小世界網(wǎng)絡(luò)中埃博拉病毒傳播的研究

小世界網(wǎng)絡(luò)中埃博拉病毒傳播的研究

程靜1,2，黃青1，謝銘杰1，吳小雨1，李佳君1，張志梁1，呂杰1,2

1上海醫(yī)療器械高等專科學(xué)校 醫(yī)療器械工程系(上海，200093)

2 上海健康醫(yī)學(xué)院 醫(yī)療器械學(xué)院(上海，200093)

通信作者：呂杰，E-mail:lyj@smic.edn.cn

【摘要】目的為更好地防御和控制埃博拉病毒疫情，需要建立病毒在高度聚集的人類社會(huì)中的傳播數(shù)學(xué)模型。方法建立了包含潛伏節(jié)點(diǎn)的小世界網(wǎng)絡(luò)傳播模型(SEIR模型)，并對(duì)病毒的實(shí)際傳播情況進(jìn)行了仿真，進(jìn)而使用模型研究初始感染人數(shù)及社會(huì)的人群聚集度(關(guān)聯(lián)度)對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響。結(jié)果模型的仿真結(jié)果與病毒實(shí)際報(bào)道的傳播情況相符，表明所構(gòu)建的模型對(duì)疫情防控具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。病毒的傳播速度與初始染病人數(shù)和關(guān)聯(lián)度具有明顯的正相關(guān)關(guān)系，因此在潛伏期內(nèi)對(duì)病毒傳播進(jìn)行干預(yù)以及對(duì)感染者進(jìn)行隔離可對(duì)疫情進(jìn)行有效控制。

【關(guān)鍵詞】埃博拉病毒；傳播；小世界網(wǎng)絡(luò)；SEIR模型

doi:10.3969/j.issn.1674-1242.2015.02.007

作者簡(jiǎn)介：程靜，E-mail:chengj@smic.edu.cn

【中圖分類號(hào)】【文章標(biāo)志碼】A

文章編號(hào)：1674-1242(2015)02-0091-04

Abstract【】ObjectiveIn order to prevent and control Ebola virus disease, a new virus transmission model should be established.MethodsBased on the small-world network theory, a new SEIR model was proposed to simulate the transmission process of Ebola virus disease. Then, the number of infected and the frequency of human contacts, which were the two major factors, were investigated to explore their roles in virus transmission.ResultsSimulation results of the model were accorded with actual reports of the virus situation, which illustrated that the model was reasonable and practicable. There are positive relationships between propagation speed of the virus and these two major factors. Therefore, it is critical to isolate the infected and take some intervention methods in incubation period.

收稿日期：(2015-02-28)

Study on the Transmission of Ebola Virus in Small World Network

CHENG Jing, HUANG Qing, XIE Mingie, WU Xiaoyu, LI Jiajun, ZHANG Zhiliang, Lü Jie

1. Department of Medical Instrument Engineering,

Shanghai Medical Instrumentation College(Shanghai，200093)

2. Medical Instrument Department, Shanghai University of Medicine & Health Sciences(Shanghai，200093)

【Key words】Ebola virus, transmission, small-world network, SEIR mode

埃博拉(Ebola virus disease又稱埃博拉出血熱)是一種傳播迅猛的急性致命傳染疾病，致死率高達(dá)50%～90%[1]，埃博拉疫情在1976年剛果靠近埃博拉河流域的小村莊首次出現(xiàn)。近期從2013年起，該病毒在西非肆虐蔓延，始于幾內(nèi)亞，后蔓延至薩拉里昂、利比里亞及尼日利亞等國(guó)家，給人們的生命和財(cái)產(chǎn)帶來(lái)巨大的損失，引起全球的廣泛關(guān)注與思考[2]。對(duì)埃博拉病毒的傳播過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，可對(duì)其流行的影響因素進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)其爆發(fā)時(shí)間和規(guī)模，從而更好的改善應(yīng)急機(jī)制，為疾病的防治提供理論依據(jù)和技術(shù)支持。

