一道不等式問(wèn)題的錯(cuò)解引發(fā)的思考

●王榮鑫(邗江中學(xué)江蘇邗江225009)

一道不等式問(wèn)題的錯(cuò)解引發(fā)的思考

●王榮鑫(邗江中學(xué)江蘇邗江225009)

1 問(wèn)題緣起

進(jìn)入高三復(fù)習(xí)階段，學(xué)生在知識(shí)體系趨于完善的同時(shí)也具備了一些基本的解題策略.但有時(shí)仍會(huì)順題而解，落入命題的陷阱，得到錯(cuò)誤的思路，或者選擇了易想而難算的方法，與正確結(jié)果漸行漸遠(yuǎn)甚至背道而馳.羅增儒教授說(shuō)過(guò):“解題愚蠢是與解題智慧相對(duì)照的一個(gè)詞，并且主要用于自己.解法不夠本質(zhì)、付出的解題力量大于標(biāo)準(zhǔn)解法的解題力量，都包含著解題愚蠢.”筆者一直在思考，如何才能讓學(xué)生告別這些“解題愚蠢”?下面以一道不等式問(wèn)題為例，結(jié)合課堂教學(xué)片斷，談一些個(gè)人不成熟的思考.

例1關(guān)于x的不等式x2－ax+2a＜0的解集為A，若集合A中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

(江蘇省連云港市2013屆高三期末考試試題)

本題是填空壓軸題，考查含參不等式問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大.

2 教學(xué)片斷

2.1 錯(cuò)解分析

教師出示例題，學(xué)生作答.由于一元二次不等式是常見(jiàn)題型，學(xué)生下手很快，但大多數(shù)學(xué)生并沒(méi)有得到正確結(jié)果，有些苦苦思索無(wú)從下筆，有些則迷失方向，盲目地在復(fù)雜的計(jì)算中彷徨.巡視中發(fā)現(xiàn)了一類錯(cuò)解，是筆者在備課前沒(méi)有預(yù)料到的，是否仍然按照課前的預(yù)設(shè)進(jìn)行講解，短暫的猶豫之后，筆者決定先讓學(xué)生談?wù)勛约旱南敕?

師:大部分同學(xué)都有了自己的想法，這道題短小精悍，貌似很“善良”，可是下手容易，得手難啊(學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示贊同).現(xiàn)在請(qǐng)生1談?wù)勛约旱南敕?

生1(實(shí)物投影展示):不等式解集非空，則Δ＞ 0，得a＞8或a＜0，解不等式得:(記為x1＜x＜x2).因?yàn)榻饧疉中恰有2個(gè)整數(shù)，2個(gè)整數(shù)之間的“距離”最小是1，恰好有2個(gè)就不會(huì)超過(guò)2，所以1＜|x1－x2|＜2，然后代入解不等式.

師:很好，生1直接解出原不等式，然后“翻譯”轉(zhuǎn)化題中條件“若集合A中恰有2個(gè)整數(shù)”，據(jù)此構(gòu)造相關(guān)不等式，目標(biāo)明確，思路清晰.對(duì)他的想法，有不同意見(jiàn)嗎?

生2:“1＜|x1－x2|＜2”不是“集合A中恰有2個(gè)整數(shù)”的充要條件，畫出數(shù)軸就可以舉出反例了(如圖1所示).

圖1

師:很好，愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，生2發(fā)現(xiàn)了生1解法中的問(wèn)題，并舉反例說(shuō)明生1解法的錯(cuò)誤，同時(shí)，舉反例也是一種非常重要的數(shù)學(xué)能力.但我認(rèn)為生1的想法中依然存在著閃光點(diǎn)，是否能夠修正原本錯(cuò)誤的解法?或者你有其他更優(yōu)的思路嗎?

2.2 錯(cuò)解修正

生3:我認(rèn)為生1的方法很好，他已經(jīng)直接解出了不等式，將關(guān)于x的一元二次不等式轉(zhuǎn)化降為一次，我感覺(jué)到他已經(jīng)很接近真相了.問(wèn)題的關(guān)鍵在于題目中的“解集A中恰有2個(gè)整數(shù)”這個(gè)條件還可以怎么用?

師:你的評(píng)價(jià)很到位，那就請(qǐng)按照你的想法，繼續(xù)下去.

生3:我認(rèn)為可以考慮縮小x1，x2的范圍.

(興奮地沖上講臺(tái)投影展示)當(dāng)a＞8時(shí)，x=4必然是不等式的1個(gè)整數(shù)解，x2是以a為自變量的函數(shù)，在(8，+∞)上單調(diào)遞增，故x2∈(4，+∞)，從而

1)x1∈［3，4)，x2∈(5，6］，2個(gè)整數(shù)解為4和5，即

2)x1∈(2，3)，x2∈(4，5］，2個(gè)整數(shù)解為3和4，a∈φ.

