非均勻場景下的協(xié)作定位基本限的研究

范馨月，王慧敏，周 非

(重慶郵電大學移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶400065)

0 引言

傳統(tǒng)定位中，未知節(jié)點的定位需要至少3個不同的信標節(jié)點。例如，全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)［1］對信標節(jié)點的個數有嚴格要求，同時存在GPS接收機成本高、惡劣環(huán)境受限等問題。因此，基礎設施布置有限的惡劣環(huán)境下的精確定位問題一直備受關注。近幾年，協(xié)作定位［2-4］得到了國內外廣泛關注。協(xié)作網絡中含有2種節(jié)點:一種是位置已知的信標節(jié)點，另一種是不含位置信息的未知節(jié)點。此網絡通過信標節(jié)點獲取部分未知節(jié)點的位置信息，再由已獲得位置信息的節(jié)點通過協(xié)作去定位其他未知節(jié)點，不斷地延伸能感知的外界環(huán)境區(qū)域。由于傳統(tǒng)的、無線定位方法的定位信息只是利用已知信標節(jié)點的位置、角度等信息，這導致信標節(jié)點布置有限時無法滿足定位性能要求，而協(xié)作定位在利用已知信標節(jié)點的位置、角度等信息基礎上還利用了任意2個未知節(jié)點之間的信息數據，不僅解決了不在信標節(jié)點覆蓋范圍內的未知節(jié)點的定位問題，而且提高了所有未知節(jié)點的位置估計的準確度和魯棒性。

協(xié)作定位在搜索與營救場景中的應用具有很強的實用價值。在現實火災、地震或其他緊急場景中，由于火勢、障礙物、復雜的地形環(huán)境的影響，被困人員通常無法確定位置并且很難找到出路，這樣直接影響了存活的幾率。如果考慮協(xié)作，被困人員(即未知節(jié)點)在不能獲得消防人員或固定信標節(jié)點的測距信息的情況下，可以通過被困人員之間的協(xié)作功能來實現有效的自身定位，這樣就可以提高網絡中定位信息的利用率，從而提高逃生率。

定位精度下界可以作為定位精度高低的性能基準。定位精度基本限的研究中，Jun Wang等給出了基于混合接收信號強度(received-signal-strength，RSS)［5］定位方法和到達方向(direction-of-arrival，DOA)［6］定位方法的克拉美羅界(cramer-rao bound，CRB)［7］，但是文獻沒有采用協(xié)作的思想。作者Yuan Shen提出了基于到達時間(time-of-arrival，TOA)［8］定位方法的協(xié)作定位精度下界的研究［9］，但目前只涉及均勻場景下的協(xié)作定位精度分析。眾所周知實際場景中未知節(jié)點的分布受環(huán)境的影響，通常不是均勻分布的。例如很多大型商場建筑中間區(qū)域鏤空，商場中的人集中在四周的賣場區(qū)域。實際搜索與營救時的定位問題在不少文獻中被提出，但并未考慮被困人員之間的相互協(xié)作［10-11］?；诖?，將被困人員之間賦予協(xié)作能力，能夠充分利用定位信息從而提高定位精度。本文的主要貢獻是將協(xié)作思想運用于實際搜索與營救場景，并將協(xié)作定位精度基本限作為參考指標，針對商場、居民樓等未知節(jié)點非均勻分布的實際場景，依據移動信標節(jié)點的不同位置對定位精度所產生的影響推斷出實際場景下信標節(jié)點的布置，使定位效果最優(yōu)化并且成本最低化。

本文首先描述了協(xié)作定位系統(tǒng)模型，運用等效費歇爾信息矩陣(equivalent fisher information matrix，EFIM)計算得出協(xié)作定位精度的基本限，即平方位置誤差界(squared position error bound，SPEB);然后將協(xié)作定位模式運用在實際場景中，分析信標節(jié)點的不同布置對SPEB的影響。仿真結果表明，實際場景中被困人員之間的協(xié)作可以降低SPEB，提高定位精度，同時實際場景下的信標節(jié)點的布置需要綜合考慮建筑結構、成本、精度等因素。