埃博拉病毒不同于其他流行病，其傳播途徑相對(duì)封閉，主要為直接接觸病人的分泌物傳播、注射傳播和性接觸傳播[3-4]。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于埃博拉病毒傳播過(guò)程主要有增長(zhǎng)動(dòng)態(tài)模型[4]，SIR/SEIR等簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型[5]；David N. Fisman等[4]使用衰變指數(shù)擬合模型(IDEA)來(lái)對(duì)病毒的傳播過(guò)程進(jìn)行模擬，雖然模擬結(jié)果與實(shí)際報(bào)道相符，但模型中所使用的參數(shù)的實(shí)際意義卻難以精確定義；江華等[5]人使用SIR模型來(lái)模擬埃博拉病毒的傳播，但其研究只局限于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型分析，并沒(méi)有考慮埃博拉病毒在不同的社會(huì)人際網(wǎng)絡(luò)中的傳播能力，以及潛伏期感染人數(shù)對(duì)其傳播速度產(chǎn)生的影響。由Watts等[6-7]提出的小世界網(wǎng)絡(luò)模型，人群通常是高度聚集的，并以一定的概率隨機(jī)混合在一起，是一種可以用來(lái)描述復(fù)雜社會(huì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的理想模型。本文根據(jù)埃博拉病毒的傳播特點(diǎn)，在小世界網(wǎng)絡(luò)理論基礎(chǔ)上，建立了包含潛伏節(jié)點(diǎn)的埃博拉病毒傳播模型，并結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，考察了模型的實(shí)際應(yīng)用性能。進(jìn)而探索了初始染病人數(shù)、傳播人群接觸關(guān)系等因素對(duì)病毒傳播的影響，為埃博拉病毒疫情的防御和控制提供了理論依據(jù)和現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)。

1　埃博拉病毒傳播模型

1.1模型假設(shè)

假設(shè)人群模型分為4類群體，即易感者群體、潛伏者群體、感染者群體與移除者群體。易感者與感染者無(wú)防護(hù)的接觸將導(dǎo)致傳染；易感者與感染者是同質(zhì)混合的，潛伏期內(nèi)不具有傳染；在埃博拉病毒傳播過(guò)程中不采取任何干預(yù)措施；不考慮人口的遷出和遷入，也不考慮人口自然狀態(tài)下的出生和死亡。

1.2模型結(jié)構(gòu)

圖1埃博拉病毒傳播模型結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1Transsmission model of Ebola virus

埃博拉病毒傳播模型結(jié)構(gòu)示意如1圖所示。S表示易感者，即未感染埃博拉病毒人群；E表示潛伏者，即攜帶埃博拉病毒但無(wú)感染癥狀，即處于潛伏期的人群，不具有傳染性；I表示感染者，即存在埃博拉病毒感染癥狀并且具有傳染性的人群；R表示移除者，即死亡人群。在疾病傳播過(guò)程中，易感者與感染者接觸后，以一定的概率P轉(zhuǎn)化為潛伏者；α表示單位時(shí)間內(nèi)潛伏者向感染者轉(zhuǎn)變的數(shù)目；β表示單位時(shí)間內(nèi)感染者向移出者轉(zhuǎn)變的數(shù)目；T1表示由潛伏者到感染者所需的平均時(shí)間；T2表示感染者到移除者所需的平均時(shí)間。N表示總?cè)丝跀?shù)，即易感者、潛伏者、感染者與移除者之和。根據(jù)埃博拉病毒2013～2014年在西非爆發(fā)的實(shí)際數(shù)據(jù)[8-9]，可知α、β為極限概率趨近于1 的兩個(gè)變量，T1為2～20 d，T2為7 d；研究中通過(guò)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合，采用最小平方法獲得傳播概率P。

1.3模型的實(shí)現(xiàn)