2.3 解法優(yōu)化

師:非常好，生3在前2位同學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行了修正.他采用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合估算的方法來(lái)縮小整數(shù)解可能值的范圍.剛才這幾位同學(xué)告訴我們，錯(cuò)誤并不可怕，我們可以從錯(cuò)誤的解法中探尋到正確甚至更加高妙的思路.大家對(duì)他的解法有什么評(píng)價(jià)?解法可以再優(yōu)化嗎?

優(yōu)化1數(shù)形結(jié)合

生4:生3的的方法很好，他把x1，x2看成以a為自變量的函數(shù)，這種想法很有意思，但計(jì)算太繁了.我認(rèn)為他運(yùn)算基本功非常扎實(shí)，可總覺(jué)得有點(diǎn)“殺雞焉用屠龍刀”的感覺(jué)(學(xué)生大笑).我想用二次函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2－ax+2a的圖像來(lái)解決問(wèn)題，但是畫圖好像很麻煩，進(jìn)行不下去(其他同學(xué)表示有同感).

師:考慮到“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系，用二次函數(shù)解決一元二次不等式問(wèn)題，是一個(gè)很自然的想法.這個(gè)函數(shù)圖像的形狀和位置由字母a控制，我們不妨取一些特殊值來(lái)得到特殊的圖像，然后讓a變化，函數(shù)圖像就會(huì)“動(dòng)”起來(lái)，也許能最終解決問(wèn)題.下面繼續(xù)嘗試，看看是否能完善這種解法.

生5(投影):構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2－ax+2a，如圖2，當(dāng)a=8時(shí)，圖像與x軸相切于點(diǎn)(4，0)，a變大，圖像向右向下移動(dòng)，x1減小，x2增大，當(dāng)a=9時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，0)，(6， 0)，可知2個(gè)整數(shù)解必為4和5，則f(3)≥0， f(4)＜0，f(5)＜0且f(6)≥0，解得.當(dāng)a＜0時(shí)，同理可得.綜上所述，，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3， 9)時(shí)，a=9，此時(shí)直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6，36)，則.當(dāng)a＜0時(shí)同理可得，故

圖2

圖3

圖4

師:數(shù)形結(jié)合是解決不等式問(wèn)題的一個(gè)重要思路.以上解法還可以再優(yōu)化嗎?

優(yōu)化2左右分離

生6:含參二次函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)討論太復(fù)雜，可以考慮把－ax+2a移到不等式右邊，再畫圖.

(投影)原式可化為:x2＜a(x－2)，如圖3，g(x)=a(x－2)是恒過(guò)定點(diǎn)(2，0)的一系列直線，研究拋物線y=x2圖像在直線下方的部分.當(dāng)a=8時(shí)，直線與拋物線相切，x=4必為不等式的解，當(dāng)a＞8時(shí)，a越大直線越“陡”，另一解可能為3或5.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，25)時(shí)，

優(yōu)化3參變分離

生7:我認(rèn)為干脆就把a(bǔ)與x分離，分離以后，畫圖更容易，計(jì)算也更加簡(jiǎn)單.

(投影)原式可化為:x2＜a(x－2)，當(dāng)x＞2時(shí)，;當(dāng)x＜2時(shí)，.令x－2=t，則，研究“打勾函數(shù)”的圖像在直線y=a－4下方的部分.如圖4，p(1)= p(4)=5，，p(2)=4，則2個(gè)整數(shù)解為2或3，故

師:生1緊扣已知條件直接解出含參不等式，生2利用數(shù)軸舉出反例，生3在前面2位同學(xué)的基礎(chǔ)上率先得到了正確的結(jié)論，生4～生7各顯神通，利用數(shù)形結(jié)合，使抽象問(wèn)題具體化，讓我們大開(kāi)眼界.其中生7運(yùn)用參變分離，避開(kāi)二次函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)討論，又進(jìn)一步降低了計(jì)算量和思維的難度.不知不覺(jué)中，我們從錯(cuò)誤走向了成功.大家在解題過(guò)程中的表現(xiàn)都非常棒!

