行列式的計(jì)算方法小結(jié)

孫黎明+許秋濱

摘 要 文章從行列式的定義出發(fā)，通過實(shí)例來介紹常用的行列式求解的方法如定義法、三角行法、歸一法、降階法，加邊法、數(shù)學(xué)歸納法等。

關(guān)鍵詞 行列式 計(jì)算 數(shù)學(xué)歸納法

中圖分類號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.11.022

Calculation Method Summary of Determinant

SUN Liming， XU Qiubin

（College of Science， Nanjing Audit University， Nanjing， Jiangsu 211815）

Abstract Starting from the definition of the determinant， to introduce common methods for solving the determinant as defined in law， triangle line method by way of example， normalization， reduction method， plus side method， mathematical induction， etc.

Key words determinant; calculation; mathematical induction

行列式的計(jì)算是線性代數(shù)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容。行列式的計(jì)算有一定的規(guī)律和技巧可尋。本文通過一些實(shí)例來對常用的計(jì)算行列式的方法進(jìn)行總結(jié)，通過分析行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來找到解決它們的方法。

計(jì)算行列式的總體思想。行列式總體來分有兩種類型：（1）低價(jià)的行列式;（2）高階的行列式。

對低價(jià)的處理方式，直接應(yīng)用行列式的定義或性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算。高階的處理方式形式多樣，我們重點(diǎn)來看這部分內(nèi)容。

在計(jì)算行列式中，通過適當(dāng)?shù)姆椒?，使行列式里面含有盡可能多的零，越多越好。下面來具體討論下行列式的計(jì)算方法。

1 定義法

按某行（列）展開的定義。

= ?+ ? + … + ? =

例1 設(shè)，求

解：

分析：定義法比較明了，直接應(yīng)用定義來操作。

2 化三角形的方法

利用行列式的定義和性質(zhì)把行列式轉(zhuǎn)化成上三角形式或下三角形式，形式如下：

（1） ? ? ? ? （2）

例2

解：

3 歸一法

元素排列有規(guī)則的 ?階行列式，每行（列）元素之和相等，把所有的列（行）都加到第一列（行），然后利用定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

例3 計(jì)算 解行列式

解：

例4

解：

4 降階法

運(yùn)用行列式的定義和相關(guān)理論把高階行列式轉(zhuǎn)化為低價(jià)行列式來進(jìn)行計(jì)算。

例5 計(jì)算階行列式

解：根據(jù)行列式的定義，將按第一列展開，則

5 加邊法

在原行列式的基礎(chǔ)上，增加一行一列且保持行列式的值不變，增加的元素一般為0和1構(gòu)成，稱為加邊法。

例6 計(jì)算 階行列式

解：

從第二行開始，每一行都減去第一行得

若劃去第一行和第一列得到是一個(gè)對角行列式，如果能把第一列的-1 消去，那么行列式就得到求解。

從第二列開始，將各列的（ = 1，2，…，）倍加到第一列

6 遞推法

把行列式通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為同樣形式和比其階數(shù)更低的行列式，從而建立遞推公式，求出原行列式的值。

例7 計(jì)算階行列式

解：將按第一行展開得 = 2

推得 = ?= … = ?= 1

從而 = 1 + ?= 2 + ?= … = ?+ ?= ?+ 1

7 拆行（列）法

將行列式的某行（列）寫成兩個(gè)（列）或多個(gè)元素之和，從而將行列式分成兩個(gè)行或多個(gè)行列式進(jìn)行計(jì)算的方法，稱為拆行（列）法。

例8 計(jì)算階行列式

解（1）若 = ， = （ + （））

（2）若 ≠ ，把分成兩個(gè)行列式之和

（1）

（2）

（1）€祝ǎ？）（）得 =

8 數(shù)學(xué)歸納法

利用自然數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)歸納法來進(jìn)行計(jì)算，常用于行列式值的證明。

例 9 證明：

證明：

當(dāng) = 1時(shí)， = ，左邊等于右邊，結(jié)論成立。

當(dāng) = 2時(shí)，，結(jié)論成立。

假設(shè)對階數(shù)小于的行列式，結(jié)論都成立，即 = 。

對階數(shù)為的行列式，按最后一列展開有

= 2

= 2（）（）

= 2（）[（）]

= （）（）

=

故對一切結(jié)論都成立。

9 范德蒙行列式法

利用范德蒙行列式計(jì)算行列式的值。

例10 計(jì)算階行列式

解：引入變量使之變成范德蒙行列式的形式

（）是關(guān)于的次多項(xiàng)式，的系數(shù)為與（）中系數(shù)比較得。

10 析因子法

行列式中含有變量，那么此時(shí)行列式為一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式（），對行列式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，求出多項(xiàng)式的互素的一次因式，使得（）與因式乘積（）下列關(guān)系成立（） = （），從而求得 = （）。

例11 計(jì)算行列式

解：為關(guān)于的多項(xiàng)式（）當(dāng) = €？時(shí)

當(dāng) = 時(shí)（）= 0。

從而多項(xiàng)式（）的因式為，，，。從行列式中可知多項(xiàng)式為4次多項(xiàng)式，故 = （）（）（）（）。

令 = 0， ?= ，求得 = ，

故 = （）（）（）（）。

行列式的形式多種多樣，方法比較多，但是只要掌握計(jì)算行列式的總體思想，根據(jù)具體問題具體對待，仔細(xì)觀察行列式構(gòu)造的特點(diǎn)，做適當(dāng)?shù)淖冃位驇追N方法的總合來進(jìn)行計(jì)算，造出更多的零，轉(zhuǎn)化成已知的方法，從而進(jìn)行求解。

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