本文各種模擬和繪圖使用Matlab程序進(jìn)行編寫(xiě)。根據(jù)小世界網(wǎng)絡(luò)模型理論，如圖2所示：定義每一個(gè)節(jié)點(diǎn)為一個(gè)個(gè)體的人，其中空心圓為易感者(S)，實(shí)心圓為感染者(I)，空心方塊為潛伏者(E)，實(shí)心方塊移除者(R)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)代表總?cè)丝跀?shù)；網(wǎng)絡(luò)中的邊表示節(jié)點(diǎn)之間存在聯(lián)系即兩個(gè)個(gè)體之間存在著接觸，網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)的平均連接數(shù)定義為關(guān)聯(lián)度。在模型中，我們假設(shè)總?cè)丝跀?shù)不發(fā)生改變，即整個(gè)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)有新的節(jié)點(diǎn)進(jìn)入，總?cè)丝跀?shù)設(shè)為10 000。在進(jìn)行模擬時(shí)，以一定的概率隨機(jī)地變動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中的每條邊，即邊的一個(gè)端點(diǎn)保持不變，然后隨機(jī)選擇網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)作為另一個(gè)端點(diǎn)。同時(shí)限定，任意兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)之間最多只能存在一條邊，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)不存在邊與自身相連。在小世界網(wǎng)絡(luò)中，尋找感染者的鄰居節(jié)點(diǎn)，并判斷鄰居節(jié)點(diǎn)的屬性，如果鄰居節(jié)點(diǎn)屬于易感者，則他們將以一定的概率P發(fā)生病毒感染；如果是感染者、潛伏者、或者移除者，則不發(fā)生疾病感染。當(dāng)節(jié)點(diǎn)從未感染狀態(tài)(S)到潛伏狀態(tài)(E)時(shí)，時(shí)間屬性開(kāi)始計(jì)數(shù)，在遍歷節(jié)點(diǎn)時(shí)判斷其時(shí)間屬性是否大于T1，符合時(shí)則將該節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?I)。若節(jié)點(diǎn)已進(jìn)入感染狀態(tài)(I)，其新的時(shí)間屬性開(kāi)始計(jì)數(shù)，在遍歷節(jié)點(diǎn)時(shí)判斷其時(shí)間屬性是否大于T2，符合時(shí)則將該節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橐瞥?，屬性為死?D)，節(jié)點(diǎn)從網(wǎng)絡(luò)中去除，不再參與人群傳染過(guò)程。模型的算法流程如圖3所示。

圖2小世界網(wǎng)絡(luò)模型

Fig.2Structure of small world network model

空心圓為易感者(S)，實(shí)心圓為感染者(I)，

空心方塊為潛伏者(E)，實(shí)心方塊點(diǎn)為移除者(R)

圖3算法流程圖

Fig.3Flow diagram of Ebola virus transmission model

2　結(jié)果與討論

在研究中，我們進(jìn)行了以下的比較和模擬研究：首先，將模型對(duì)埃博拉病毒傳播過(guò)程的模擬結(jié)果與1976年在剛果爆發(fā)的疫情數(shù)據(jù)作比較，考察模型對(duì)真實(shí)情況的模擬效果；其次，固定社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的人群關(guān)聯(lián)度不變，改變初始感染人數(shù)，研究其對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響。最后，我們固定初始染病人數(shù)，改變社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的人群關(guān)聯(lián)度，研究其對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響。

2.1埃博拉病毒模擬傳播過(guò)程與實(shí)際情況的對(duì)比

為了驗(yàn)證我們的預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，我們模擬了埃博拉病毒發(fā)病人數(shù)占總?cè)丝诘陌俜直入S時(shí)間的變化情況。在模擬時(shí)，我們?cè)O(shè)定初始染病人數(shù)為1人，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中人群的關(guān)聯(lián)度為50(圖4)，模擬結(jié)果表明病毒發(fā)病高峰期出現(xiàn)在第35～40 d，死亡率約為91%。據(jù)報(bào)道，1976年在剛果爆發(fā)的埃博拉病毒疫情中，疫情的高峰期出現(xiàn)在第35 d[9-10]，死亡率90%，與我們的模擬數(shù)據(jù)基本吻合。該結(jié)果表明，我們所建立的模型能夠逼真地模擬病毒的傳播過(guò)程，可以為病毒傳播的影響因素研究提供基礎(chǔ)模型，進(jìn)而為病毒的防御與控制提供理論依據(jù)。

