立足傳承創(chuàng)新提速，試水合卷任重道遠(yuǎn)

李錦昱++楊玉昌?コ滔慊?

1 整體評(píng)價(jià)

2015年高考全國(guó)各地全部進(jìn)入課標(biāo)高考（最早的四省區(qū)是第9個(gè)年頭），全國(guó)共命制了16套試卷，其中教育部考試中心命制2套：全國(guó)Ⅰ卷（河南、河北、山西、江西等4省使用）、全國(guó)Ⅱ卷（海南、寧夏、黑龍江、吉林、遼寧、新疆、云南、內(nèi)蒙古、西藏、貴州、甘肅、青海、廣西等13省區(qū)使用），自主命題14套（廣東、山東、北京、天津、江蘇、安徽、浙江、福建、陜西、湖南、湖北、四川、重慶、上海）.試卷側(cè)重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)素養(yǎng)，兼顧數(shù)學(xué)的選拔效能，又努力貼近中學(xué)生的實(shí)際生活；試題仍堅(jiān)持以能力立意，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)學(xué)科重點(diǎn)知識(shí)與能力以及創(chuàng)新意識(shí)，體現(xiàn)了引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“指揮棒”作用.全卷突出通性通法，不過分強(qiáng)調(diào)覆蓋面，在知識(shí)交匯點(diǎn)命題，揭示了各考點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系.命題人大膽堅(jiān)持改革與創(chuàng)新的嘗試，強(qiáng)調(diào)“突出中華傳統(tǒng)文化，強(qiáng)調(diào)學(xué)科的基礎(chǔ)性，重在考查獨(dú)立思考能力”，尤其是基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的考查，有多處探索意識(shí)融入試題，對(duì)于日常教學(xué)有重大警醒和良好的導(dǎo)向作用.

2 試題特點(diǎn)

整套試卷（以全國(guó)Ⅰ卷II卷為藍(lán)本，涉及少量自主命題高考卷）不偏不難，試題既延續(xù)了對(duì)傳統(tǒng)主干知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)考查的慣例，也刻意避開“猜押題”“題海戰(zhàn)術(shù)”，對(duì)課標(biāo)內(nèi)容如算法、三視圖、統(tǒng)計(jì)概率等進(jìn)行了考法、命題方式、題型題量的大膽創(chuàng)新，部分古代數(shù)學(xué)典籍經(jīng)典內(nèi)容也得以順利進(jìn)入高考，讓試卷多處出現(xiàn)諸多新意和正能量，不過試題題目難度和編排順序有待進(jìn)一步精細(xì)化，布局有待合理調(diào)整.

2.1 整卷難度明顯降低，淡化壓軸題運(yùn)算量，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)技能

試卷難度構(gòu)成基本符合3∶5∶2的比例，在選擇題壓軸題（文12、理11）、文科填空題（15、16）、解答題的解析幾何題“提速降費(fèi)”效果明顯.例如Ⅰ卷理科試卷（1）—（4）、（7）、（9）、（10）、（13）、（14）、（15）、（17）都是考查基礎(chǔ)知識(shí)基本技能，大多數(shù)直觀感覺是樸實(shí)無華，但考查的廣度、深度把握的恰如其分；而（5）、（8）、（11）、（12）、（18）、（21）則重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的理解和運(yùn)用，學(xué)生分析問題、解決問題能力的試題穿插全卷

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2.2 破除難度排列慣例，突出中華傳統(tǒng)文化，增加探究思維元素

盡管試卷客觀題降低了難度，但得分并不理想，這或許和部分試題編排順序有直接關(guān)系，比如Ⅰ卷理科試卷第（5）題，以雙曲線為背景，通過向量語(yǔ)言的“翻譯”，借助運(yùn)算和推理方可準(zhǔn)確解答，雖然難度和運(yùn)算量都不很大，但要想解答好這道題，卻并不容易（關(guān)于該題的來龍去脈，歡迎參閱筆者的《扒一扒一道高考題的演變史》）.

