從階段序進(jìn)的角度談階段考試命題
——以某地七年級上學(xué)期統(tǒng)考統(tǒng)測試卷中的部分命題為例

☉江蘇省南京市第29中學(xué)致遠(yuǎn)校區(qū) 朱玉祥

從階段序進(jìn)的角度談階段考試命題
——以某地七年級上學(xué)期統(tǒng)考統(tǒng)測試卷中的部分命題為例

☉江蘇省南京市第29中學(xué)致遠(yuǎn)校區(qū) 朱玉祥

“階段序進(jìn)”是從波利亞的名著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中看到的．波利亞提出學(xué)習(xí)三原則（也是教學(xué)三原則），其中第三個原則就是“階段序進(jìn)”．筆者理解的“階段序進(jìn)”就是學(xué)習(xí)的階段性和循序性．階段性說的是一個階段有一個階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容；循序性說的是學(xué)習(xí)要循序漸進(jìn)，后一階段可以關(guān)聯(lián)前一階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但前一階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容不能使用后一階段的內(nèi)容．從“階段序進(jìn)”原則看階段考試命題，同樣應(yīng)該注意階段性和循序性．比如七年級上學(xué)期的代數(shù)式大小的比較，就不能上升到七年級下學(xué)期的一元一次不等式的高度；七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了一元一次方程，就不能認(rèn)為把方程中的“等號”換成“不等號”就可以出現(xiàn)在命題中；七年級上學(xué)期對無理數(shù)的考核，就不能按八年級算術(shù)平方根和勾股定理后的要求來對待．命題也要講“階段序進(jìn)”原則，要做到在什么山唱什么歌，有什么水劃什么船．尤其是階段考試命題，命題者的命題思路一定要有“階段”約束，做到不越級，不超前，使所命制的試題與教材吻合，與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同步．

但筆者發(fā)現(xiàn)，一些地區(qū)的階段統(tǒng)考統(tǒng)測中，某些試題的命制有違背“階段序進(jìn)”原則的現(xiàn)象，缺少“階段”約束，使得有些試題與“階段”要求不合，給教考帶來不少困惑．下面擬舉幾例，來闡明筆者的觀點，并給出改進(jìn)建議．若所述不妥，歡迎指正．

一、代數(shù)式大小比較不妨給出依據(jù)

例1（2014～2015學(xué)年某地七年級上學(xué)期期中統(tǒng)考試卷第20題）如圖1，甲、乙兩張紙片分別是半徑為r的圓挖去一個長方形．

圖1

（1）求甲、乙兩張紙片的面積；

（2）甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大？為什么？

標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）甲紙片面積：πr2-2mn；乙紙片面積：πr2-1.5mn.

（2）乙紙片的面積大．因為乙紙片的面積-甲紙片的面積＝（πr2-1.5mn）-（πr2-2mn）=0.5mn，且m＞0，n＞0，所以0.5mn＞0，所以乙紙片的面積大于甲紙片的面積．

試題考點分析：例1考核的是七年級上冊（本文所指的數(shù)學(xué)教材都是蘇科版義務(wù)教育新教材）第3章代數(shù)式的內(nèi)容．題目給出的圓的半徑、長方形的長和寬，都用字母表示，計算陰影部分面積，也需要用字母表示．因此，例1的考點有三個：①對用字母表示數(shù)的理解；②能用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系；③會比較兩個代數(shù)式的大?。?/p>

關(guān)于代數(shù)式，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版））的要求是：①借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義（包括能解釋簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義）；②能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，會用代數(shù)式表示；③會求代數(shù)式的值．

對照《標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的三條要求，例1前兩個考點與之吻合，一是用字母表示半徑和長方形的長與寬，讓學(xué)生從中體會到字母表示數(shù)的實際意義；二是通過計算陰影部分面積，考核學(xué)生是否會用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系．

但例1的第三個考點，要求學(xué)生判斷“甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大”，并且還要學(xué)生對自己的判斷給出“為什么”的說明，就有點偏離《標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的要求了．