1 協(xié)作定位系統(tǒng)參數模型

假定在無線網絡中布置NU個未知節(jié)點和NB個信標節(jié)點，節(jié)點i接收到來自節(jié)點k的多徑信號為

(1)式中:i∈A;k∈A∪B(A和B分別是未知節(jié)點和信標節(jié)點的集合);s(t)是發(fā)送的基帶信號;n(t)表示獨立高斯白噪聲;Alik和τ分別表示信道系數和時延;Nik表示節(jié)點i到節(jié)點k的多徑條數。則節(jié)點的位置和路徑時延之間的關系為

(2)式中:c是信號的傳播速度;(xi，yi)T是未知節(jié)點i的坐標;(xk，yk)T代表所有節(jié)點k的坐標;0是由非視距(non-line-of-sight，NLOS)傳輸引起的距離偏差，對于視距(line-of-sight，LOS)傳輸，0。引入以下未知參數矢量代表未知節(jié)點i的位置，并且，θij表示未知節(jié)點i接收到信標節(jié)點j的距離偏差和振幅系數組成的矢量。表示未知節(jié)點i接收到其他未知節(jié)點m的距離偏差和振幅系數組成的矢量。

2 費歇爾信息矩陣與平方位置誤差界

2.1 平方位置誤差界

在觀測時間［0To)內，r=［r1r2…rNU］T，r是接收波r(t)的矢量形式，可表示為ri=［ri，1…

(3)式中，Jη是η的費歇爾信息矩陣(fisher information matrix，FIM)。位置估計滿足

則SPEB定義為

(5)式中tr{·}是矩陣的跡。

2.2 等效費歇爾信息矩陣

觀測矢量r和參數矢量η的聯(lián)合分布函數為

(6)式中，條件概率密度函數為

gi(ηi)是參數 ηi的先驗概率密度函數。則 η的FIM為

將ln f(r，η)分解得

由公式(9)對數聯(lián)合分布函數的公式可以得出定位信息由3部分組成，分別是來自信標節(jié)點的定位信息、來自協(xié)作的定位信息以及先驗信息，則FIM為

(10)式中等式右邊第3部分可以寫為

(10)-(11)式中:JBE和JU分別是來自信標節(jié)點和協(xié)作節(jié)點的位置信息;ΓBE和ΓU是分別與θi和先驗信息對應的FIM;ΓP是未知節(jié)點位置Pi的先驗信息的FIM。

等效費歇爾信息矩陣是維數小于原始費歇爾信息矩陣，但是保持了計算CRB所有有用信息的矩陣。假設原始費歇爾信息矩陣為其逆矩陣為，則

Je是一個n×n的半正定矩陣，可以用等效費歇爾信息矩陣簡化各個節(jié)點的定位信息，然后再把各個節(jié)點的等效費歇爾信息矩陣加起來求得EFIM。

來自信標節(jié)點的FIM可以表示為對角矩陣

diag{JBE，1+ΓBE，1，…，JBE，NU+ΓBE，NU}，這里每個分塊矩陣{JBE，i+ΓBE，i}可以被簡化為維數是2×2的EFIM，那么整個2NU×2NU的EFIM為，其中

(14)式中:系數αj，i為非負的標量，是來自信標節(jié)點的測距信息強度;，是來自信標節(jié)點的測距信息矩陣，qj，i是未知節(jié)點i到信標節(jié)點j的角度;ηi和 μi是的特征值;為角度的旋轉矩陣。

來自未知節(jié)點之間的協(xié)作定位信息可以表示為

(15)式中，Ci，n是協(xié)作節(jié)點i和n的協(xié)作信息的2×2的EFIM，其中

(16)式中:αi，n是來自協(xié)作的測距信息系數;Qi，n是來自協(xié)作的測距信息矩陣;νi，n是Ci，n的特征值，同時代表協(xié)作節(jié)點i和協(xié)作節(jié)點n之間的協(xié)作信息強度。因此，協(xié)作定位的整體EFIM為

則SPEB與EFIM之間的關系為

通過以上理論分析，可以看出等效費歇爾信息保留了計算平方位置誤差界的位置矢量P，其優(yōu)勢在于縮小了計算的復雜度，每個未知節(jié)點的信息量由原來的NU×NU降低為2×2的低維度，這樣所有節(jié)點的維數就由原來的(NU×NU)×(NU×NU)改為2NU×2NU。

