一種穩(wěn)健的混合范數(shù)約束的波束綜合算法*

尚歡歡，周 林，趙華僑，高火濤，劉克剛

(武漢大學 電子信息學院，武漢 430072)

1 引言

在雷達和通信系統(tǒng)設計中，為抑制干擾和噪聲，往往要求天線的方向圖具有特殊的形狀［1］。至今，已出現(xiàn)了大量的波束綜合算法，如經(jīng)典的Dolph－Chebyshev 方法［2］、泰勒(Taylor)方法等［3］，但是，這些方法對陣列形式有嚴格的要求。Olen 和Compton［4］基于自適應理論提出了比較系統(tǒng)的迭代方法;Zhou 等［5］以陣列效率為約束條件，提出了指定旁瓣下的超方向性波束形成算法，但是，自適應陣列綜合算法普遍存在迭代收斂的問題。

近年來，研究人員提出了大量的基于凸優(yōu)化理論的波束綜合算法。鄢社峰等［6］提出了可以同時兼顧波束形成中多個性能指標的波束綜合算法，甘甜等［7］提出了一種穩(wěn)健的恒定束寬的波束形成算法，運用凸優(yōu)化理論將波束綜合問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化形式的約束問題，通過工具箱CVX 或SeDuMi 求得問題的最優(yōu)解。信號的稀疏表示是一種新的分析方法，已在諸多領域體現(xiàn)出其優(yōu)勢。Zhang 等［8］通過在波束綜合的約束條件中添加稀疏表示準則，有效地降低了波束的旁瓣水平;劉翼鵬等［9］提出了一種混合范數(shù)約束的波束綜合算法。然而，文獻［8－9］僅對波束的旁瓣進行控制而未對算法的穩(wěn)健性和陣列效率等性能參數(shù)進行詳細分析。

基于此，本文提出了一種基于敏感度和混合范數(shù)約束的波束綜合算法。仿真實驗表明，只要合適地選取敏感度因子和其他參數(shù)的取值，便能得到有較低旁瓣和零陷的波束響應圖。通過分析可知，該算法具有良好的穩(wěn)健性，能容忍較大的幅相誤差，而且陣列的效率也有較大的提高。

2 波束形成及相關參數(shù)定義

現(xiàn)假設有一均勻圓陣，由M個各向同性的陣元組成，陣列的半徑為r，如圖1 所示。

圖1 均勻圓陣Fig.1 Uniform circular array

現(xiàn)有一波長為λ 的遠場窄帶平面波從(θm，φm)方向入射到天線陣中，其導向矢量a(θ，φ)可以表示為

式中，τi=rsin(θ)cos (iβ－)，i=0，1，2，…，M－1，β=2π/M，在這里φ 指信源的俯仰角，θ 指信源的方位角。w 表示陣列的加權(quán)系數(shù)，則波束形成器的輸出響應可表示為

可以直接得到常規(guī)波束形成(Conventional Beamforming，CBF)的權(quán)值為Wcbf=a(θm，m)。一般把最大方向性增益定義為陣列的方向性系數(shù)，可以表示為

由式(2)和式(3)可知，方向性系數(shù)D 可以進一步表示為兩個二次型比值:

式中，矩陣N、R 為兩個確定的矩陣，分別表示為

假設本文所用的天線陣由短偶極子天線構(gòu)成，則矩陣R 可以表示為

式中，dij是指兩個陣元之間的距離，Rij是指矩陣R的第i 行第j 列元素。

在波束形成過程中，為控制主瓣的形狀和降低旁瓣電平，通常都會對各陣元施加不等的加權(quán)值。然而，對陣元的不均勻加權(quán)容易導致陣列效率的損失，陣列效率η［10］可以表示為

為更好地表征陣列天線對陣列誤差的敏感性，本文引入陣列敏感度因子［11］K，一般K 值越小波束穩(wěn)定性越好，反之越容易受誤差影響。

3 最小均方準則法(MMSE)