圖4初始染病人數(shù)為1人、關(guān)聯(lián)度為50時(shí)埃博拉病毒傳播模擬結(jié)果

Fig.4Simulation results of Ebola virus transmission model with

initial infected number of 1 and correlation degree of 50

2.2初始染病人數(shù)對(duì)埃博拉病毒傳播的影響分析

在實(shí)際工作中，我們研究了埃博拉病毒的傳播曲線與初始染病人數(shù)之間的變化關(guān)系(設(shè)定網(wǎng)絡(luò)中人口總數(shù)為10 000，人群的關(guān)聯(lián)度為50)，如圖5所示。在第1～15 d，染病者大多以潛伏狀態(tài)存在，有癥狀的發(fā)病人數(shù)并沒(méi)有顯著增加；在第15～20 d出現(xiàn)了一波小規(guī)模的爆發(fā)，發(fā)病人數(shù)持續(xù)增長(zhǎng)；在第20～30 d出現(xiàn)了大規(guī)模的爆發(fā)，發(fā)病人數(shù)快速增長(zhǎng)；在第40 d左右發(fā)病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比接近90%，與報(bào)道的埃博拉的致死率相同[11-12]。當(dāng)初始染病人數(shù)小于30人時(shí)，埃博拉病毒的傳播曲線變化隨初始染病人數(shù)的增加波動(dòng)明顯，初始染病人數(shù)越多，埃博拉病毒的傳播速度增長(zhǎng)越快。然而當(dāng)初始染病人數(shù)大于30人時(shí)，埃博拉病毒的傳播曲線變化隨初始染病人數(shù)的增加波動(dòng)并不明顯，始終處在一種快速增長(zhǎng)過(guò)程中。該研究結(jié)果表明，在埃博拉病毒疫情的初期，如果能夠采取一些有效的干預(yù)措施，例如對(duì)感染者進(jìn)行有效的治療、密切觀測(cè)潛伏者，將感染者控制在30人以下(占總?cè)丝诒嚷蕿?.3%)，這將大大減緩病毒的傳播速度，減輕病毒的爆發(fā)規(guī)模。

圖5關(guān)聯(lián)度為50，的埃博拉病毒傳播模擬曲線

(A)初始染病人數(shù)為1～20人；(B)初始染病人數(shù)為30～60人

Fig.5Simulation results of Ebola virus transmission model with

correlation degree of 50 (A) initial infected number varied from

1 to 20;(B)initial infected number varied from 30 to 60

2.3關(guān)聯(lián)度對(duì)埃博拉病毒傳播的影響分析

為考察感染者的社會(huì)關(guān)系對(duì)埃博拉病毒傳播的影響，我們研究了埃博拉病毒的傳播曲線變化與關(guān)聯(lián)度之間的關(guān)系(設(shè)定初始染病人數(shù)為10人，關(guān)聯(lián)度的變化范圍為20～60)。在研究中，我們假定網(wǎng)絡(luò)中不同類的節(jié)點(diǎn)具有不同的網(wǎng)絡(luò)屬性，同一類節(jié)點(diǎn)具有不同的權(quán)重，來(lái)模擬每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表的個(gè)體在社會(huì)中角色的不同，其社會(huì)活躍程度的不同 (模擬的結(jié)果見(jiàn)圖6)。如圖6所示，埃博拉病毒的傳播速度與關(guān)聯(lián)度成正相關(guān)關(guān)系，隨著社會(huì)中人群的關(guān)聯(lián)度的快速增長(zhǎng)，埃博拉病毒的傳播速度也逐漸增快。由此可知，感染者的社會(huì)關(guān)系對(duì)埃博拉病毒的傳播具有重要影響，因此發(fā)現(xiàn)埃博拉病毒疫情后，需要采取切實(shí)的干預(yù)措施，例如醫(yī)學(xué)隔離感染者、對(duì)感染者的接觸人群進(jìn)行跟蹤觀測(cè)等，這將有效地降低感染者的社會(huì)關(guān)聯(lián)度，將疫情控制在一定的范圍內(nèi)，并為病毒的防控贏得時(shí)間，大大減緩病毒的傳播。

圖6初始染病人數(shù)為10人，不同關(guān)聯(lián)度下，

埃博拉病毒傳播模擬曲線

Fig.6Simulation results of Ebora virus transmission

model when initial infected number is 10 with

different correlation degree

3　結(jié)論

在研究中，我們首先建立了包含潛伏節(jié)點(diǎn)的小世界網(wǎng)絡(luò)傳播模型，來(lái)模擬埃博拉病毒在人類社會(huì)中的傳播過(guò)程，模型模擬的結(jié)果與1976年剛果爆發(fā)的埃博拉疫情數(shù)據(jù)基本吻合，表明所構(gòu)建的模型是合理的，具有實(shí)際指導(dǎo)意義。在此基礎(chǔ)上，我們研究了初始感染人數(shù)以及社會(huì)中人群的關(guān)聯(lián)度與病毒的傳播關(guān)系，結(jié)果表明這兩個(gè)因素與疫情的發(fā)展具有明顯的正相關(guān)關(guān)系，因此在疫情的早期，采取對(duì)感染者進(jìn)行隔離和積極治療，并且密切追蹤感染者的接觸人群等措施可以有效控制疫情的發(fā)展，極大地減少病毒對(duì)人們的生命和財(cái)產(chǎn)帶來(lái)的損失。

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