關(guān)于線性型Sylvester的問題注記

周　虎， 強　華， 顧銀魯， 宋楨楨

(銀川能源學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，寧夏 銀川 750105)

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關(guān)于線性型Sylvester的問題注記

周虎， 強華， 顧銀魯， 宋楨楨

(銀川能源學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，寧夏 銀川 750105)

摘要：設(shè)正整數(shù)a1,a2,a3的最大公約數(shù)(a1,a2,a3)=1，證明了3元線性型的Sylvester數(shù)存在，給出既定條件中的s(a1,a2,a3)計算公式，并給出既定條件下4元、5元線性型Sylvester數(shù)的計算公式.

關(guān)鍵詞：線性型；正整數(shù)解；Sylvester數(shù)；廣Sylvester數(shù)

1引理

19世紀Sylvester證明了定理[1]：設(shè)正整數(shù)a1,a2的最大公約數(shù)(a1,a2)=1，對于方程

a1x1+a2x2=n，

(1)

當(dāng)n>a1a2，方程(1)有正整數(shù)解，當(dāng)n=a1a2，方程(1)無正整數(shù)解.

本文將用初等方法證明：正整數(shù)a1,a2,a3的最大公約數(shù)(a1,a2,a3)=1，不定方程

a1x1+a2x2+a3x3=n

(2)

存在與a1,a2,a3有關(guān)的整數(shù)s(a1,a2,a3)，當(dāng)n>s(a1,a2,a3)，方程(2)有正整數(shù)解，當(dāng)n=s(a1,a2,a3)，方程(2)無正整數(shù)解，稱數(shù)s(a1,a2,a3)為線性型的Sylvester數(shù)，簡稱s數(shù).給出數(shù)s(a1,a2,a3)計算公式，并且在一定條件下4元、5元線性型Sylvester數(shù)的計算公式.

如無特別說明，本文中字母表示正整數(shù)，將“方程有(無)正整數(shù)解”簡述為“方程有無解”.

引理1對于不定方程a1x1+a2x2=n，

1)若(a1,a2)=1， 當(dāng)n>a1a2，方程(1)有正整數(shù)解，當(dāng)n=a1a2，方程(1)無正整數(shù)解；

2)若(a1,a2)=δ3，當(dāng)n≡o(modδ3)，當(dāng)n>G(a1,a2)=a1a2/δ3，方程(1)有正整數(shù)解，當(dāng)n=G(a1,a2)，方程(1)無正整數(shù)解.數(shù)G(a1,a2)稱為線性a1x1+a2x2的廣Sylvester數(shù)，簡稱廣s數(shù).

證明由(a1,a2)=δ3，a1=δ3b1，a2=δ3b2，(b1,b2)=1，在條件n≡o(modδ3)下，方程(1)兩端同除以δ3，得到

b1x1+b2x2=k.

(3)

由1)知，當(dāng)k>s(b1,b2)=b1b2，方程(3)有解，當(dāng)k=s(b1,b2)，方程(3)無解.對于方程(1)而言，當(dāng)n≡o(modδ3)，當(dāng)n>G(a1,a2)=δ3b1b2=a1a2/δ3，方程(1)有解，當(dāng)n=G(a1,a2)，方程(1)無解.

引理2設(shè)(a1,a2,a3)=1，不定方程a1x1+a2x2+a3x3=n存在與a1,a2,a3有關(guān)的整數(shù)s(a1,a2,a3)，當(dāng)n>s(a1,a2,a3)，方程(2)有正整數(shù)解，當(dāng)n=s(a1,a2,a3)，方程(2)無正整數(shù)解.

證明1)設(shè)(a1,a2)=δ3，a1=δ3b1，a2=δ3b2，(b1,b2)=1，不定方程(2)化為

b1x1+b2x2=(n-a3x3)/δ3，

(4)

若方程(2)有解，(4)式右端應(yīng)為正整數(shù)，由(a3,δ3)=1，對參變數(shù)n，存在整數(shù)A1,3，

1≤A1,3≤δ3，

(5)

b1x1+b2x2=(n-a3A1,3)/δ3=n3.