3 仿真結果比較與分析

模擬實際火災場景的協(xié)作定位系統(tǒng)示意圖如圖1所示，圖1中被困人員即協(xié)作網絡中的未知節(jié)點，部分被困人員無法獲取來自固定信標節(jié)點的定位信息，但是可以通過被困人員之間的協(xié)作得到額外的來自被困人員之間的定位信息，從而提高定位精度。

被困人員在整個參考區(qū)域內是非均勻分布的，信標節(jié)點在鏤空區(qū)的4個頂點并沿著虛線向區(qū)域頂點移動，信標節(jié)點每到一個位置，測一次SPEB值，分析比較不同位置得到的SPEB值，進而確定信標節(jié)點的最優(yōu)位置。

圖1 實際場景中的協(xié)作系統(tǒng)示意圖Fig.1 Cooperative system in actual scene

3.1 影響SPEB的關鍵參數

仿真首先將所有的信標節(jié)點的等效費歇爾信息矩陣的特征值信息設為η=1，μ=1，β=0或η=2，μ=1，β=0，以及協(xié)作節(jié)點所有的協(xié)作信息強度統(tǒng)一假設為ν=0.3或ν=0.7。如圖2所示可以看出，隨著協(xié)作節(jié)點個數增多，SPEB下降，定位精度提高;隨著協(xié)作信息強度ν的增加，SPEB下降，即協(xié)作節(jié)點之間越強的協(xié)作，獲得到越好的定位性能。圖2以后的仿真，采用協(xié)作信息強度 νi，n∝1/d2i，n進行仿真分析。

圖2 SPEB隨協(xié)作信息強度變化的關系圖Fig.2 Relationship between ν and SPEB

3.2 實際場景1

考慮不規(guī)則場景，如圖3所示為實際場景1的節(jié)點分布，不規(guī)則十二邊形實線區(qū)域為仿真場景區(qū)域，考慮很多商場等類似建筑中間為鏤空區(qū)域，這里假設中間虛線方形區(qū)域為鏤空，即方形區(qū)域內無人員分布。被困人員即未知節(jié)點在整個十二邊形實線參考區(qū)域內是非均勻分布的。4種信標節(jié)點位置的布置方式有:布置1，三角形圖標(信標節(jié)點個數為4);布置2，方形圖標(信標節(jié)點個數為4);布置3，三角形圖標和正方形圖標(信標節(jié)點個數為8);布置4，圓形和正方形(信標節(jié)點個數為8)。用d標注信標節(jié)點位置與中心點位置間的關系。假設考慮未知節(jié)點個數為40，且隨機分布在非鏤空區(qū)域(即在不規(guī)則參考區(qū)域內是非均勻分布的)，并且被困人員之間可以協(xié)作。

圖3 實際場景1的節(jié)點分布Fig.3 Distribution of nodes in scene 1

圖4為d=6時采用蒙特-卡羅法得到的被困人員數量與SPEB之間的關系圖。

圖4 場景1下SPEB與被困人員個數的關系Fig.4 SPEB with respect to the number of trapped people in scene 1

由圖4可以看出以下幾點。

1)隨著橫坐標增大，無協(xié)作情形下每種信標節(jié)點分布模式的SPEB值均無變化，而協(xié)作情形下的4種信標節(jié)點布置方式的平方位置誤差界都逐漸下降，定位精度越來越好，可以看出被困人員之間的協(xié)作可以提高定位精度。

2)縱向比較布置1－4，可以看出隨著信標節(jié)點個數的增多，平方位置誤差界下降，精度越來越好。

3)比較布置1－4，可以看出，在d=6時布置1擁有比布置2更低的SPEB，即更好的定位精度;同樣，布置3擁有比布置4更低的SPEB。這是由于在4個信標節(jié)點情況下，布置1中的信標節(jié)點覆蓋區(qū)域中所含的被困人員數比布置2中的信標節(jié)點覆蓋區(qū)域中所含的被困人員數多;同樣，在8個信標節(jié)點的情況下，布置3中的信標節(jié)點覆蓋區(qū)域要比布置4中的信標節(jié)點覆蓋區(qū)域好。

