也談曲線切點弦的處理方法

●吳斌 王懷明(會宮中學(xué)安徽樅陽246740)

也談曲線切點弦的處理方法

●吳斌 王懷明(會宮中學(xué)安徽樅陽246740)

文獻［1］由一道測試題提出一個問題:過圓外一點作圓的2條切線，如何求2個切點所在直線的方程?然后通過對大綱版教材和人教A版教材處理方法的比較，得出結(jié)論:大綱版教材的處理方法(即下面的解法1，筆者注)“求解思維轉(zhuǎn)彎多，且對圓的一般位置需要另行推理，這對學(xué)生而言，有一定的困難”;人教A版教材的處理方法(即下面的解法2，筆者注)“優(yōu)于大綱版教材，主要表現(xiàn)在計算快、轉(zhuǎn)化少，突出圓的地位而淡化切(直)線方程”.

事實真的是這樣嗎?本文先列舉文獻［1］中的2種解法，并增加解法3;然后通過解法的應(yīng)用，比較3種解法，得到不同解法的適用范圍.

1 解法呈現(xiàn)

為了方便說明，將文獻［1］中的問題一般化:

過圓C:x2+y2=r2外一點A(x0，y0)作圓的2條切線，切點分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，求切點弦PQ所在的直線方程.

解法1因為圓C在點P(x1，y1)處的切線垂直于OP，當x1y1≠0時，，所以圓C在點P處的切線斜率為，方程為

當x1=0或y1=0時，切點弦也滿足方程

同理圓C在點Q(x2，y2)處的切線方程為

而點A(x0，y0)在切線上，有

這說明點P，Q的坐標滿足x0x+y0y=r2，因此切點弦PQ的方程為x0x+y0y=r2.

解法2由題意知，OP⊥AP，OQ⊥AQ，因此，點P，Q在以AO為直徑的圓上.設(shè)點M(x，y)是以AO為直徑的圓上任意一點，則

即以AO為直徑的圓的方程為

由題意知點P，Q既在圓C上，又在以AO為直徑的圓上，x(x－x0)+y(y－y0)=0與x2+y2=r2相減得x0x+y0y=r2，因此切點弦PQ的方程為

解法3當切線的斜率存在時，設(shè)切線斜率為k，則過點P(x1，y1)的切線方程為

同理可得圓C在點Q(x2，y2)處的切線方程為

而點A(x0，y0)在切線上，得

這說明點P，Q的坐標滿足x0x+y0y=r2，因此直線PQ的方程為

當切線的斜率不存在時，切點弦也滿足方程

說明解法1利用性質(zhì)“圓心和切點的連線垂直于過該點的切線”，直接求出切線的斜率;解法3從代數(shù)角度處理問題，利用直線和圓相切時的判別式Δ=0求出斜率，它們后面的處理方法完全一樣.

2 解法的應(yīng)用

例1已知拋物線C的頂點為原點，其焦點為F(0，c)(其中c＞0)到直線l:x－y－2=0的距離為設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的2條切線PA，PB，其中A，B為切點.

1)求拋物線C的方程;

2)當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程;

3)略.

(2013年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

解1)過程略，拋物線C的方程為x2=4y.

2)拋物線C的方程為x2=4y，即，求導(dǎo)得.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中)，則切線PA，PB的斜率分別為，，從而切線PA的方程為

同理可得切線PB的方程為

因為切線PA，PB均過點P(x0，y0)，所以

從而(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y－2y0=0的2組解，因此直線AB的方程為

由上述解題過程知，當圓換成拋物線時，解法1和解法3仍然適用，而解法2則不適用.切點弦問題在高考試題中很常見，如:

例2拋物線C1:x2=4y，C2:x2=－2py(其中p＞0).點M(x0，y0)在拋物線C2上，過點M作C1的切線，切點為A，B(當M為原點O時，A，B重合于點O).當時，切線MA的斜率為

1)求p的值;

2)當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(當A，B重合于點O時，中點為O).

(2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題)

解1)p=2(過程略).

2)同例1的解法得到切點弦AB的方程為

聯(lián)立x0x－2y－2y0=0與x2=4y得

設(shè)N(x，y)，由點N為AB的中點，得

由點N在直線AB上，得

由點M在C2上，得

式(1)，式(2)，式(3)消x0，y0，得，從而AB中點N的軌跡方程為

與參考答案相比，該解法思路簡單，易于掌握.同樣地，該題求切點弦AB的方程時，只適用于解法1和解法3.

例3設(shè)點P(x0，y0)在直線x=m(其中y≠m，0＜m＜1)上，過點P作雙曲線x2－y2=1的2條切線PA，PB，切點為A，B，定點

1)略;

2)求證:點A，M，B共線.