在波束形成過程中，一般都期望接收的功率盡量集中在主瓣，而副瓣接收的越少越好。反映在方向圖上，就是主瓣越窄越好，副瓣電平越低越好。為方便起見，以下的俯仰角均為90°，方位角以θ 表示，則有

式中，G(θ)=wHa(θ) 與Gd(θ) 分別表示θ 方向的設計波束響應和期望波束響應，Θ 表示波束形成的觀察區(qū)域。一般設計的波束響應不會與期望的波束響應完全一致。于是，一般都要求設計波束響應和期望波束響應之間的誤差越小越好。這個誤差的大小可以用加權(quán)誤差范數(shù)來衡量，加權(quán)誤差范數(shù)越小說明設計的波束響應越接近期望波束響應，即

最小均方準則法(Minimize Mean Square Error，MMSE)即當q=2 時誤差范數(shù)δ 達到最小的情況，可以表示為w

式中，A 為一個M × L 維的矩陣，表示方向角在[0°，360°)范圍內(nèi)，采樣間隔為Δθ 的陣列流型矩陣，A=[a (θ1)，…，a (θi)，…，a (θL)]，θj∈Θ，L=360°/Δθ+1。

式(12)不需要凸優(yōu)化工具包就可以進行求解，直接用Lagrange 乘子法得到最優(yōu)解為

4 稀疏表示的混合范數(shù)法

低旁瓣、零陷和穩(wěn)健性是波束綜合的重要性能參數(shù)。現(xiàn)假設有P個干擾源，指定零陷的深度為U1，則零陷的響應值滿足ε1=，零陷約束值可以寫為

波束的旁瓣和零陷容易受陣列誤差的影響而發(fā)生畸變，因此在波束設計過程中既要考慮旁瓣和零陷水平也要考慮其穩(wěn)健性。敏感度因子K 反映了陣元間的不穩(wěn)定性，因此可以在波束綜合中對K 進行約束，從而提高算法的穩(wěn)健性。

理想波束的陣列增益滿足稀疏分布中大部分元素為0(或接近0)而少部分元素為1(或接近1)的特性，基于此，可以考慮在陣列增益的基礎上添加稀疏約束。陣列增益具有次級結(jié)構(gòu)特征，即陣列增益向量中較大元素集中在主瓣區(qū)域，而較小元素分布在旁瓣區(qū)域;又由于l1范數(shù)最小化約束可以激勵稀疏約束，而l! 范數(shù)最小化約束可激勵密集分布的約束。因此，分別對波束的主瓣和旁瓣使用l! 范數(shù)約束和l1范數(shù)約束。則加入稀疏表示后的波束綜合模型為

式中，δ 為設計波束響應與期望波束響應之間的誤差;AM表示主瓣區(qū)域?qū)年嚵辛餍途仃?，為一個M×Q 矩陣，Q 為主瓣區(qū)域離散化后的長度;AS表示旁瓣區(qū)域?qū)年嚵辛餍途仃?，為一個M×(L－Q)矩陣，L 為整個觀測區(qū)域離散化后的長度;目標函數(shù)中向量乘積wHAM表示波束圖主瓣內(nèi)的陣列增益;而wHAS表示波束圖旁瓣部分的陣列增益，|wHa(θi)|≤ε1表示對某個干擾方向的約束;K 為敏感度因子。該問題是一個凸優(yōu)化問題，可以用凸優(yōu)化工具CVX 進行求解。

5 仿真實驗與分析

5.1 仿真實驗1:無陣列誤差情況下算法性能

實驗條件:假設有一均勻圓陣，工作頻率為f=10 MHz，陣列半徑為r=0.15λ，陣列由M=7 根短偶極子天線組成。主波束對準方向為θs=180°，干擾源方向θi=30°，零陷深度ε1=－50 dB，敏感度因子K=0.5。期望波束響應:在θs=180°方向的波束響應為1，在旁瓣區(qū)域 ΩSLL=[0°，θs－θp)∪[θs+θp，360°)的期望響應為0，其中θp=15°，取Θ=θs∪ΩSLL，并對該區(qū)域進行離散化處理。圖2 所示為期望波束的響應圖。