今年高考不少試題加入了博大精深的“中華傳統(tǒng)文化”元素，如Ⅰ卷文理科（6）將《九章算術(shù)》與錐體體積、Ⅱ卷文理科（8）將《九章算術(shù)》更相減損術(shù)與程序框圖、湖北卷文理科（2）《數(shù)書九章》與幾何概型、湖北卷文理科（19）將《九章算術(shù)》中“陽(yáng)馬”“鱉臑”和現(xiàn)代立體幾何中的四棱錐、三棱錐聯(lián)系起來，這些不約而同的舉動(dòng)均讓人眼前一亮.更有網(wǎng)友吐槽，湖北卷真的讓自己“漲姿勢(shì)”，感覺文字功底差的不是“一兩條街”！

Ⅰ卷文理科（16）、Ⅱ卷文科（11）理科（10）、廣東理科（8）等題，都以探索性知識(shí)為載體考查創(chuàng)造性應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決具體問題的能力.解答題在加大思維量的同時(shí)，注意降低運(yùn)算的難度，側(cè)重通性通法，避免特殊技巧；如Ⅰ卷理科（20）題，題干簡(jiǎn)明，將傳統(tǒng)的橢圓與直線的關(guān)系改用拋物線與直線相切，第二問重拾存在性問題獨(dú)具匠心；Ⅰ卷文科（20）題，一改傳統(tǒng)的橢圓與直線的關(guān)系改用圓與直線的位置關(guān)系，符合新課標(biāo)的基本要求.最重要的一點(diǎn)是，這種命題方式，有力地破除了考生對(duì)解析幾何“思路自然、運(yùn)算繁難”的恐懼心理，大大降低了運(yùn)算量和書寫篇幅，也一舉改寫了壓軸題幾乎得不了分的尷尬記錄.

2.3 考冷點(diǎn)成為新常態(tài)，不再?gòu)?qiáng)調(diào)覆蓋全面，重點(diǎn)考查應(yīng)用能力

課程標(biāo)準(zhǔn)下的《考試大綱》對(duì)于考試范圍有明確的規(guī)定，但這并沒有說哪些是必考的“熱點(diǎn)”，哪些知識(shí)點(diǎn)就只能被打入冷宮成為“冷點(diǎn)”.比如，Ⅰ卷文理科（19）完全相同，出乎相當(dāng)多人的意料，更讓人想不到的是試題涉及的知識(shí)點(diǎn)：散點(diǎn)圖、線性回歸方程、最小二乘估計(jì)、預(yù)報(bào)值等都是以前幾乎沒有涉及過的“冷點(diǎn)”（筆者印象中僅2007年廣東卷在解答題里考過，但今年北京卷文（14）的散點(diǎn)圖、重慶卷文（17）的回歸方程及預(yù)報(bào)、福建卷理（4）回歸直線方程），正是如此不常見的考法，令原本設(shè)想中的“送分題”，有相當(dāng)數(shù)量的考生硬是一分未得，直接放棄.

再比如定積分、正態(tài)分布等這些冷點(diǎn)，2014年理（18）統(tǒng)計(jì)概率既要計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，還要用正態(tài)分布等應(yīng)用知識(shí)，2015年考試中都得到了應(yīng)有的重視，如很少考定積分的天津卷理科（11）就是定積分；山東卷理科第（8）題是正態(tài)分布求概率，山東卷理科第（13）題順手將定積分安排在程序框圖中，而且還連續(xù)求兩次；福建卷理科第（13）題將定積分和幾何概型相結(jié)合；陜西卷理科第（16）題則是以定積分為背景的最大流量問題；湖南卷理科第（6）題把正態(tài)分布與幾何概型組合在一起；湖北卷理科考正態(tài)分布已經(jīng)是其一大特色，今年第（4）題又如期而至（湖北高考在2009、2013年兩次以解答題形式考過正態(tài)分布）；廣東多年沒考過的期望方差也出現(xiàn)在了理科第（13）題的位置上；浙江卷甚至專門在理科第（15）題設(shè)計(jì)了一道空間向量與不等式相結(jié)合的填空題，以上列舉的示例足以說明，備考中務(wù)必要重視《考試大綱》中所涉及的所有知識(shí)點(diǎn)，不可專門劃分出“熱點(diǎn)”“冷點(diǎn)”而厚此薄彼.

數(shù)學(xué)應(yīng)用方面，概率統(tǒng)計(jì)部分均加大了對(duì)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考核，這顯然是高考命題的一個(gè)重要導(dǎo)向：教學(xué)中不僅應(yīng)該讓學(xué)生會(huì)“算統(tǒng)計(jì)”，更要會(huì)“用統(tǒng)計(jì)”.

而應(yīng)用題的考查，應(yīng)引導(dǎo)考生關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，比如Ⅱ卷文理科（3）的二氧化硫排放，北京卷理科（8）汽車燃油效率、文科（8）汽車平均耗油量，重慶卷理（3）文（4）氣溫、文科（17）居民儲(chǔ)蓄存款，福建卷理科（16）銀行卡密碼安全、文科（18）全網(wǎng)傳播融合指數(shù)，陜西卷理科（19）交通暢通，江蘇卷（17）山區(qū)公路設(shè)計(jì)等，設(shè)計(jì)的可圈可點(diǎn).

