應(yīng)用隨機模擬試驗進(jìn)行概率統(tǒng)計研究性學(xué)習(xí)一例

楊玲香　姚斌

摘要：本文根據(jù)概率統(tǒng)計課程的特點，給出了在課程教學(xué)中應(yīng)用隨機模擬試驗進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的一個案例，既加深了學(xué)生對書本知識的理解，也鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：模擬試驗；概率統(tǒng)計；研究性學(xué)習(xí)

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）07-0167-02

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是大學(xué)生必修的公共數(shù)學(xué)課之一，它是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用。與其他數(shù)學(xué)學(xué)科不同的是，概率論與數(shù)理統(tǒng)計基本概念和思想的深入理解占有極大的比重，解題方法和技巧并不多。而作為概率統(tǒng)計主要研究對象的隨機現(xiàn)象又特別適合進(jìn)行統(tǒng)計模擬。因此，筆者通過信息技術(shù)開展課程研究性學(xué)習(xí)，利用計算機及相應(yīng)的編程軟件對隨機現(xiàn)象進(jìn)行模擬，制作模擬試驗，讓學(xué)生親自動手實踐，可以將課程基礎(chǔ)知識直觀化，增加課程的趣味性，加深學(xué)生對基本概念的理解，取得良好的教學(xué)效果。

一、應(yīng)用拋硬幣試驗講解概率的頻率定義

在講解隨機事件的概率這一節(jié)內(nèi)容時，涉及到頻率的穩(wěn)定性講解。課堂開始時，首先讓學(xué)生回憶中學(xué)物理上有關(guān)頻率的定義。同學(xué)們很快就異口同聲地說出：單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。接著，告訴同學(xué)們數(shù)學(xué)上也有關(guān)于頻率的定義，即在相同的條件下將試驗重復(fù)進(jìn)行n次，在n次試驗中，事件A發(fā)生了fA次，fA稱為事件在這n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)，而比值Rn（A）=fA/n （1） 就稱為事件A在這n次試驗中發(fā)生的頻率。

講解了這個概念以后，可以讓學(xué)生來觀察一個簡單的模擬試驗——拋硬幣試驗。在模擬之前，先讓學(xué)生想一想，如果拋一枚硬幣多次，觀察正反面出現(xiàn)的次數(shù)。那么，正面出現(xiàn)的概率應(yīng)為多少？學(xué)生立馬就能通過直覺及中學(xué)所學(xué)的簡單概率知識就能答出：0.5。

接著，請某位同學(xué)運用拋硬幣試驗軟件進(jìn)行模擬，讓學(xué)生從直觀上感受不同試驗次數(shù)時正面出現(xiàn)的頻率。

再接著，我說歷史上有很多著名的學(xué)者也都做過拋硬幣試驗。他們做的結(jié)果如表1。

顯然，這些學(xué)者所做的結(jié)果也體現(xiàn)了我們所得出的結(jié)論。

有了這些試驗結(jié)果做鋪墊，我自然地引出頻率穩(wěn)定性的概念及概率的頻率定義：當(dāng)試驗重復(fù)次數(shù)n很大時，頻率會穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，我們稱這個常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值，就是我們所求的概率。

頻率方法提供了概率的一個可供想象的具體值，并且在試驗重復(fù)次數(shù)較大時，可用于給出頻率的一個近似值。這個概念有兩個關(guān)鍵部分，一個是試驗的重復(fù)次數(shù)要足夠大，另一個是要得出頻率的穩(wěn)定值。

概念里的試驗重復(fù)次數(shù)足夠大，這是一個很模糊的字眼，到底多少次是試驗次數(shù)足夠大，15000次算不算足夠大呢？如果設(shè)拋硬幣試驗的n=15000，統(tǒng)計正面出現(xiàn)的頻率，讓學(xué)生將這一試驗重復(fù)4次，記錄其結(jié)果如表2。

而把概率定義成頻率的穩(wěn)定值，也就是通過頻率來估計概率，可即使在相同的條件下重復(fù)多次試驗，得到的頻率值都是不一樣的，這是由隨機性所決定的，但多次試驗時頻率具有一定的穩(wěn)定性。

