一致連續(xù)性概念的教學(xué)探討與反思

蘭堯堯

摘要：函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的概念，刻畫了函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)。本文主要探討一致連續(xù)的概念教學(xué)，并對(duì)教學(xué)實(shí)際進(jìn)行了反思。

關(guān)鍵詞：一致連續(xù)；逐點(diǎn)連續(xù)；直觀教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）16-0229-02

一、引言

函數(shù)的一致連續(xù)性是分析數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，刻畫的是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)。在函數(shù)的可積理論、積分（弧長(zhǎng)公式）、函數(shù)序列以及含參變量積分等一系列問題的證明過程中，一致連續(xù)性都起到了關(guān)鍵作用，沒有這個(gè)概念，這些結(jié)論都無法得到。因此，深刻理解一致連續(xù)的概念對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)都是至關(guān)重要的。另一方面，就數(shù)學(xué)知識(shí)本身的拓展與深化而言，從逐點(diǎn)連續(xù)到一致連續(xù)，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想與方法，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)與思維都是裨益良多的。

二、借助幾何直觀，類比教學(xué)

數(shù)學(xué)分析中幾個(gè)的“一致性”概念都比較抽象，不易理解。“一致連續(xù)”是學(xué)生遇到的第一個(gè)“一致性”概念，因此，利用幾何直觀引入概念，正本清源，同時(shí)注意將逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)進(jìn)行類比，讓學(xué)生順利跨越這“第一道坎”，對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。

在課堂教學(xué)中，我們尊重學(xué)生認(rèn)知事物的基本規(guī)律，使學(xué)生首先形成一致連續(xù)概念的表象，再通過表象抽象出一致連續(xù)概念，通過練習(xí)加強(qiáng)概念的理解，并由教師介紹一致連續(xù)在后續(xù)課程中的作用，使學(xué)生對(duì)該概念的重要性有初步的印象。

本課時(shí)的教學(xué)由下面四個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：

第一環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}提出。

函數(shù)的逐點(diǎn)連續(xù)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，而一致連續(xù)性則是一種更強(qiáng)的連續(xù)性，刻畫的是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)。

問題一：函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)（逐點(diǎn)連續(xù)）的本質(zhì)是什么？（ε-δ定義）

一致連續(xù)性對(duì)于學(xué)生而言，高度抽象，難以理解，學(xué)生對(duì)為什么要引入該概念感到困惑。首先，復(fù)習(xí)函數(shù)逐點(diǎn)連續(xù)的概念，溫故知新，通過類比，引出更強(qiáng)的連續(xù)性——一致連續(xù)。

問題二：逐點(diǎn)連續(xù)定義中的δ與ε、x都有關(guān)，隨ε、x的變化而變化，啟發(fā)學(xué)生，若取δ=■{δ（ε，x）}>0，會(huì)得到什么樣的結(jié)論？即是否存在公共的δ？（幾何直觀，多媒體演示）

通過對(duì)逐點(diǎn)連續(xù)地分析，總結(jié)出其本質(zhì)——不要求存在公共的δ，使得函數(shù)在每一點(diǎn)連續(xù)、區(qū)間上各點(diǎn)之間的連續(xù)性不需要進(jìn)行比較，這是“自掃門前雪”，也正是逐點(diǎn)連續(xù)，還是函數(shù)在區(qū)間上局部性質(zhì)的本義。那么，我們要研究區(qū)間上函數(shù)的整體性質(zhì)需要什么樣的連續(xù)性呢？

基于幾何直觀的教學(xué)，有助于學(xué)生對(duì)抽象概念本質(zhì)的理解，“看圖識(shí)字”可以使學(xué)生記得牢，學(xué)得活。

第二環(huán)節(jié)：引出定義。

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）為定義在區(qū)間上的函數(shù)。若對(duì)任意ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對(duì)任何x■，x■∈I，只要x■-x■<δ，就有f（x■）-f（x■）<ε.

PPT演示（幾何直觀）“不一定連續(xù)”：

如果函數(shù)劇烈震蕩，非?！岸浮?，或者函數(shù)曲線幾乎垂直于x軸時(shí)，將導(dǎo)致δ=■{δ（ε，x）}=0，此時(shí)函數(shù)不一致連續(xù)。

定義：（不一致連續(xù)）設(shè)函數(shù)y=f（x）為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在ε■>0，對(duì)任意δ>0，存在x■，x■∈I，雖然x■-x■<δ，但f（x■）-f（x■）≥ε■.

第三環(huán)節(jié)：定義運(yùn)用。

例1.證明函數(shù)y=■在[0，+∞）上是一致連續(xù)的。

本例借助幾何直觀，尋求■{δ（ε，x）}，有助于學(xué)生掌握公共的δ的取法。

例2.證明函數(shù)y=■在（0，1）上不一致連續(xù)（盡管其在（0，1）上逐點(diǎn)連續(xù)）。

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)。

教師總結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了一致連續(xù)的概念，通過與逐點(diǎn)連續(xù)的類比，我們得到：（1）一致連續(xù)必連續(xù)，反之不成立（見例2）；（2）一致連續(xù)是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，而逐點(diǎn)連續(xù)是局部性質(zhì)。

在今后的學(xué)習(xí)中我們將看到一致連續(xù)所發(fā)揮的重要作用，如在函數(shù)的可積理論、積分（弧長(zhǎng)公式）、函數(shù)序列以及含參變量積分等一系列問題的證明過程中，一致連續(xù)都起到了重要作用，沒有這個(gè)概念，這些結(jié)論都無法得到。