圖2 期望波束響應Fig.2 Desired beam pattern

圖3 所示為常規(guī)波束形成、最小均方準則法和混合范數(shù)約束法三種算法的波束響應圖。由圖3 可知CBF 的主瓣寬度很寬，方向性較差;最小均方準則法的旁瓣電平較高，而本文算法的旁瓣電平較低均在－28 dB 以下，并且在干擾方向形成較深的零陷。

圖3 三種算法的波束響應Fig.3 Beam patterns about the three methods

由表1 可知，MMSE 的最高旁瓣為－14.4 dB，而本文算法的最高旁瓣為－28.3 dB。本文算法的陣列效率η 與MMSE 相比較也有較大提高。此外，本文算法的敏感度因子K 比MMSE 要小很多，由此，可以大致認為本文算法比MMSE 有更好的穩(wěn)健性。下面針對算法的穩(wěn)健性作詳細分析。

表1 三種算法的各性能參數(shù)比較Table 1 Performance of three algorithms

5.2 仿真實驗2:存在陣列誤差情況下算法性能

對于陣列誤差，本文主要考慮通道的幅度誤差和相位誤差，假設幅相誤差均滿足獨立的高斯分布。算法的最大可容忍誤差可以反映波束形成器的穩(wěn)健性，其值是通過蒙特卡洛實驗估計得到［12］。在每一個給定的隨機幅相誤差的情況下，進行多次重復實驗，如果波束圖的畸變程度還在可接受范圍以內(nèi)，那么可以認為對于這種程度的幅相誤差波束形成的波束圖是穩(wěn)健的;隨著陣列幅相誤差的不斷增大，當波束圖的畸變變得不可接受，那么在此之前的一個幅相誤差值作為最大可容忍的陣列幅相誤差。

(1)假設只存在幅度誤差時，為表示簡單這里用δ1 表示。以3 dB為步長，從－37 dB到－28 dB觀察波束圖的變化情況，如圖4 所示。

圖4 不同幅度誤差下本文算法波束圖變化情況Fig.4 Radiation patterns for the proposed method when sensors exist amplitude errors

(2)假設只存在相位誤差時，為表示簡單這里用δ2 表示。以0.5°為步長，從1°到2.5°觀察波束圖的變化情況，如圖5 所示。

圖5 不同相位誤差下本文算法波束圖變化情況Fig.5 Radiation patterns for the proposed method when sensors exist phase errors

從圖4(a)～(d)的變化情況可知，隨著幅度誤差的變化，波束的形狀也隨著變化。當幅度誤差為－28 dB時，波束的旁瓣發(fā)生明顯畸變，零點位置和增益也發(fā)生較大變化，所以在這里可以認為算法所能容忍的最大幅度誤差約為－30 dB。從圖5(a)～(d)可以看出，隨著相位誤差的增大，波束響應圖也隨著變化。當陣列的相位誤差達到2.5°時，波束的旁瓣和零點位置發(fā)生明顯畸變，此時，可以認為算法所能容忍的最大相位誤差約為2°。

為比較最小均方準則法和本文算法的穩(wěn)健性，現(xiàn)假設陣列的幅相誤差分別為δ1=－30 dB，δ2=1.5°，其他實驗條件同仿真實驗1，觀察這兩種算法在存在幅相誤差情況下的穩(wěn)健性能，如圖6 所示。

圖6 存在幅相誤差時MMSE 算法和本文算法的穩(wěn)健性Fig.6 The robustness performance of the MMSE method and the proposed method