判斷“甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大”，標(biāo)準(zhǔn)答案給出的是“求差法”．“求差法”比較代數(shù)式大小的依據(jù)是不等式的兩條性質(zhì)．一是由不等式性質(zhì)一得到“若ab＞0，則a＞b”；二是由不等式性質(zhì)二得到“若a＞0，b＞0，則ab＞0”．全區(qū)集中批改試卷時規(guī)定：如果學(xué)生在解題中沒有強調(diào)“m＞0，n＞0”或沒有指出“0.5mn＞0”，就判錯．這個規(guī)定顯然強化了不等式的兩條性質(zhì)在解題中的作用．可是，不等式的性質(zhì)要到七年級下冊課本中才出現(xiàn)，所以，命題人如此命題，是一種典型的“超前”行為，欠妥．

命題改進(jìn)建議：既然不等式的兩條性質(zhì)不在七年級上學(xué)期的期中考試范圍內(nèi)，命題中又想利用這兩條性質(zhì)來比較代數(shù)式的大小，那就得在題目中提供這兩條性質(zhì)．因此，對例1第（2）問可作如下改進(jìn)：

（2）我們知道，比較兩個數(shù)a和b的大小可以用求差法，即看a-b的結(jié)果：若a-b＞0，那么a＞b；若a-b＝0，那么a＝b；若a-b＜0，那么a＜b．請你比較（1）中求得的甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大？

二、從相等的角度設(shè)計不等問題

例2（2014～2015學(xué)年某地七年級上學(xué)期期中統(tǒng)考試卷第24題）如圖2是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，輸入數(shù)值后按三個方框中的程序運算，若第一次運算結(jié)果大于2，可以輸出結(jié)果，則稱該數(shù)只要“算一遍”；若第一次運算無法輸出結(jié)果，且第二次運算結(jié)果大于2，可以輸出結(jié)果，則稱該數(shù)需要“算兩遍”，依次類推．

（1）當(dāng)輸入數(shù)為2時，輸出的結(jié)果為_________；

（2）當(dāng)輸入數(shù)為-1時，求輸出的結(jié)果；

圖2

（3）當(dāng)輸入數(shù)為x時，該數(shù)需要“算兩遍”，直接寫出x的取值范圍．

標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）4.

（2）第一次：-1＋4-（-3）-5＝1，1＜2；第二次：1＋4-（-3）-5＝3，3＞2．所以輸出結(jié)果是3.

（3）-2＜x≤0．

試題考點分析：例2考核的是七年級上冊第2章有理數(shù)和第3章代數(shù)式的內(nèi)容．該題把有理數(shù)計算和列代數(shù)式放在“程序框圖”的情境中，增加了題目的趣味性，同時也滲透了“程序框圖與算法”編寫的規(guī)范．“程序框圖”在教材的第2章和第3章都有出現(xiàn)，應(yīng)該為學(xué)生所熟悉．值得一提的是，例2在有理數(shù)計算的基礎(chǔ)上，通過“是”“否”語句加進(jìn)了不等關(guān)系的判斷．題目還給出了“算一遍”和“算兩遍”的概念，隱含考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解的功能．命題有新意．整個題目考點有四個：①有理數(shù)計算；②有理數(shù)大小判斷；③用代數(shù)式表示運算程序；④一元一次不等式組的應(yīng)用．

前三個考點都符合《標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的要求．

現(xiàn)在來看第（3）問的解答：第一遍，得代數(shù)式x+4-（-3）-5，化簡得x+2，由題意得x+2≤2，解得x≤0；第二遍：把x+2再輸入，得代數(shù)式（x+2）+4-（-3）-5，化簡得x+ 4，根據(jù)題意得x+4＞2，解得x＞-2，由x≤0和x＞-2，得-2＜x≤0，所以x的取值范圍是-2＜x≤0．

顯然，解答過程已用到了解一元一次不等式組．而一元一次不等式（組）是七年級下冊課本中的內(nèi)容，所以，讓它在七年級上學(xué)期期中考試試題的解答中出現(xiàn)，應(yīng)屬不當(dāng)．盡管試題為了避免遭到質(zhì)疑，隱去了解題過程，讓學(xué)生直接給出答案，但用一元一次不等式組解決問題的實質(zhì)仍在．