圖5為圖3的仿真環(huán)境基礎上通過蒙特－卡羅法得到的SPEB隨d變換的關系。

圖5 場景1下SPEB與d的關系曲線Fig.5 SPEB with respect to d in scene 1

據仿真圖5可以看出以下幾點。

1)對于所有信標節(jié)點的布置來說，隨著d的增大，SPEB先減小后增大。由此可以看出實際非均勻場景中，SPEB并非隨著d線性變化，而是存在一個合適的位置使得定位精度達到最優(yōu)。所以信標節(jié)點的布置需要考慮一個最佳距離。這一現象在理論上也是可以推斷的，因為d太小，信標節(jié)點覆蓋到未知節(jié)點的范圍狹窄，定位效果差，d逐漸增大會提高定位精度，但同時越遠的距離也意味著越大的路徑損耗，距離增大到一定程度時，定位效果又開始變差。

2)當d=0時，定位誤差很大，這是由于對于每一個未知節(jié)點來講，4個或8個信標節(jié)點都是來自同一個方向，即獲得定位信息少，導致了定位精度變差。所以實際場景中的信標節(jié)點的布置要分散開來，集中分布的信標節(jié)點會導致定位信息利用率變低，從而浪費資源。

3)由圖5可以看出，兩種8個信標節(jié)點的布置定位效果都要比4個的布置情況更優(yōu)。所以實際場景中信標節(jié)點的個數當然是越多越好，但是綜合考慮成本問題，可以選擇在規(guī)定誤差范圍內的最少信標節(jié)點布置個數。另外，比較布置1和布置2可以看出:當d＜8(近似值，以下類似)時，布置1優(yōu)于布置2;當d＞8時，布置2優(yōu)于布置1。4個信標節(jié)點布置的情形下，布置1大約在d=6時SPEB最低;d＜9時，布置3優(yōu)于布置4;d＞9時，布置4優(yōu)于布置3。8個信標節(jié)點布置的情形下，布置4在d=10時最優(yōu)。由此可以看出實際場景布置中，若選定了信標節(jié)點的個數，布置節(jié)點的位置和距離要根據多次模擬才能綜合得出最優(yōu)布局。

3.3 實際場景2

和實際場景1類似，考慮不規(guī)則場景，如圖6所示為實際場景2的節(jié)點分布。外圍不規(guī)則九邊形實線區(qū)域為所考慮的場景形狀，中間三角黑色虛線圍成的區(qū)域為鏤空。同樣，未知節(jié)點分布在周圍3個區(qū)域，可見不規(guī)則九邊形實線參考區(qū)域內未知節(jié)點分布是非均勻分布的。根據建筑形狀，這里考慮3種信標節(jié)點的布置方式:布置1:三角形圖標(信標節(jié)點個數為3);布置2:正方形圖標(信標節(jié)點個數為3);布置3:三角形圖標和方形圖標(信標節(jié)點個數為6)，所有信標節(jié)點的位置關系用圖6中D表示。本次假設未知節(jié)點布置個數為30，且未知節(jié)點之間可以協(xié)作。

圖6 實際場景2的節(jié)點分布Fig.6 Distribution of nodes in scene 2

圖7同樣采用蒙特－卡羅模擬法，其仿真結果表明:對于實際場景2來說，所有信標節(jié)點的布置仍是隨著D的增大，SPEB先減小后增大;當D=0時，對于每個協(xié)作點來說，3個或6個信標節(jié)點都是來自同一個方向，即獲得定位信息少，導致了大的SPEB值;且6個信標節(jié)點的布置要優(yōu)于3個信標節(jié)點的布置;當D＜14(約值，以下類似)時，布置1優(yōu)于布置2，D＞14時，布置2優(yōu)于布置1。對于此模擬場景，若確定信標節(jié)點個數為3，且考慮信標節(jié)點布置在參考場景內時，最優(yōu)布置為布置1，因為在D＜14的整個區(qū)間內，布置1相較布置2來說，其SPEB值比較低。

分析比較實際場景1和實際場景2可以看出，由于建筑結構不同，選用的信標節(jié)點個數與布置方式也不同，因此信標節(jié)點的布置要考慮匹配場景的結構與形狀，從而避免多余的開銷，提高信標節(jié)點位置信息的利用率。