3 幾點(diǎn)思考

以上是高三一輪復(fù)習(xí)課的一個(gè)片段，一個(gè)始料未及的錯(cuò)誤，打亂了筆者的教學(xué)方案，但也正因?yàn)榇耍哦嗔艘恍┮馔獾氖斋@和體會(huì).通過(guò)對(duì)這道題目的講授，筆者有如下一些思考:

3.1 成功?錯(cuò)誤

在巡視學(xué)生做題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)班上約有20%的學(xué)生都犯了與生1相同的錯(cuò)誤，立即調(diào)整了原本的教學(xué)方案，直面這個(gè)意外的錯(cuò)誤.但如果只是簡(jiǎn)單地指出錯(cuò)誤，就失去了一次絕佳的“糾錯(cuò)”良機(jī)，因此筆者選擇讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)并糾正其中的錯(cuò)誤.黑格爾說(shuō):“錯(cuò)誤本身是達(dá)到真理的一個(gè)必然的環(huán)節(jié).”在平時(shí)的教學(xué)中，教師不能輕易批評(píng)或者否定學(xué)生的錯(cuò)誤做法，不能強(qiáng)行修改學(xué)生的思維軌跡，而應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原有思維軌跡中的偏差，多角度剖析、探討、反思錯(cuò)解，并對(duì)已有的錯(cuò)解作出修正和優(yōu)化，消解學(xué)生“畏錯(cuò)”的心理障礙，讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤中所蘊(yùn)藏的成功契機(jī)，漸漸告別“解題愚蠢”，在“知錯(cuò)→議錯(cuò)→糾錯(cuò)”的過(guò)程中品味成功的喜悅.

3.2 學(xué)生≥教師

本題是一道高三期末考試的“把關(guān)題”，據(jù)命題人透露，某重點(diǎn)高中本題平均得分為0.2分，難度頗大.原教學(xué)方案是學(xué)生思考然后教師直接講授，但是受生1、生2啟發(fā)，筆者決定讓學(xué)生自由思考發(fā)言，教學(xué)過(guò)程居然出乎意料的順暢，學(xué)生的好點(diǎn)子層出不窮，真可謂驚喜連連.教師要堅(jiān)信“弟子不必不如師，師不必賢于弟子”.就解題教學(xué)而言，每一種解法都是一個(gè)思維的終極結(jié)果.如果教師缺乏對(duì)學(xué)生的信任，在解題教學(xué)中忽視學(xué)生思維形成的過(guò)程，直接將解題過(guò)程扔給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)從課堂的參與者退化成教師解題的旁觀者，甚至異化為數(shù)學(xué)的厭惡者，一旦離開(kāi)教師就無(wú)所適從，不會(huì)獨(dú)立思考.在課堂教學(xué)中，教師雖然“聞道在先”，但也要大膽放開(kāi)手，給予學(xué)生充分的信任，將課堂的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生.

3.3 對(duì)話?生成

在授課過(guò)程中，由于課堂沒(méi)有完全遵照自己預(yù)設(shè)的走向，筆者內(nèi)心其實(shí)是有些許忐忑的.但在與學(xué)生的對(duì)話中，認(rèn)真傾聽(tīng)學(xué)生的想法和做法的同時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生探索思考，學(xué)生順利地得到了筆者本來(lái)準(zhǔn)備花費(fèi)巨力去講解的“簡(jiǎn)潔”解法，筆者真切地感受到了一種酣暢淋漓的痛快.在日常教學(xué)中，教師要敢于調(diào)整自己的教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)鍵處對(duì)話，在質(zhì)疑中釋疑，讓數(shù)學(xué)思維在自由對(duì)話中動(dòng)態(tài)生成.教師“不能壟斷課堂上的話語(yǔ)權(quán)，但也不能放棄課堂上的話語(yǔ)權(quán)”.教師要充分利用自己的“術(shù)業(yè)專攻”，引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中對(duì)話，比較與評(píng)價(jià)不同的思路，引導(dǎo)學(xué)生思考一系列的問(wèn)題.例如怎樣才能得到這些思路?這個(gè)思路的錯(cuò)誤在哪里?已有解法是否可以再優(yōu)化?是否可以削減解題中冗余的思維回路?所有解法的共性是什么?一旦學(xué)生的主動(dòng)性被喚醒，話語(yǔ)交鋒引發(fā)出思維碰撞，會(huì)擊穿妨礙思維的魔障，激活學(xué)生的多元思維，提升理性思維的廣度和深度，生成真正屬于自己的“解題智慧”.

行文至此，以羅增儒教授的一段妙語(yǔ)結(jié)束本文，并與諸君共勉:“即使我很笨，我也有機(jī)會(huì)通過(guò)解題過(guò)程的分析而學(xué)會(huì)聰明，并且聰明是由自己習(xí)得的.”

［1］羅增儒.解題分析——再找自己的解題愚蠢［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，1998(4):21-22.

［2］徐明.小填空，大乾坤——一道統(tǒng)考題的命題構(gòu)思與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2013(6):61-63.

［3］水菊芳.我們不是課堂“神話”的締造者——“將課堂交給學(xué)生之我見(jiàn)”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2013(12):26-29.

［4］羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.南寧:廣西教育出版社，2008:251.