關(guān)于NA隨機序列的一類強極限定理

屈紅紅 范愛華

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

關(guān)于NA隨機序列的一類強極限定理

屈紅紅 范愛華

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

主要考慮同分布的NA隨機序列(ξ，ξn）n∈N，滿足或。通過把劃分成四部分，得到一類強極限定理。

NA隨機序列；三級數(shù)定理；大數(shù)定律

1 引言

設(shè)(ξ，ξn）n∈N是i.i.d隨機變量，滿足Eξ=0或。眾所周知，對于任意一個常量(bn）n∈N，不成立[1-2](cf.Chowet al.(1961），Maller(1978），Adler(1989）.

近來Andre Adler(2001，2002）考慮了以下強大定律的形式：

這里的(an，bn）n∈N是常量。這些強大定律被看作精確強大數(shù)定律。因為Andre Adler(2001，2002）在文中指出，存在一個幾乎肯定非零極限，即使隨機變量為零，或不存在[3-4]。

對于NA隨機序列來說，通過Andre Adler(2001，2002），在本文中我們考慮了NA隨機變量，并建立了一類極限定理。

定義1 如果對于｛1，2，…，n }不相交子集A和B的每部分，隨機變量的一有限集合ξ1，ξ2，…，ξn被認為是NA，如果

當(dāng)f和g是逐漸增加且導(dǎo)致協(xié)方差存在。如果每個有限子集合是NA，那么隨機變量的一組有限集合｛ξt，t∈T}是NA。

這個定義由Alam and Saxena(1981）提出且由Joag-Dev和Proschan(1983）[5-6]仔細研究。同樣地Joag-Dev和Proschan(1983）[8-9]指出并證明，許多著名的多變量的分布過程NA性質(zhì)，比如(a）多項式，(b）不同多項式的卷積，(c）多元的超幾何，(d）Dirichlet，(e）Dirichlet復(fù)合多項式，(f）負相關(guān)的正態(tài)分布，(g）排列分布，(h）不重復(fù)的隨機抽樣，并且(i）排列的聯(lián)合分布。由于它在多元統(tǒng)計分析和可靠性的廣泛應(yīng)用中，最近NA概念已經(jīng)得到了相當(dāng)大的關(guān)注。對于更多的信息我們參考Han-Ying Liang(2000）[7]并引用其中。

引理1[10](Su Chun et al.1998）設(shè)(ξn）n∈N是NA隨機變量的一個序列。如果，對于某個d＞0，因此

則

引理2[10](Su Chun et al.1998）設(shè)(ξn）n∈N是NA和fn不減少的Borel函數(shù)一列，然后(fn(ξn））n∈N也是NA。

2 主要的結(jié)果

我們首先考慮Eξ=0的情況。在這種情況下，我們首先給出下面的定義。

定義2 設(shè)ξ是一個隨機變量有Eξ=0，我們稱

作為縮短的一階矩。

因為在Andrre Adler(2002），我們定義c作為對稱性的參數(shù)，其中

定理1 設(shè)(ξ，ξn）n∈N是同分布的NA隨機變量，有Eξ=0和，其中L(x）是緩慢的變化。設(shè)(an）n∈N和(bn）n∈N是那些如上定義的常量。如果

則有

其中b＞0.

定理2 設(shè)ξ，(ξn）n∈N，是同分布的NA隨機變量。有，這里L(fēng)(x）是緩慢變化的，且(2.1）保留，然后

[1]Adler，A.Exact sequences for sums of independent random variables[J].Proceedings of theInternational Conference on Almost Everywhere Convergence in Probability and Ergodic Theory，Boston Academic Press∶11-29.

[2]Alam，K.&Saxena，K.M.L.Positive dependence in multivariate distributions[J].Comm.Statist.Theory Methods，1981，（A10）∶1183-1196.

[3]Andr′e Adler.Exact laws for multidimensionally indexed random variables[J].Journal of Multivariate Analysis.2001，（77）∶73-83.

[4]Andr′e Adler.Laws of large numbers for the maximal order statistics from a triangulararray[J].Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica，2002，（4）∶239-251.

[5]Block，H.W.&Savits，T.H.Some concepts of negative dependence[J].Ann.Probab.1982，（10）：765-772.

[6]Chow，Y.S.&Robbins，H.On sums of independent random variables with infinitemoments and“fair”games[J].Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.，1961，（47）∶330-335.

[7]Hanying，L.Complete convergence for weighted sums of negatively associated random variables[J].Statistics&Probability Letters.，2000，（48）∶317-325.

[8]Maller，R.A.Relative stability and the strong law of large numbers[J].Z.Wahrsch.verw.Gebiete，1978，（43）∶141-148.

[9]Joag-Dev，K.&Proschan，F(xiàn).Negatively associated random variables with applications[J].Ann.Statist，1983，（11）∶286-295.

[10]蘇淳，王岳寶.同分布NA序列的強收斂性[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，1998，（2）∶131-140.

ON A CLASS OF STRONG LIMIT THEOREMS ON NEGATIVELY ASSOCIATED RANDOM VARIABLES

QU Hong-hong FAN Ai-hua
（School of Mathematics，Physics Science and Engineering，Anhui University of Technology，Ma'anshan Anhui 243002）

In this paper，the identically distributed NA random variables(ξ，ξn）n∈Nwhich are in accordance withorare taken into account.By dividinginto four parts，a class of strong limit theorems is obtained.

NA random variables；three-level mathematical theorem；law of large numbers

O211.4

A

1672-2868（2015）06-0010-04

責(zé)任編輯：陳 侃

2015-10-24

安徽工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(項目編號：2015130）

屈紅紅(1983-），女，陜西咸陽人。安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，碩士研究生。研究方向：概率論與極限理論。