三、教學(xué)反思

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不是一成不變的，在不同的社會(huì)背景下，所需達(dá)到的目的也不同，他總結(jié)了五點(diǎn)：①掌握數(shù)學(xué)的整個(gè)體系；②學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用；③數(shù)學(xué)作為思維的訓(xùn)練；④數(shù)學(xué)作為篩選的工具；⑤培養(yǎng)解決問題的能力。由于授課對(duì)象為師范生，我們將課程定位在思維訓(xùn)練與培養(yǎng)解決問題的能力上，因此，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們更注重思維發(fā)生的過程，重視一致連續(xù)性概念的形成過程，結(jié)合幾何直觀，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得抽象問題形象化，讓學(xué)生充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值與思維價(jià)值。

（一）教學(xué)方法反思

本次課主要采用問題驅(qū)動(dòng)結(jié)合講授法進(jìn)行教學(xué)，以恰當(dāng)?shù)膯栴}為紐帶，結(jié)合幾何直觀，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，指導(dǎo)學(xué)生類比探究形成一致連續(xù)性概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生在參與中獲取知識(shí)，發(fā)展思維。

從課堂反饋來看，學(xué)生在問題鏈的引導(dǎo)下，能夠主動(dòng)思考并回答問題，一致連續(xù)的概念在解決問題的過程中被發(fā)現(xiàn)、被吸收、被應(yīng)用。此外，師生、生生共同解決問題的過程也是師生情感交流、融洽課堂氣氛的過程。不過，更為理想的狀態(tài)是能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并提出問題，而不是由教師“包辦”其思維與推理，使得學(xué)生囿于設(shè)定好的問題與情境之中。另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生提出觸及概念本質(zhì)的問題，避免天馬行空不著邊際的發(fā)散思維，從而降低課堂的有效性，這是采用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法尤其需要引起注意的地方，也促使我在今后的教學(xué)中不斷反思與改進(jìn)。

（二）教學(xué)過程反思endprint

整個(gè)教學(xué)過程體現(xiàn)了教為主導(dǎo)，學(xué)為主體。課堂圍繞教學(xué)重點(diǎn)展開，教學(xué)目標(biāo)得到了實(shí)現(xiàn)，難點(diǎn)得到了化解。另一方面，通過學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)與教師的教學(xué)活動(dòng)，總結(jié)了今后值得注意與改進(jìn)的地方，具體分析如下。

1.教學(xué)目標(biāo)。本課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生理解一致連續(xù)與逐點(diǎn)連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系；掌握利用定義驗(yàn)證函數(shù)的一致連續(xù)性；提高類比歸納、抽象概括、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力。從課堂實(shí)施情況看，借助幾何直觀，提出問題之后，學(xué)生能通過與逐點(diǎn)連續(xù)定義的類比歸納出一致連續(xù)性的本質(zhì)，進(jìn)而抽象出其ε-δ定義，并運(yùn)用定義證明函數(shù)的一致連續(xù)性。總之，本課的教學(xué)目標(biāo)得到了實(shí)現(xiàn)。

2.教學(xué)重難點(diǎn)。本課的重點(diǎn)是一致連續(xù)性概念，難點(diǎn)是一致連續(xù)與逐點(diǎn)連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系。利用定義驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性，從課堂實(shí)施情況看，教學(xué)過程緊緊圍繞教學(xué)重點(diǎn)展開，從問題提出→引出定義→定義應(yīng)用→課堂小結(jié)，環(huán)環(huán)相扣，凸顯重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)一致連續(xù)這一抽象概念有了較好的理解。數(shù)學(xué)分析中幾個(gè)“一致性”概念都是比較抽象的、不易理解的，“一致連續(xù)”是學(xué)生遇到的第一個(gè)“一致性”概念，因此在本次課中，學(xué)生順利跨越了這“第一道坎”，這為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

3.學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。思維活躍，積極思考教師提出的問題，充分調(diào)動(dòng)自己的原有知識(shí)解決問題，主動(dòng)參與討論、交流。不過，在運(yùn)用定義證明函數(shù)的一致連續(xù)性時(shí)，部分學(xué)生對(duì)δ的選取無從下手，盡管知道利用反推的方法進(jìn)行δ的選取，但在不等式放縮時(shí)遇到了問題，無法順利使用一些常用的技巧，這與學(xué)生原有的基礎(chǔ)有關(guān)，也與課后練習(xí)不夠有關(guān)。

4.教師的教學(xué)活動(dòng)。精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，對(duì)學(xué)生的回答給予了肯定與鼓勵(lì)，注重保護(hù)學(xué)生的積極性。教學(xué)基本是在教師的問題引導(dǎo)下，以學(xué)生的主動(dòng)探究為主，一步一步接近概念，教師對(duì)課堂的調(diào)控有自己的考慮，做到了有計(jì)劃、有目的的進(jìn)行教學(xué)。但整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生循著教師的思路考慮問題，沒有自己提出問題，課堂活動(dòng)止于教師問、學(xué)生答，在今后的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，給學(xué)生創(chuàng)造提出問題的機(jī)會(huì)和時(shí)間，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力。

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！边@與Freudenthal的教育理念相契合，是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)的基本理念，希望學(xué)生能從課堂中切身感受到“冰冷的”定義定理之下藏著的“火熱的”思考，將數(shù)學(xué)作為思維的訓(xùn)練工具，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。另一方面，由于授課對(duì)象為師范方向的學(xué)生，他們當(dāng)中的大部分日后將會(huì)走上講臺(tái)，傳道、授業(yè)、解惑，因此掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與背景、深刻理解其思想與方法就顯得更為重要了。endprint