(6)

方程(2)有解x1=A1,1,x2=A1,2,x3=A1,3，令

Na(123)=δ3s(b1b2)+a3δ3.

(7)

2)設(shè)(a1,a3)=δ2，a1=δ2c1，a3=δ2c3，(c1,c3)=1，方程(2)化為

c1x1+c3x3=(n-a2x2)/δ3.

(8)

用1)中方法得到n>δ2s(c1,c3)+a2δ2.

方程(2)有解x1=A2,1,x2=A2,2,x3=A2,3，其中s(c1,c2)是線性型c1x1+c3x3的s數(shù).令

Na(132)=δ3s(c1,c3)+a2δ2.

(9)

3)設(shè)(a2,a3)=δ1，a2=δ1e2，a3=δ1e3，(e1,e3)=1，方程(2)化為

e1x1+e3x3=(n-a1x1)/δ1.

(10)

用1)中方法得到n>δ1s(e1,e3)+a1δ1，方程(2)有解x1=A3,1,x2=A3,2,x3=A3,3，其中s(e1,e2)是線性型e1x2+e3x3的s數(shù).令

Na(231)=δ1s(e2,e3)+a1δ1.

(11)

式(7)，(9)，(11)是正整數(shù)，必有最小者，不妨設(shè)此3式中最小者為Na(123)，由證明知，當(dāng)n>Na(123),方程(2)有解，當(dāng)n=Na(123)代入(2)化簡得

(12)

故，當(dāng)n=Na(123)，方程(12)無解，從而方程(2)無解.

2定理

定理1設(shè)(a1,a2,a3)=1，(a1,a2)=δ3，(a1,a3)=δ2，(a2,a3)=δ1，

a1=t1δ2δ3，a2=t2δ1δ3，a3=t3δ1δ2，

(13)

其中，δi至少有一個大于1(i=1,2,3).

線性模型a1x1+a2x2+a3x3的s數(shù)為

1)若t3>max{t1,t2}，

s(a1,a2,a3)=a1a2/δ3+a3δ3；

(14)

2)若t2>max{t1,t3}，

s(a1,a2,a3)=a1a3/δ2+a2δ2；

(15)

3)若t1>max{t2,t3}，

s(a1,a2,a3)=a2a3/δ1+a1δ1.

(16)

N(123)=δ3[s(b1,b2)+a3]，

(17)

N(132)=δ2[s(c1,c3)+a2]，

(18)

N(231)=δ1[s(e2,e3)+a1]，

(19)

其中s(b1,b2)=b1b2，s(c1,c3)=c1c3，s(e2,e3)=e2e3分別是線性型b1x1+b2x2，c1x1+c3x3，e2x2+e3x3的s數(shù).

若(17)為3式中的最小者，只要不等式組

(20)

成立，(20)化簡為

由(13)得a1-δ2δ3≥0，a2-δ1δ3≥0，從而不等式化為

解之，t3≥t2，t3≥t1，即當(dāng)t3≥max{t2,t1}時，線性型a1x1+a2x2+a3x3的s數(shù)

s(a1,a2,a3)=a1a2/δ3+a3δ3.

同法,由不等式組

及

推得(15)，(16)式.

s(a1,a2,a3,a4)=min{N(1234),N(1243),N(1342),N(2341)}，

(21)

其中N(1234)=s(a1,a2,a3)+a4，N(1243)=s(a1,a2,a4)+a3，N(1342)=s(a1,a3,a4)+a2，N(2341)=s(a2,a3,a4)+a1.

證明當(dāng)(a1,a2,a3)=1，由定理1求得線性型a1x1+a2x2+a3x3的s數(shù)s(a1,a2,a3)，限定x4=1，數(shù)N(1234)=s(a1,a2,a3)+a4，對于方程

(22)

當(dāng)n>N(1234)，方程(22)有解，當(dāng)n=N(1234)，方程(22)無解.