這個概念看似簡單，但背后卻隱藏著不少疑點，如果僅僅將概念在課堂上簡單一講便進(jìn)入到后續(xù)內(nèi)容，學(xué)生將會把這些問題遺忘，最終導(dǎo)致課程沒學(xué)到位。但這些疑點在本次課程中也無法從根本上解決。因此，課程內(nèi)容講完后，我便給同學(xué)們留了一道家庭作業(yè)，就是希望同學(xué)們能夠通過所學(xué)的VB程序設(shè)計語言，自己開發(fā)驗證頻率穩(wěn)定性的拋硬幣模擬試驗，并在實踐中思考概念的疑點。沒想到，在第二次上課時，就有兩組同學(xué)主動告訴我已完成了模擬試驗。兩組同學(xué)的拋硬幣試驗，雖然基本原理一樣，但有一個學(xué)生設(shè)計的相對比較簡單，主要是輸入次數(shù)，然后顯示正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率。另一位同學(xué)的界面就相對豐富一些，既包含了上述這些內(nèi)容，還包含了柱狀圖，餅狀圖等基于統(tǒng)計學(xué)的一些表示方法。

一個簡單的模擬拋硬幣試驗在同學(xué)們的手中可以變得如此豐富多彩，也讓我看到了學(xué)生們的求知欲和渴求創(chuàng)新的火花。但是，對于概念的疑點，同學(xué)們似乎都沒有進(jìn)行深層次的挖掘。

二、模擬試驗引出大數(shù)定律，解釋其理論依據(jù)

在講到大數(shù)定理這一節(jié)的時候，我?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們重溫了概率的頻率定義，并請大家思考，這個概念的理論依據(jù)是什么？頻率與概率到底有什么關(guān)系呢？同學(xué)們表現(xiàn)的很沉默。

1000，10000，m=50。為了節(jié)省時間，我讓每組同學(xué)只做其中一種情況，最后由學(xué)習(xí)委員匯總大家的結(jié)果，后來，我請同學(xué)們觀察表中的結(jié)果是否有什么規(guī)律？很快就有同學(xué)說，隨著試驗次數(shù)的增大，在多次試驗中，正面出現(xiàn)的頻率與概率非常接近。我馬上接話：不錯，這一現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的語言來描述其實就是著名的伯努利大數(shù)定律。

三、中心極限定理給出估計誤差

再次上課時，我便問同學(xué)們，上節(jié)課給大家布置的散點圖是否具有規(guī)律性？有同學(xué)說散點圖有點像正態(tài)分布的曲線。我接著說，同學(xué)們的理解是對的，下面我們就來介紹關(guān)于這一現(xiàn)象的棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理：

這個關(guān)系式給出了用頻率估計概率的誤差。從這個誤差計算公式中可以看出，試驗次數(shù)n的大小決定著估計的誤差大小，隨著n的增大，誤差會逐漸減小?？捎糜诮鉀Q用頻率估計概率的計算問題。所以在不同的實際問題中，試驗次數(shù)n不是固定的，應(yīng)根據(jù)問題對精度的要求來確定n的最小取值。至此，這一概念的疑點才算是徹底解決了。

以往在講解大數(shù)定理和中心極限定理的內(nèi)容時，我們雖然說這些內(nèi)容是個概率統(tǒng)計的精華部分，但大多數(shù)學(xué)生都覺得這些只是些枯燥的定理。在講解上，由于學(xué)時的壓縮，只有2～4學(xué)時的時間。學(xué)生學(xué)過后都不知所以然，更不用說去解決課程前面遺留的問題。本文運用現(xiàn)代信息技術(shù)強大的計算功能，通過編制簡單模擬試驗開展研究性學(xué)習(xí)，把概率論的內(nèi)容從教師的模擬、疑問，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自己實踐驗證，再到后來的討論，引入新內(nèi)容，前后聯(lián)系，課內(nèi)與課外相結(jié)合，既解決了前面內(nèi)容的疑問，又加深了后續(xù)內(nèi)容理論基礎(chǔ)。也為學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)部分打下了堅實的基礎(chǔ)。

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