入乎其內(nèi)“反稱(chēng)點(diǎn)”，出乎其外“圓外圓”
——2015年北京市中考卷第29題解析與鏈接

☉江蘇省江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué) 宋體河

入乎其內(nèi)“反稱(chēng)點(diǎn)”，出乎其外“圓外圓”
——2015年北京市中考卷第29題解析與鏈接

☉江蘇省江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué) 宋體河

北京市中考卷常常因?yàn)樵囶}的新穎而倍受關(guān)注，特別是近幾年來(lái)全卷最后一題（也稱(chēng)壓軸題）都是以一道新定義考題來(lái)把關(guān)，更是引發(fā)很多同行命題研究的興趣，也成為備考師生全力應(yīng)對(duì)的熱點(diǎn)題型，同時(shí)還帶動(dòng)了北京市各區(qū)七、八年級(jí)期末考試把關(guān)題的命題導(dǎo)向．本文就來(lái)關(guān)注2015年北京市中考卷第29題的思路突破與命題立意，與同行研討．

一、考題及思路突破

考題1（2015年北京市中考卷第29題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱(chēng)點(diǎn)的定義如下：若在射線(xiàn)CP上存在一點(diǎn)P′，滿(mǎn)足CP＋CP′＝2r，則稱(chēng)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱(chēng)點(diǎn)，圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱(chēng)點(diǎn)P′的示意圖．特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′＝0．

圖1

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí).

②點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝-x＋2上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱(chēng)點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

思路突破：（1）①解決該小題的關(guān)鍵是計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)到圓心O的距離，根據(jù)反稱(chēng)點(diǎn)的定義，如果該距離大于圓的直徑2時(shí)，則不存在反稱(chēng)點(diǎn)，如果不大于直徑2，則都有反稱(chēng)點(diǎn)；據(jù)此，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M（2，1）到圓心O的距離是>2，則它關(guān)于⊙O的反稱(chēng)點(diǎn)是不存在；而到圓心O的距離是到圓心O的距離是2，都有反稱(chēng)點(diǎn)，分別是

②由點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝-x＋2上，容易構(gòu)造圖2分析，根據(jù)①中得出的結(jié)論，點(diǎn)P到圓心O（原點(diǎn)）的距離不大于2，可以直觀發(fā)現(xiàn)在直線(xiàn)y＝-x＋2上，只有當(dāng)0≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)著的點(diǎn)P符合要求，再結(jié)合題目限制的反稱(chēng)點(diǎn)P′不在x軸上，則需要舍去坐標(biāo)軸上兩個(gè)點(diǎn)，即x≠0，x≠2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為0

圖2

圖3

如果說(shuō)上述思路還略顯晦澀的話(huà)，我們還可以將問(wèn)題進(jìn)一步直觀化，即再作出一個(gè)半徑為2的⊙O，如圖3，這個(gè)大圓“圈住”直線(xiàn)y＝-x＋2的那一段則是符合條件的點(diǎn)P所在位置．

圖4

二、考題鏈接與揭示結(jié)構(gòu)

考題2（2013年北京市中考卷第25題）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B，使得∠APB＝60°，則稱(chēng)P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí).

①在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_________；

②過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO＝30°，若直線(xiàn)l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍.

（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍．

揭示結(jié)構(gòu)：由于不少期刊已對(duì)該題多有探討，我們不準(zhǔn)備詳細(xì)闡述思路，通過(guò)圖形直觀的方法揭示問(wèn)題結(jié)構(gòu)：所謂“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，可以用圖5形象地展現(xiàn)出來(lái)．

圖5

考題3（2015年江蘇無(wú)錫卷第26題）已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．

（1）是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值．

揭示結(jié)構(gòu)：由“∠OPA＝90°”獲得啟示，如圖6，構(gòu)造出輔助圓與直線(xiàn)y=2交于兩點(diǎn)，而這兩點(diǎn)就是后續(xù)問(wèn)題求解的關(guān)鍵．

圖6

三、教學(xué)思考

其實(shí)到各地中考卷中檢索，還能發(fā)現(xiàn)很多需要構(gòu)造輔助圓的考題，我們關(guān)心的不是多多益善，而是透過(guò)這些考題獲得怎樣的教學(xué)思考．

1.解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生“回到概念去解題”

解題教學(xué)在目前初中數(shù)學(xué)課堂中占有很大比重，往往影響著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升和品質(zhì)的追求．與過(guò)分追求題型教學(xué)、技巧教學(xué)、熟能生巧相比，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念去解題”值得倡導(dǎo)，這一方面是倡導(dǎo)解題教學(xué)要重視概念的復(fù)習(xí)與深刻理解，另一方面也是踐行“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”（李邦河院士語(yǔ)）．從上面三道考題來(lái)看，輔助圓的出現(xiàn)使得解法直觀、簡(jiǎn)明、好懂，是一種居高臨下的解法！可是，如何想到的？對(duì)于“考題1”來(lái)說(shuō)，雖然“圓外圓”出現(xiàn)在圖3中，啟發(fā)了思路而且?guī)?dòng)了后續(xù)問(wèn)題更直觀的理解，然而根本上還是在第（1）問(wèn)中解讀新概念，得出“關(guān)鍵是計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)到圓心O的距離，根據(jù)反稱(chēng)點(diǎn)的定義，如果該距離大于圓的直徑2時(shí)，則不存在反稱(chēng)點(diǎn)，如果不大于直徑2，則都有反稱(chēng)點(diǎn)”．

2.解題教學(xué)要重視反思回顧環(huán)節(jié)

解后回顧反思是很多數(shù)學(xué)大師、數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家學(xué)者提倡的好習(xí)慣，因?yàn)樵诜此蓟仡櫗h(huán)節(jié)可以加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，特別是重視問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)的揭示．比如“考題2”與“考題3”的解后回顧環(huán)節(jié)，如果缺少對(duì)輔助圓出現(xiàn)的反思，就難以讓學(xué)生從問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)的高度認(rèn)識(shí)和理解考題．羅增儒教授曾指出：“解題教學(xué)缺少解后反思，‘如人無(wú)手，入寶山而空返’．”以上我們關(guān)于各個(gè)考題求解思路之后，輔助圓的價(jià)值、意義的追問(wèn)都可以在解題教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，可以引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)記錄、整理，根據(jù)我們的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)于解題能力的提升是有積極意義的．

1.袁亞良，江海人．一次市級(jí)說(shuō)題比賽的成果展示與思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（5）.

2.肖維松．回到概念：解題教學(xué)的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（7）.

3.耿華東．?dāng)?shù)形互助來(lái)破題，探索發(fā)現(xiàn)是導(dǎo)向——2014年北京卷壓軸題解析與思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

4.【德】菲利克斯·克萊因，箸．高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）［M］．舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯．齊民友，審．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008．

5.章建躍．中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3～5）.H