對(duì)求整邊三角形個(gè)數(shù)的一點(diǎn)思考

●金竹明(洛舍鎮(zhèn)中心學(xué)校浙江德清313218)

對(duì)求整邊三角形個(gè)數(shù)的一點(diǎn)思考

●金竹明(洛舍鎮(zhèn)中心學(xué)校浙江德清313218)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)碰到已知三角形周長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)為整數(shù)的三角形個(gè)數(shù)或求三角形的各邊長(zhǎng)度等問(wèn)題.對(duì)于這樣的問(wèn)題，我們可以用窮舉法將所有的情況全部列出，然后利用“三角形兩邊之和大于第三邊”排除不符合要求的“三角形”，進(jìn)而得到正確的結(jié)果.顯然求解過(guò)程比較繁瑣，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，稍有不慎，可能功虧一簣.對(duì)于這種類型的問(wèn)題，筆者進(jìn)行了一番思考、分析，得出了一種可簡(jiǎn)化“排除法”過(guò)程的方法，以期在今后的教學(xué)過(guò)程中對(duì)教師有所裨益.以下為了敘述方便，我們將邊長(zhǎng)為整數(shù)的三角形稱為整邊三角形.

例1在平面內(nèi)，分別用3根、5根、6根火柴棒首尾順次相接搭三角形，多少根火柴棒能搭成等腰三角形?等邊三角形呢?通過(guò)嘗試，完成表1.那么7根火柴棒呢?8根呢?9根呢?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

表1 火柴棒能搭成的三角形

(浙江教育出版社《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第25頁(yè)“探究活動(dòng)”)

分析此題要求我們思考、解決的是火柴棒根數(shù)為6，7，8，9時(shí)圍成的等腰三角形、等邊三角形的個(gè)數(shù)情況.本題不難解決.

例2用6根火柴擺三角形(恰好有6根)，只能擺一個(gè).設(shè)每根火柴的長(zhǎng)度均為1，則所擺三角形的邊長(zhǎng)均為2.用7根火柴擺三角形，能擺出2種情況:3條邊長(zhǎng)分別為1，3，3，或者分別為2，2，3.

1)用8根火柴能擺出幾種不同的情況?

2)用10根火柴能擺出幾種不同的情況?

3)若擺出來(lái)的三角形周長(zhǎng)為17，那么滿足條件的三角形有多少個(gè)?

這是《單元目標(biāo)達(dá)成測(cè)試卷》八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)(五)期中復(fù)習(xí)的第24題.題目要求我們解決的是周長(zhǎng)確定的整邊三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題.顯然在本題中周長(zhǎng)的數(shù)據(jù)比較小，解決也不是很困難.但很明顯的一個(gè)延伸、拓展問(wèn)題就是“周長(zhǎng)確定的整邊三角形的個(gè)數(shù)該如何確定?方法怎樣?”這個(gè)問(wèn)題就比較復(fù)雜，有一定難度.

例3求周長(zhǎng)為12的整邊三角形的所有可能情況.

分析拿到此題，初看可能會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手.仔細(xì)思考，可能會(huì)有如下的解題思路:不妨設(shè)三角形的3條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a≤b≤c.記(a，b，c)為一種情況，顯然a≥1且a為正整數(shù)，可得(1，1，10)，(1，2，9)，(1，3，8)，(1，4，7)，(1，5，6);(2，2，8)，(2，3，7)，(2，4，6)，(2，5，5);(3，3，6)，(3，4，5);(4，4，4)這12種情況，然后我們可以由“三角形兩邊之和大于第三邊”(其實(shí)只要考慮“最小兩線段之和大于最長(zhǎng)線段”這一種情況即可)去排除不能構(gòu)成三角形的情況:(1，1，10)，(1，2，9)，(1，3，8)，(1，4，7)，(1，5，6);(2，2，8)，(2，3，7)，(2，4，6);(3，3，6).最后可得周長(zhǎng)為12的整邊三角形只有(2，5，5)，(3，4，5)，(4，4，4)這3種情況.雖然此方法可解決這一類問(wèn)題，但顯然三角形的周長(zhǎng)越大，所需考慮、排除的情形也越多，分析解決問(wèn)題所需的時(shí)間也越長(zhǎng).我們希望此類問(wèn)題能有更簡(jiǎn)單的方法.

下面考慮一般問(wèn)題:

例3已知:△ABC的周長(zhǎng)為l，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中a≤b≤c，求△ABC中最長(zhǎng)邊c的取值范圍.

分析由題意，得a+b+c=l，因?yàn)?/p>

又因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，所?/p>

綜合以上分析，有如下的結(jié)論:若△ABC的周長(zhǎng)為l，3條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a≤b≤c，則三角形中最長(zhǎng)邊c的取值范圍是由此，我們可以比較簡(jiǎn)單地確定周長(zhǎng)為定值的整邊三角形的個(gè)數(shù).

接下來(lái)利用上述結(jié)論再來(lái)解決例2:

分析先根據(jù)上述結(jié)論確定最長(zhǎng)邊c的取值范圍，然后再由b≤c來(lái)確定b，最后由周長(zhǎng)及a≤b來(lái)確定a即可，過(guò)程要比單純的窮舉法簡(jiǎn)便不少.

解不妨設(shè)三角形的3條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a≤b≤c，記(a，b，c)為一種情況.因?yàn)?/p>

又c為正整數(shù)，得c=4或c=5.

1)當(dāng)c=4時(shí)，有(a，b，4)符合要求.因?yàn)閎≤c，c=4，所以b≤4.

