目標(biāo)之一，是與時(shí)俱進(jìn)的新基礎(chǔ)．在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域，基本思想的考查應(yīng)注重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，包括：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．［2］

例4數(shù)據(jù)分析觀念和統(tǒng)計(jì)量考查范例（2014年江蘇揚(yáng)州模擬卷）.

某市實(shí)行中考改革，需要根據(jù)該市中學(xué)生體能的實(shí)際狀況重新制定中考體育標(biāo)準(zhǔn).為此抽取了50名初中畢業(yè)的女學(xué)生進(jìn)行一分鐘仰臥起坐個(gè)數(shù)測(cè)試，測(cè)試情況繪制成表格如下：

（1）求這次抽樣測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）在平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)中，你認(rèn)為用哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為該市中考女生一分鐘仰臥起坐項(xiàng)目測(cè)試的合格標(biāo)準(zhǔn)次數(shù)較為合適？簡(jiǎn)要說明理由．

評(píng)注：本例通過學(xué)生都很熟悉的中考體育標(biāo)準(zhǔn)制定問題，滲透數(shù)據(jù)分析觀念，考查常用統(tǒng)計(jì)量的概念理解、計(jì)算和應(yīng)用，背景公平．需要說明的是，這里的計(jì)算是為了應(yīng)用的計(jì)算．本例的教學(xué)價(jià)值如下：

一是澄清兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，有助于學(xué)生正確理解常用統(tǒng)計(jì)量的概念．第（1）題通過圖表形式呈現(xiàn)加權(quán)數(shù)據(jù)，其統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算容易發(fā)生兩種錯(cuò)誤：①混淆數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的權(quán)，找眾數(shù)時(shí)學(xué)生容易把一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)當(dāng)作眾數(shù)，如本題容易誤將“17人”當(dāng)作眾數(shù)；②混淆數(shù)據(jù)的種類和數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，計(jì)算中位數(shù)時(shí)學(xué)生容易把數(shù)據(jù)的種類數(shù)當(dāng)作數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)去尋找中位數(shù)，忽視了權(quán)數(shù)，如本題以表格形式呈現(xiàn)了11種成績(jī)數(shù)據(jù)，容易誤將大小排序后的第6種成績(jī)數(shù)據(jù)“25個(gè)”作為中位數(shù)．

二是有助于學(xué)生形成數(shù)據(jù)分析觀念．第（2）題考查實(shí)際情境中統(tǒng)計(jì)量的選擇使用，重新制定中考體育標(biāo)準(zhǔn)需要進(jìn)行調(diào)查研究，統(tǒng)計(jì)計(jì)算不是最終目的，最終目的是利用統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果去做出推斷和決策，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的意義和作用，養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析觀念．

4．經(jīng)驗(yàn)考查重現(xiàn)場(chǎng)體驗(yàn)感悟

同基本思想一樣，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也是《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增課程目標(biāo)之一，是與時(shí)俱進(jìn)的新基礎(chǔ)．在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查應(yīng)為學(xué)生提供參與現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，在活動(dòng)（包括實(shí)踐活動(dòng)和思維活動(dòng)）中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)應(yīng)開放多元，鼓勵(lì)學(xué)生自由表達(dá)自己的體會(huì)和見解．

例5統(tǒng)計(jì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)考查范例（2014年江蘇義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷改編）.

有關(guān)部門從甲、乙兩個(gè)城市所有的自動(dòng)售貨機(jī)中分別隨機(jī)抽取了16臺(tái)，記錄下某一天各自的銷售情況（單位：元）：

甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41

乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23

小強(qiáng)用如圖4所示的方法表示甲城市16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售情況．

（1）請(qǐng)你仿照小強(qiáng)的方法將乙城市16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售情況表示出來；

圖4

（3）請(qǐng)說出此種表示方法的優(yōu)點(diǎn)．

評(píng)注：本例為創(chuàng)新考查統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提供了一個(gè)示范．第（1）題通過示例讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)并體驗(yàn)制作“莖葉圖”，考查了學(xué)生的現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力；制作莖葉圖是為了應(yīng)用.第（2）題通過莖葉圖數(shù)據(jù)分布情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量大小比較的估計(jì)活動(dòng)，有效考查學(xué)生是否真正理解平均數(shù)和方差的概念及意義，而不是能否準(zhǔn)確記憶公式并正確計(jì)算.第（3）題通過前面的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)莖葉圖的作用，有效考查學(xué)生對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累情況．

三、必備新基礎(chǔ)與考查新趨勢(shì)對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的啟示

1．經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過程，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念

觀念是不能灌輸?shù)?，只有在活?dòng)中潛移默化的養(yǎng)成．統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的核心必備基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)分析觀念的形成，數(shù)據(jù)分析觀念絕非等同于計(jì)算作圖等簡(jiǎn)單技能，而是統(tǒng)計(jì)意識(shí)、信息感、數(shù)據(jù)感及隨機(jī)觀念．教學(xué)中應(yīng)多提供一些能讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過程的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題，突出統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，不應(yīng)讓計(jì)算統(tǒng)計(jì)量、畫統(tǒng)計(jì)圖表等內(nèi)容占據(jù)學(xué)生過多的時(shí)間（如例2、例4）．

2．嘗試問題解決，提升統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力

統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)要盡可能地融于解決實(shí)際問題的活動(dòng)中．統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容具有非常豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率時(shí)應(yīng)從報(bào)刊雜志、電視廣播、網(wǎng)絡(luò)信息或?qū)W生的生活實(shí)際等多種渠道充分挖掘適合學(xué)生學(xué)習(xí)的材料（如本文范例），通過選擇現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)據(jù)、解決現(xiàn)實(shí)情境中的問題，使學(xué)生理解概念、原理的實(shí)際意義，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力．

3．提供討論機(jī)會(huì)，形成開放正確認(rèn)識(shí)

教學(xué)中要為學(xué)生提供就概念模糊認(rèn)識(shí)或數(shù)據(jù)展開充分討論的機(jī)會(huì)．對(duì)模糊認(rèn)識(shí)，如例1中對(duì)概念現(xiàn)實(shí)意義的理解、例3中兩種概率模型的區(qū)別、例4中計(jì)算表格形式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量都可以先讓學(xué)生充分討論甚至辯論；對(duì)數(shù)據(jù)，如例4、例5中的數(shù)據(jù)可以提出一些問題引發(fā)學(xué)生思考討論：數(shù)據(jù)呈現(xiàn)什么趨勢(shì)？能從這些數(shù)據(jù)中得到什么結(jié)論和推斷？既要能從數(shù)據(jù)中獲得盡可能多的有用信息，還要保持理智的心態(tài)，對(duì)數(shù)據(jù)的來源、收集數(shù)據(jù)的方法、數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式、由此得出的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑，體會(huì)在分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)中沒有絕對(duì)正確的方法和答案．“真理只會(huì)越辯越明”，通過討論，認(rèn)識(shí)會(huì)更加透徹，印象會(huì)更加深刻．

1.張奠宙，趙小平．“與時(shí)俱進(jìn)”話“雙基”［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2001（5）．

2.中華人民共和國(guó)教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．H

*本文系單位科研基金“廣陵基礎(chǔ)教育行動(dòng)創(chuàng)新與理論探索”項(xiàng)目資助、自主課題“本色數(shù)學(xué)教育主張的理論與實(shí)踐研究”的成果之一．