幾個(gè)三角恒等式以及Euler積分的計(jì)算

張宏波, 封平華

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

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幾個(gè)三角恒等式以及Euler積分的計(jì)算

張宏波, 封平華

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

摘要：證明了幾個(gè)三角恒等式,并利用這些恒等式給出了求Euler積分ln sin xdx,ln cos xdx積分值的一種新方法.

關(guān)鍵詞：Euler 積分;積分和;三角恒等式

0引言

本文首先給出幾個(gè)三角恒等式,再以這些恒等式為基礎(chǔ)，給出Euler積分

(1)

本文以下各節(jié)內(nèi)容安排如下,第1節(jié)給出了本文所需的幾個(gè)三角恒等式,第2節(jié)用積分和方法同時(shí)計(jì)算出了兩個(gè)Euler積分的值.

1幾個(gè)三角恒等式

首先給出一個(gè)新的正弦函數(shù)倍角公式,與我們熟知的倍角公式(由和的形式構(gòu)成)[3]

不同,新的公式是由乘積的形式構(gòu)成的.

引理1對任意的n=1,2,…，x∈R,以下三角公式成立：

(2)

證明參見文獻(xiàn)[4],另外,從引理1出發(fā),可以得到下述一系列三角恒等式.

定理1對任意的n=1,2,…,有

(3)

其中空乘積定義為1,即當(dāng)n=1時(shí),上述乘積的值規(guī)定為1.

證明在(2)兩邊同時(shí)除以x,令x→0并由sinx~x即可得結(jié)論.

定理2對任意的n=1,2,…,有

(4)

(5)

其中空乘積定義為1.

證明首先,對任意的k=1,2,…,n-1，由

以及(3)式可得

(6)

其次,再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式知,對任意的k=1,2,…,n-1，有

所以顯然有

再由(6)式即可得定理2的結(jié)論.

2Euler積分的計(jì)算

以下由給出的三角公式出發(fā),利用積分和的方法計(jì)算Euler積分的值.Euler積分是分析中一種重要的積分,其他一些常見的積分,如

等都可以化為Euler積分(只相差一個(gè)正負(fù)號)[2].現(xiàn)在,為了計(jì)算該積分,還需下述引理,其證明可以參見文獻(xiàn)[2].

現(xiàn)在計(jì)算兩個(gè)Euler積分的值,即證明(1)式.首先在(4)式兩邊同時(shí)取自然對數(shù),可得

(7)

在(7)式兩邊令n→∞,由引理2即可得

同理由(5) 式出發(fā)可以得(1) 式中第二個(gè)積分的值.

注記(1)式中的兩個(gè)積分也可以由 (6) 式得到,事實(shí)上,在(6) 式兩邊同時(shí)取自然對數(shù),并利用

可得

其中，令n→∞,由引理2可得

所以亦可得(1) 式.

參考文獻(xiàn)

[1]華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論：第一冊[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]菲赫金哥爾茨FM.微積分學(xué)教程：第二卷[M].徐獻(xiàn)瑜，譯.郭思旭，校.北京:高等教育出版社, 2009.

[3]《現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊》編纂委員會(huì).現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊：經(jīng)典數(shù)學(xué)卷[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社, 2000.

[4]張宏波,王美娟.一個(gè)三角公式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2008,38(17):214-216.

Some Trigonometric Identities and the Calculation of Euler’s Integral

ZHANG Hong-bo, FENG Ping-hua

(SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

Abstract:Some trigonometric identities are given. And then by the formulas, a new method to calculate the values of the following two Euler’s integrals,ln sin xdx, ln cos xdx, is introduced.

Key words:Euler’s integral; integral summation; trigonometric identities

中圖分類號：O157.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-0834(2015)02-0001-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.001

作者簡介：張宏波(1976—),男,陜西西安人,河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授,理學(xué)博士、博士后,主要研究方向:隨機(jī)模型、排隊(duì)論.

基金項(xiàng)目：河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助項(xiàng)目 (2014GGJS-136);河南教育學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目

收稿日期：2015-01-24