總之，布置信標節(jié)點要綜合考慮實際場景、定位精度、成本等因素。根據不同的場景選擇最有效的節(jié)點個數以及最優(yōu)的布局，從而解決實際場景下的精確定位問題，提高搜索與營救的效率。該方法也適用于無固定信標節(jié)點布置的場景，給攜帶信標設備的消防員提供最優(yōu)的參考信源位置，進而解決被困人員定位的問題。

圖7 場景2下SPEB隨D的變化Fig.7 SPEB with respect to D in scene 2

4 結束語

在協(xié)作定位模型的基礎上分析了協(xié)作定位精度基本限問題，并通過等效費歇爾信息矩陣來計算SPEB。主要研究了實際搜索與營救系統(tǒng)場景中定位問題，為提高定位信息的利用率，我們將被困人員賦予協(xié)作能力。以SPEB作為協(xié)作定位精度性能的參考基準，考慮實際場景中未知節(jié)點分布不均勻的情況，仿真部分通過移動信標節(jié)點在不同位置得到的SPEB值，確定了信標節(jié)點的布局對定位精度下界的影響，并由此推出實際場景中信標節(jié)點布置的參考因素。

［1］潘延明，盧艷娥，駱艷卜，等.穩(wěn)健的GPS干擾抑制方案研究［J］.重慶郵電大學學報:自然科學版，2012，24(3):330-334.

PAN Yanming，LU Yan’e，LUO Yanbo，et al.A research of robust GPS anti-jamming scheme［J］.Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications:Natural Science Edition，2012，24(3):330-334.

［2］PATWARI N，ASH J N，KYPEROUNTAS S，et al.Locating the nodes:cooperative localization in wireless sensor networks［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2005，22(4):54-69.

［3］WANG Jun，CABRIC D.A Cooperative DOA-based Algorithm for Localization of Multiple Primary-Users in Cognitive Radio Networks［C］//Global Communications Conference(GLOBECOM).Anaheim:IEEE，2012:1266-1270.

［4］MARIANI A，KANDEEPAN S，GIORGETTI A，et al.Cooperative Weighted Centroid Localization for Cognitive Radio Networks［C］//International Symposium on Communications and Information Technologies(ISCIT).Gold Coast，QLD:IEEE，2012:459-464.

［5］ZANELLA A，BARDELLA A.RSS-Based Ranging by Multichannel RSS Averaging［J］.IEEE Wireless Communications Letters，2014，3(1):10-13.

［6］HON T H.Direction-of-arrival(DOA)estimation in the presence of array signal coupling［C］//International Conference on Information，Communications and Signal Processing(ICICS).Singapore:IEEE，2011:1-4.

［7］WANG Jun，CHEN Jianshu，DANIJELA C.Cramer-Rao Bounds for Joint RSS/DoA-Based Primary-User Localization in Cognitive Radio Networks［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2013，12(3):1363-1375.

［8］周非，陳庭盈，范馨月.基于AOA-TOA重構的單站定位算法［J］.重慶郵電大學學報:自然科學版，2012，24(2):222-226.

ZHOU Fei，CHEN Tingying，FAN Xinyue.Algorithm of single station location based on AOA-TOA reconstruction［J］.Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications:Natural Science Edition，2012，24(2):222-226.

［9］WIN M Z，SHEN Yuan，WYMEERSCH H.On the Position Error Bound in Cooperative Networks:A Geometric Approach［C］//International Symposium on Spread Spectrum Techniques and Applications.Bologna，Italy:IEEE，2008:637-643.

［10］LI Shen，ZHAN Andong，WU Xiaobing，et al.ERN:Emergence Rescue Navigation with Wireless Sensor Networks［C］//International Conference on Parallel and Distributed Systems(ICPADS).Shenzhen，China:IEEE，2009:361-368.

［11］BACIM F，RAGAN E D，STINSON C，et al.Collaborative

Navigation in Virtual Search and Rescue［C］//IEEE Symposium on 3D User Interfaces(3DUI).Costa Mesa，CA:IEEE，2012:187-188.