正是把利用七年級下學(xué)期的一元一次不等式組解決問題的意圖過早地滲入到七年級上學(xué)期階段考試的命題之中，給學(xué)生帶來解題的困難是明顯的．從試卷批改中看到，學(xué)生解答第（3）問的困難有兩個：一是不明白“取值范圍”的意義，不會用“連不等式”的形式來表示所得結(jié)果，比如有的學(xué)生寫成x＞-2＜0；二是不會用一元一次不等式組來解．有一部分學(xué)生用特殊值的方法嘗試，結(jié)果就把“取值范圍”寫成-1或0．出現(xiàn)此類問題，筆者認(rèn)為，這應(yīng)該是該題命制的失誤．

命題改進(jìn)建議：七年級上學(xué)期期中考試范圍包含七年級上冊教材第4章一元一次方程的解法，那么，例2第（3）問可以從方程解決問題的角度做些改進(jìn)．改進(jìn)如下：

（3）①若輸入數(shù)x，輸出結(jié)果等于2，求x的值；②若輸入數(shù)x，把所得結(jié)果作為一個新數(shù)再輸入一次，結(jié)果仍等于2，求出此時x的值；③參考①和②所求得的數(shù)據(jù)，解決如下問題：當(dāng)輸入數(shù)x時，該數(shù)需要“算兩遍”，直接寫出x的取值范圍．

三、無理數(shù)的考核要遵從教材意圖

例3（2013～2014學(xué)年某地七年級上學(xué)期期中統(tǒng)考試卷第23題）“數(shù)軸”這節(jié)課的學(xué)習(xí)應(yīng)該留給我們很多回憶，現(xiàn)在回顧其中的一些片段：

（1）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示嗎？答案是肯定的．請你解決以下問題：面積為8的正方形的邊長a是無理數(shù)，如何在數(shù)軸上畫出表示a的點A？請在圖3的數(shù)軸上畫出點A（不寫畫法，保留畫圖痕跡）.

（2）我們知道：面積為2的正方形的邊長b也是無理數(shù)，教材中用了計算的方法估算出1.4＜b＜1.5．請你用類似的方法推出（1）中a的范圍（保留一位小數(shù)）.

試題考點分析：例3考核的內(nèi)容是七年級上冊第2章中的無理數(shù)．考點有四個：①能畫出面積為8的正方形；②理解面積為8的正方形的邊長a是無理數(shù)；③會在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點；④能用有理數(shù)按規(guī)定要求估計無理數(shù)的范圍．

無理數(shù)本屬實數(shù)內(nèi)容．在蘇科版實驗版本教材中，無理數(shù)是安排在八年級上冊第2章實數(shù)一節(jié)．那個時候，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了勾股定理、平方根、立方根，再學(xué)習(xí)無理數(shù)，理解的困難就少了許多．比如，要學(xué)生說出面積為8的正方形的邊長a是什么數(shù)，學(xué)生會先求出，通過的直觀感受，學(xué)生就能指出a是無理數(shù)；再比如，要學(xué)生在數(shù)軸上畫出表示的點A，學(xué)生會根據(jù)勾股定理，很容易畫出以2為直角邊的等腰直角三角形，然后再利用其斜邊長就可以解決問題．