證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線PA的方程為

同理可得PB的方程為

又P(m，y0)在PA，PB上，得

即點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直線y0y=mx－1上，亦即AB的方程為

說明這里主要是求切點弦的問題.我們發(fā)現(xiàn)，不僅解法2不適用，解法1也不適用，因為沒有辦法直接求斜率，所以必須利用解法3的思路求解.

3 不同解法比較及求解策略

首先，從難度來看，解法1的難點在于先求2個切點P，Q處的切線方程，再利用點A(x0，y0)在切線上直接得到切點弦方程.解法2的難點在于: 1)能看出點P，Q在以AO為直徑的圓上;2)能順利寫出圓的方程;3)注意到PQ是2個圓的公共弦，由2個圓方程相減得到直線PQ的方程.解法3與解法1的區(qū)別是:解法3沒有直接寫出斜率，利用一元二次方程根的判別式Δ=0求出斜率，其他相同.因此3種解法難度差不多，即便是圓的一般位置，處理起來也沒有多大區(qū)別.

其次，從適用范圍來看，解法1或解法3不僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法，也適用于直線與一般的圓錐曲線相切時切點弦的求法;解法2僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法.

因此，在求二次曲線的切點弦問題時，可遵循以下要求:若過圓外一點作圓的切線，則3種解法都可以，只是解法1和解法2相對簡潔一點.若過一般的二次曲線外一點作曲線的切線，則要具體情況具體對待，能直接求切點處斜率的，按照解法1的思路即可;不能直接求切點處斜率的，則要按照解法3的思路，聯(lián)立方程組，消元后由Δ=0求斜率.再由曲線外一點是2條切線的公共點，寫出切點弦方程.

讀者可以做下面2道練習(xí)題，從中進一步體會3種解法適用范圍的不同.

練習(xí)1過點(3，1)作圓(x－1)2+y2=1的2條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()

A.2x+y－3=0 B.2x－y－3=0

C.4x－y－3=0 D.4x+y－3=0

(2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

(3種解法均可，答案為A.)

(本題是由2014年“華約”自主招生試題改編而成的，只有解法3適用，切點弦AB的方程為，答案為)

4 高等數(shù)學(xué)背景

曲線切點弦問題的知識背景是高等數(shù)學(xué)中圓錐曲線的極點和極線問題.

已知圓錐曲線C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(其中A2+C2≠0)，則稱點P(x0，y0)和直線l: Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線的一對極點和極線.

若極點在曲線C上，則極線l就是曲線C在點P處的切線;若過極點可作曲線C的2條切線，P，Q為切點，則極線就是直線PQ.若利用極點和極線的有關(guān)性質(zhì)，則可以直接寫出切點弦方程.

如本文開始的引例，極點A(x0，y0)相應(yīng)的極線方程為x0x+y0y=r2，即為切點弦PQ的方程.例1中曲線C:x2=4y，極點A(x0，y0)相應(yīng)的極線方程為

例2同例1(解法略).例3中曲線C:x2－y2=1，極點P(m，y0)相應(yīng)的極線方程為

5 結(jié)束語

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，解法2(即新教材的處理方法)是最特殊的解法，只能適用于直線與圓相切的問題.解法1比解法2適用范圍更廣，只要切點的斜率能求即可，如文獻［1］中的2個題目和本文的例1、例2.解法3的適用范圍最廣，只要是直線與二次曲線相切的問題，都可以求解.因此，這3種解法之間是特殊與一般的關(guān)系，我們要正確看待特殊方法與一般方法的關(guān)系.不僅要通過研究教材例題和習(xí)題，尋求解決一個問題的最優(yōu)途徑，更要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋求一類問題的普遍適用的解決方法，讓學(xué)生能觸類旁通，舉一反三.

教材是教學(xué)的出發(fā)點和歸宿，教師在教學(xué)中既不能全盤否定教材，另起爐灶，也不能過分盲從、迷信教材的權(quán)威，照本宣科.要有自己的理解和思考，用批判的眼光看待教材，創(chuàng)造性地使用教材.只有這樣，我們的課堂教學(xué)才會充滿生機和活力.

作為學(xué)生，無需知道曲線切點弦的高等數(shù)學(xué)知識背景，必須利用他們所掌握的知識方法解決問題.但作為教師，不僅要知道切點弦問題的不同解法，以及解法的適用范圍，更要知道方法所隱含的高等數(shù)學(xué)知識背景.教師要有一桶水，才能給學(xué)生一杯水，才能輕松自如，舉重若輕.

［1］李秀元.從一道測試題到自主招生考試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2014(7):25-26.