從圖6(a)和(b)的對比可知，當存在相同陣列幅相誤差時，本文算法波束形狀保持較好，而最小均方準則算法的波束旁瓣發(fā)生明顯的畸變。因此，可以得出本文算法相比最小均方準則下的波束形成算法具有更好的穩(wěn)健性。

6 結(jié)束語

結(jié)合凸優(yōu)化理論和信號的稀疏表示準則，本文提出了一種新的混合范數(shù)約束下的波束綜合算法。在陣列增益的基礎上添加稀疏約束，可以促使波束圖向理想波束響應成形。仿真實驗證明，新方法的波束響應具有更低的旁瓣和零陷，其最高旁瓣和最低零陷深度分別為－28 dB和－50 dB左右，因此，能夠有效降低噪聲和干擾對信號的影響。多次實驗表明，與MMSE 算法相比，本文提出的算法具有良好的穩(wěn)健性，因此可以保證波束圖在陣列存在殘留誤差的情況下不發(fā)生嚴重畸變;算法運用凸優(yōu)化工具包CVX 進行求解，計算方便、簡單。

［1］Wang Z X，He Z S，Hu J F，et al.A low side－lobe array weighted optimization method in sky－wave radar［C］//Proceedings of 2013 IEEE International Symposium on Phased Array Systems ＆ Technology.Waltham，MA:IEEE，2013:379－382.

［2］Dolph C L.A current distribution for broad－side arrays which optimizes the relationship between beamwidth and side－ lobe level［J］.Proceedings of the IRE，1946，34(6):335－348.

［3］Taylor T.Design of circular apertures for narrow beamwidth and low sidelobes［J］.IRE Transactions on Antennas and Propagation，1960，8(1):17－22.

［4］Olen C A，Compton J R T.A numerical pattern synthesis algorithm for arrays［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，1990，38(10):1666－1676.

［5］Zhou Q C，Gao H T，Zhang H J，et al.Pattern synthesis method applied in designing HF super－directive receive arrays［J］.IEICE Electronics Express，2013，10(21):1－7.

［6］鄢社峰，馬遠良，孫超.任意幾何形狀和陣元指向性的傳感器陣列優(yōu)化波束形成方法［J］.聲學學報，2005，30(3):264－270.YAN Shefeng，MA Yuanliang，SUN Chao.Beam－pattern optimization for sensor arrays of arbitrary geometry and element directivity［J］.Acta Acustica，2005，30(3):264－270.(in Chinese)

［7］甘甜，王英民.一種穩(wěn)健的恒定束寬的波束形成算法［J］.聲學學報，2012，37(1):18－24.GAN Tian，WANG Yingmin.A robust broad band beamforming method of constant beam width［J］.Acta Acustica，2012，37(1):18－24.(in Chinese)

［8］Zhang Y，Ng B P，Wan Q.Sidelobe suppression for adaptive beamforming with sparse constraint on beam pattern［J］.Electronics Letters，2008，44(10):615－616.

［9］Liu Y P，Wan Q.Sidelobe suppression for robust beamformer via the mixed norm constraint［J］.Wireless Personal Communications，2012，65(4):825－832.

［10］劉曉莉，廖桂生，曾操.最大化陣列效率的方向圖綜合方法［J］.西安電子科技大學學報，2009，36(5):807－812.LIU Xiaoli，LIAO Guisheng，ZENG Cao.Pattern synthesis method for array efficiency maximization［J］.Journal of Xidian University，2009，36(5):807－812.(in Chinese)

［11］Zhou Q C，Gao H T，Zhang H J，et al.Superdirective Beamforming with Interferences and Noise Suppre－ssion via Second－ Order Cone Programming［J］.Progress in Electromagnetics Research C，2013，43:255－269.

［12］Zhou Q C，Gao H T，Zhang H J，et al.Robust Superdirective Beamforming for HF Circular Receive Antenna Arrays［J］.Progress in Electromagnetics Research，2013，136:665－679.