①當(dāng)b=4時(shí)，由a+b+c=12得a=4，符合要求;

②當(dāng)b=3時(shí)，由a+b+c=12得a=5，不符合a≤b≤c的假設(shè)，舍去.

③當(dāng)b≤2時(shí)，a≥6，不符合a≤b≤c的假設(shè)，舍去.

2)當(dāng)c=5時(shí)，有(a，b，5)符合要求.因?yàn)閎≤c，c=5，所以b≤5.

①當(dāng)b=5時(shí)，由a+b+c=12得a=2，符合要求;

②當(dāng)b=4時(shí)，由a+b+c=12得a=3，符合要求;

③當(dāng)b=3時(shí)，由a+b+c=12得a=4，不符合a≤b≤c的假設(shè)，舍去;

④當(dāng)b≤2時(shí)，a≥7，不符合a≤b≤c的假設(shè)，舍去.

綜合以上，周長(zhǎng)為12的整邊三角形只有(4，4，4)，(2，5，5)，(3，4，5)這3種情況.

事實(shí)上，當(dāng)取到a＞b時(shí)，后面的情況都不需要考慮了.這樣我們真正需要考慮的情況就大大減少，解決問(wèn)題所需要的時(shí)間也就相應(yīng)減少.

例4將長(zhǎng)度為2n(n為自然數(shù)，且n≥4)的一根鉛絲折成各邊長(zhǎng)均為整數(shù)的三角形.記(a，b，c)為邊長(zhǎng)為a，b，c且滿足a≤b≤c的一個(gè)三角形.

1)就n=4，5，6的情況，分別寫(xiě)出所有滿足題意的(a，b，c).

2)有人根據(jù)第1)小題的結(jié)論，猜想:當(dāng)鉛絲的長(zhǎng)度為2n(n為自然數(shù)，且n≥4)時(shí)對(duì)應(yīng)(a，b，c)的個(gè)數(shù)一定是n－3.事實(shí)上這是一個(gè)不正確的猜想.請(qǐng)寫(xiě)出n=12時(shí)所有的(a，b，c)，并回答(a，b，c)的個(gè)數(shù).

3)試將當(dāng)n=12時(shí)所有滿足題意的(a，b，c)按照至少2種不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.

(浙江教育出版社《數(shù)學(xué)競(jìng)賽階梯訓(xùn)練》第2冊(cè)八年級(jí)第148頁(yè)第13題)

分析在本題中，顯然整邊三角形的周長(zhǎng)l= 2n.對(duì)于第1)小題:當(dāng)n=4時(shí)，l=8，由，容易確定，由c為正整數(shù)，得c=3.當(dāng)b=3時(shí)，a=2;當(dāng)b=2時(shí)，a=3，不合要求，舍去.因此當(dāng)n=4時(shí)，整邊三角形只有(2，3，3)這1種情況.當(dāng)n=5，6時(shí)，方法類似.

對(duì)于第3)小題，與整邊三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題關(guān)系不大，不再贅述.

我們?cè)偃ニ伎祭?中整邊等腰三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題.雖然我們?cè)诖_定整邊三角形個(gè)數(shù)后，只要再檢驗(yàn)a，b，c中是否有2個(gè)或3個(gè)值相等即可得到周長(zhǎng)確定的整邊等腰三角形，但是否有更簡(jiǎn)潔的方法呢?

設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為m，底邊長(zhǎng)為p，周長(zhǎng)為l，則l=2m+p.因?yàn)?/p>

又l=2m+p，2m為偶數(shù)，知l與p奇偶性相同，即當(dāng)?shù)妊切蔚闹荛L(zhǎng)l為奇數(shù)時(shí)，其底邊p只需考慮的奇數(shù);當(dāng)?shù)妊切蔚闹荛L(zhǎng)l為偶數(shù)時(shí)，其底邊p只需考慮的偶數(shù).

顯然一個(gè)p的值對(duì)應(yīng)一個(gè)等腰三角形，因此p的值一旦確定后，整邊等腰三角形的個(gè)數(shù)也就可以確定了.

例5求周長(zhǎng)分別為12，15的整邊等腰三角形的個(gè)數(shù).

分析由上述結(jié)論可知整邊等腰三角形的個(gè)數(shù)取決于底邊p的取值.整邊等腰三角形的底邊p滿足，且p與l的奇偶性相同:①當(dāng)整邊等腰三角形的周長(zhǎng)l=12時(shí)，有，即0＜ p＜6.又p與l的奇偶性相同，且l=12為偶數(shù)，因此p為偶數(shù)，則p=2或p=4，腰長(zhǎng)或 4.故周長(zhǎng)為12的整邊等腰三角形有2個(gè):(5，5，2)，(4，4，4).②當(dāng)整邊等腰三角形的周長(zhǎng)l=15時(shí)，有又p與l的奇偶性相同，且l=15為奇數(shù)，因此p為奇數(shù)，則p=1，3，5或7，腰長(zhǎng)，6，5或4.故周長(zhǎng)為15的整邊等腰三角形有4個(gè):(7，7，1)，(6，6，3)，(5，5，5)，(4，4，7).

事實(shí)上，周長(zhǎng)為l(l是自然數(shù)，且l≥3)的不同整邊三角形的個(gè)數(shù)T滿足表2的關(guān)系(其中k為自然數(shù)):

表2 周長(zhǎng)為l的不同的整邊三角形的個(gè)數(shù)

這個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，也比較困難，因此不在這里說(shuō)明.

［1］章建民.周長(zhǎng)為定值的整邊三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1996(12):24-25.