淺談高中數(shù)學(xué)函數(shù)解析式的求法

金昌歡

(江西省新建區(qū)第一中學(xué)，江西 南昌 330100)

淺談高中數(shù)學(xué)函數(shù)解析式的求法

金昌歡

(江西省新建區(qū)第一中學(xué)，江西 南昌 330100)

函數(shù)的解析式即把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示。函數(shù)解析式的求法既是高中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，又是高考重點考察的內(nèi)容之一。常見的高中函數(shù)解析式的求法大概分為待定系數(shù)法、換元法、配湊法、代入法、構(gòu)造方程法、賦值法、遞推法這七種解題方法。不同的解題方法適用于不同類型的函數(shù)解析式求法的題目。因此我們應(yīng)該通過系統(tǒng)性的總結(jié)來把高中數(shù)學(xué)函數(shù)解析式不同條件下的的求法進行分類匯總，以便學(xué)生能夠更好的歸納總結(jié)高中函數(shù)解析式的求法，并學(xué)以致用。本文從高中函數(shù)解析式的多樣的解題思路對于解題的意義和高中函數(shù)解析式的幾種常見的求法兩方面入手，并結(jié)合一些經(jīng)典的例題，對高中函數(shù)解析式的求法進行系統(tǒng)歸納的總結(jié)，希望總結(jié)成果能對廣大教師的教學(xué)起到一定的參考作用。

高中數(shù)學(xué)；函數(shù)解析式；求法；待定系數(shù)法；換元法；配湊法；賦值法

一、高中函數(shù)解析式的多樣的解題思路對于解題的意義

(一)不同的函數(shù)題目類型選擇不同的解題方法可以節(jié)約解題時間，提高解題效率。

高中函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其出題方法是多樣化的。在一道高中函數(shù)解析式類型的題目中，可能存在很多解題方法，但他們的解題結(jié)果都是殊途同歸的，然而單從解題過程來看，不同的解題方法解題過程是不一樣的，有繁有簡。并且高考數(shù)學(xué)考試的時間是有限的、固定的，每一分每一秒都是十分寶貴的，如何在有限的考試時間內(nèi)發(fā)揮最大的效益，是每位教師、每位學(xué)生值得深思的問題。因此，在多樣化的解題方法中，根據(jù)題目的類型選擇合適的解題方法、簡潔的解題思路顯得尤為重要，這樣既可以保質(zhì)保量的完成題目，又能節(jié)省解題時間，從整體上提高了做題的效率，這樣一來就有可能在高考中脫穎而出，取得好成績。

(二)高中函數(shù)解析式的多樣的解題思路可以提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)探究能力和合作交流能力。

多樣的解題思路可以讓學(xué)生學(xué)會從不同的角度去看待問題，促使學(xué)生形成多樣化解決問題的意識。并且在學(xué)習(xí)多樣化的解題方法時，學(xué)生勢必會通過自己的獨立思考而獲得一些解決問題的方法，也正因如此，使得學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和自主探究能力不斷提升。同時，學(xué)生通過對各自解題方法進行比較、討論，使解題方法更為完善，這樣一來又促進了學(xué)生與學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間的合作交流能力的提升。

二、不同求高中函數(shù)解析式題型下的應(yīng)用的不同方法

(一)待定系數(shù)法。

待定系數(shù)法，是一種求未知數(shù)的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。在已知函數(shù)類型或函數(shù)解析式的構(gòu)造時，使用待定系數(shù)法是最為簡捷的方法。

(二)換元法。

換元法是通過引進新的變量，它可以把分散的已知條件聯(lián)系起來，把隱含的條件顯露出來，亦或是可以把條件和結(jié)論聯(lián)系起來。換元法可以將陌生的內(nèi)容變?yōu)槭煜さ男问?，將?fù)雜計算和推證簡單化。換元法一般是用在已知表達式f[g(x)]的解析式，欲求f(x)解析式類型的題目上。大致方法就是令g(x)=t，并反解出x，然后把x帶入f[g(x)]中，求出f(t)，從而求出f(x)。

例如已知函數(shù)f(x-1)=x2-x,求f(x+1)。

分析：因為本題符合已知表達式f[g(x)]的解析式，欲求f(x)解析式類型的題目，因此可以使用換元法

令t=x-1,那么x=t+1，

因為t=x-1,f(x-1)=f(t).x2-x=(t+1)2-(t+1)

所以f(t)=(t+1)2-(t+1)

要求f(x+1),把t換成x+1

即f(x+1)=((x+1)+1)2-((x+1)+1),

f(x+1)=(x+2)2-(x+2)

這樣類型的題目，使用換元法，可以使得解題思維更為清晰，使學(xué)生高考這樣緊張的環(huán)境下，在解題時不出現(xiàn)頭腦混亂的現(xiàn)象，從而提高解題效率。

(三)配湊法。

配湊法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形的技巧，通過配湊找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。配湊法一般是用在已知符合函數(shù)f[g(x)]的表達式，求f(x)的解析式類型的題目上。在解題時需要注意的一點是所求函數(shù)f(x)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g(x)的值域。

(四)賦值法。

人們在解數(shù)學(xué)題時，往往采用邏輯推理的方法，一步一步地尋求必要條件，進行推理，最后得出結(jié)論。這是一種常用的方法。然而有些問題具有特殊性，能根據(jù)其具體情況，合理巧妙的對某些未知數(shù)進行賦值，特別是賦予一些特殊值，如0、1、-1、等，這樣往往能使問題快速巧妙的得到解決。這種方法適用于當(dāng)題中給出的變量較多，且含有“任意”等條件時這樣的題目。

例如已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1，若x2N+，試求f(x)的表達式。

分析：因為本題中已經(jīng)說到“任意”條件，且給出的變量較多，因此可以巧妙的使用賦值的方法。

因此可以令y=1 f(x+1)=f(x)+2x+4

所以f(2)=f(1)+2×1+4

f(3)=f(2)+2×2+4

f(4)=f(3)+2×3+4

依此規(guī)律：

f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4

左邊相加=右邊相加

所以f(x)=x2+3x-3(x∈N+)

由此可見使用賦值法可以快速巧妙的將題目解答出來，但需要注意的是，賦值法不是萬能的，我們需要結(jié)合題目的實際情況進行使用，盲目使用就相當(dāng)于做無用功。

三、結(jié)語

函數(shù)解析式的求法作為高考的重點內(nèi)容，我們必須重視起來。我們應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生通過不斷的學(xué)習(xí)和積累，總結(jié)出針對不同類型題目的不同解題方法，這樣不僅能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作交流的能力，更能使學(xué)生在有限的考試時間中，盡量節(jié)約時間，提高效率，使我們在考試中勝人一籌成為可能。

[1]馬文杰.高一函數(shù)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的實證研究[D].華東師范大學(xué),2014.

[2]張海燕.高中函數(shù)解題教學(xué)的研究[D].湖南師范大學(xué),2012.

[3]白瀟.高中生解決函數(shù)問題審題環(huán)節(jié)的案例分析[D].天津師范大學(xué),2012.

[4]華騰飛.求函數(shù)解析式的幾種方法[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2014,04:60-63.

G633.6

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1671-864X(2015)11-0103-01