但蘇科版的教材修訂后，無理數(shù)被安排在七年級上冊第2章有理數(shù)中．修訂的意圖是讓有關(guān)數(shù)的知識比較完整地呈現(xiàn)，為后續(xù)教學(xué)提供方便（如“不等式”一章中，用數(shù)軸表示不等式的解集時就更合理），僅此而已．然而此時，學(xué)生沒有學(xué)過勾股定理，也沒有學(xué)過平方根，學(xué)生對無理數(shù)的理解就難以透徹．首先，面積為8的正方形的邊長具體是個什么數(shù)，學(xué)生求不出來，感受不到；其次，畫出面積為8的正方形，學(xué)生有困難．因為以學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和活動經(jīng)驗，畫正方形是從邊長開始畫的，而面積為8的正方形的邊長是多少？學(xué)生不知道．正是這個原因，七年級上冊的教材對無理數(shù)的要求就低了很多．（1）只要求學(xué)生了解無理數(shù)的概念，不要求學(xué)生理解；（2）只要求學(xué)生通過拼圖拼出邊長為無理數(shù)的正方形的活動感受無理數(shù)的客觀存在，不要求學(xué)生能畫出邊長是無理數(shù)的正方形；（3）只要求學(xué)生會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，不要求學(xué)生會用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)；（4）只要求學(xué)生通過“逼近法”體會“無限不循環(huán)小數(shù)”的探索過程和逼近思想，不要求學(xué)生能用“逼近法”判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)．［1］

在《標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中對無理數(shù)的要求有兩點，一是了解無理數(shù)的概念，知道數(shù)軸上的點可以表示無理數(shù)；二是能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，［2］這兩點要求是基于學(xué)生學(xué)過了勾股定理和平方根后的要求．而蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級上冊教師教學(xué)用書第8頁“課標(biāo)要求”一欄，關(guān)于無理數(shù)的要求只有一條：了解無理數(shù)概念．［1］

顯然，例3的命題遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了課本要求，也超出了《標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的要求．

命題改進(jìn)建議：本著“階段序進(jìn)”的原則，從教材的編寫意圖和要求考慮，例3這樣的命題完全可以從七年級上學(xué)期期中階段考試中剔除．當(dāng)然，如果以能力立意，該題也可以以閱讀理解或問題探究的形式給出，但難度要降低．下面是筆者對例3的一個改進(jìn)嘗試．

“數(shù)軸”這節(jié)課的學(xué)習(xí)應(yīng)該留給我們很多回憶，現(xiàn)在回顧其中的一些片段：

（1）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示嗎？_________（填“可以”或“不可以”）

（2）圖4是兩個邊長都為2的正方形．將這兩個正方形剪拼成如圖5的大正方形，則大正方形的面積是8．若設(shè)大正方形的邊長為a，則a是_________（填“有理數(shù)”或“無理數(shù)”）.

圖4

圖5

圖6

（3）將大正方形按圖6的方式放在一數(shù)軸上．①請你說出點A表示的數(shù)是幾？②在數(shù)軸上畫出表示a的點B（不寫畫法，保留畫圖痕跡）；③請說出點B表示的數(shù)a在哪兩個整數(shù)之間．

章建躍博士有篇文章談的是“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”．文章里有這樣一句話：“認(rèn)真仔細(xì)地分析教材的編寫意圖，也是理解內(nèi)容的一個方面．”筆者覺得命題者給階段考試命題，要本著“階段序進(jìn)”的原則，不僅要熟悉數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，熟悉教材內(nèi)容，更要在命題之前“認(rèn)真地分析教材的編寫意圖”和階段性要求．命題要做到不超前、不拔高、不脫離學(xué)生實際．

考試的主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，但也要有激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)的功能．尤其是階段性考試，需要給學(xué)生一點“鼓勵”．對階段性考試試題的命制，要做到課本主要學(xué)什么，就讓學(xué)生考什么，以基礎(chǔ)性為主．其實，讓學(xué)生在階段性考試中考得好一點絕不會是數(shù)學(xué)的恥辱，更不會是命題人的恥辱．階段性考試的命題需要關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱情，不需要充斥“選拔性”考試的“硝煙戰(zhàn)火”．?dāng)?shù)學(xué)教育是大眾化的教育，具有普及性，目的是培養(yǎng)公民的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)．因此，階段性考試命題更應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)性發(fā)展．

1．楊裕前，董林偉．義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級上冊教師教學(xué)用書［M］．南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012．

2．中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

3．仲進(jìn)東．例談客觀題型中“把關(guān)題”的呈現(xiàn)方式——從一份七年級考卷的兩道試題說起［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．H