同理，分別限定x3=1，x2=1，x1=1，N(1243)=s(a1,a2,a4)+a3，N(1342)=s(a1,a3,a4)+a2，N(2341)=s(a2,a3,a4)+a1，對于方程(19)，n>N(1234)、n>N(1342)、n>N(2341)，方程(19)有解，當(dāng)n=N(1234)、n=N(1342)、n=N(2341)，方程(22)無解.

按定理2的方法，有以下定理3.

s(a1,a2,a3,a4,a5)=min{N(12345),N(12435),N(13425),N(23415),N(12534),

N(13524),N(23514),N(14523),N(24513),N(34512)},

(23)

其中N(12345)=s(123)+a4+a5，N(12435)=s(124)+a3+a5，N(13425)=s(134)+a2+a5，N(23415)=s(234)+a1+a5，N(12534)=s(125)+a3+a4，N(13524)=s(125)+a2+a4，N(23514)=s(235)+a1+a4，N(14523)=s(145)+a2+a3， N(24513)=s(245)+a1+a3，N(34512)=s(345)+a1+a2.

例1求線性型Sylvester數(shù)：①91x1+2 717x2+3 059x3；②12x1+13x2+15x3+28x4.

解①(91,2 717,3 059)=1，(91,2 717)=13=δ3，(91,3 059)=7=δ2，(2 717,3 059)=19=δ1，91=t1·13·7，t1=1，2 717=t2·13·19，t2=11， 3 059=t3·7·19，t3=23，t3>max{t1,t2}，由(14)得

s(91,2 717,3 059)=91×2 717/13+3 056×13=58 747.

② (12,13,15,28)=1.

(12,13,15)=1，(12,13)=1=δ3，(12,15)=3=δ2，(13,15)=1=δ1，由(14)得t1=4，t2=13，t3=5，t2>max{t1,t3}，由(15)式得

s(12,13,15)=12×15/3+13×3=99.

(12,13,28)=1，(12,13)=1=δ3，(12,28)=4=δ2，(13,28)=1=δ1，由(13)得t1=3，t2=13，t3=4，t2>max{t1,t3}，由(15)式得

s(12,13,15)=12×28/4+13×4=136.

(12,15,28)=1，(12,15)=3=δ3，(12,28)=4=δ2，(15,28)=1=δ1，由(13)得t1=1，t2=5，t3=7，t3>max{t1,t2}，由(14)式得

s(12,15,28)=12×15/3+28×3=144.

(13,15,28)=1，(13,15)=1=δ3，(13,28)=1=δ2，(15,28)=1=δ1，由(13)得t1=13，t2=15，t3=28，t3>max{t1,t2}，由(14)式得

s(13,15,28)=13×15+28=223.

N(1234)=s(12,13,15)+28=127，N(1243)=s(12,13,28)+15=151，

N(1342)=s(12,15,28)+13=157，N(2341)=s(13,15,28)+12=239.

所以s(12,13,15,28)=min{N(1234),N(1243),N(1342),N(2341)}=127.

參考文獻

[1]柯召,孫琦.數(shù)論講義：上冊[M].北京：高等教育出版社，1986.

A Note on Sylvester Problem of Linear Form

ZHOU Hu， QIANG Hua， GU Yin-lu， SONG Zhen-zhen

(DepartmentofMathematics,YinchuanInstituteofEnergy,Yinchuan750105,China)

Abstract:An elementary method of the existence of Sylvester number of linear form aixiis proved and the calculation formulas of s(a1,a2,a3) is given. Under some added condition, the calculation formulas of s(a1,a2,a3,a4) and s(a1,a2,a3,a4,a5) are presented.

Key words:linear form； positive integer solution； Sylvester number； generalized Sylvester number

中圖分類號：O156.1

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-0834(2015)02-0019-04

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.006

作者簡介：周虎(1986—)，男，寧夏銀川人，銀川能源學(xué)院數(shù)學(xué)教研室教師.

收稿日期：2015-01-23