2.4 文理科差異在縮小，為文理不分科試水，探索文理合卷可能

全卷21道題（不包括最后的三選一試題），文理完全相同的選擇題增至4道（6、8、9、11）、解答題1道（19），和2014年基本不一樣相比，相同題的分值從15分加到了32分，體現(xiàn)了文理科學(xué)生在數(shù)學(xué)融合方面的趨勢(shì)（這個(gè)或許是為今后幾年開始的數(shù)學(xué)文理不分科考試做一些試水性的鋪墊），今年的概率統(tǒng)計(jì)題完全相同（往年多為姊妹題）.從結(jié)果上看文理生考試差距十分顯著，以河北省教育考試院提供的數(shù)據(jù)為例：文理科全卷平均分約為66.05分（38.12+23.77+4.16）和87.65分（44.26+35.15+8.24），相差21.60分，其差距主要體現(xiàn)在二卷的15.46分的差異上，2014年二卷文理分別約為35.8分（2013年31分）和45.2分（2013年37分）相差近10分（2013年相差6分）（2012年則為25分和35分，差10分），從以上數(shù)據(jù)不難看到，要想真正搞好數(shù)學(xué)不分科（文理科生共用一張?jiān)嚲恚?，教育部考試中心還需要多方調(diào)研，從某些有代表性的點(diǎn)搞實(shí)驗(yàn)試點(diǎn)，成熟后方可大面積推廣，而不是僅僅依靠行政命令強(qiáng)行推廣執(zhí)行，搞“一刀切”的后果那便是很難體現(xiàn)“不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”的課標(biāo)理念.

3 存在的問題及改進(jìn)建議

3.1 流連數(shù)列解答題，有誤導(dǎo)教學(xué)之嫌

2015年高考Ⅰ卷理科（17）命題人再一次在數(shù)列這個(gè)點(diǎn)上命制解答題，沒有完全按照“數(shù)列與三角輪流坐莊”的“規(guī)則”出牌，出乎諸多行家預(yù)測(cè)之外，明年高考是輪換還是繼續(xù)賭數(shù)列，估計(jì)命題人實(shí)在是騎虎難下.兩套全國(guó)卷2014年理科均一選一填，文科兩套均一大，各有側(cè)重，2013年也基本如此.應(yīng)該說，這幾年的數(shù)列題難度在降低，等差和等比都有所涉及，所占比例與課標(biāo)課時(shí)比例相比明顯偏高，解答題里仍然主要考查錯(cuò)位相減（難度也偏大）.

3.2 三角函數(shù)占比偏少，應(yīng)增加基礎(chǔ)知識(shí)的考查

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)試題考查偏少且較單一，區(qū)分效果不明顯.Ⅰ卷文理第（8）題雖然考查余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，但可歸結(jié)為正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，且一反常態(tài)圖象的周期是2k，不是2kπ，解答既可由圖象先求解析式，再根據(jù)解析式求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，又可先求周期，借助圖象的對(duì)稱性得出x=34是其中一條對(duì)稱軸，數(shù)形結(jié)合直接寫出圖象的單調(diào)遞減區(qū)間.既能考查學(xué)生對(duì)余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的真正理解，又能考查學(xué)生的觀察能力、推理能力、運(yùn)算求解的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想.推陳出新的結(jié)果是得分不高.這部分的誘導(dǎo)公式及三角恒等變換、正弦定理與余弦定理、圖像變換、向量等都是必不可少的數(shù)學(xué)工具，命題人應(yīng)下大力氣研究如何體現(xiàn)這部分試題的甄別功能.

3.3 統(tǒng)計(jì)加量適可而止，既要突出重點(diǎn)，也應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)文化

理科還是應(yīng)該突出離散型隨機(jī)變量的分布列、期望方差等知識(shí)點(diǎn)的考查，畢竟選修23里有計(jì)數(shù)原理和統(tǒng)計(jì)案例（各種分布都要照顧到）兩部分區(qū)別于文科的知識(shí)點(diǎn).概率統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)不再囿于概率，而是概率和統(tǒng)計(jì)并重（甚至后者分量超過了前者），這些是與教學(xué)要求里的課時(shí)比例相吻合的.從今年各地一擁齊上的對(duì)正態(tài)分布等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查看（湖北卷和2014課標(biāo)Ⅰ卷考大題的后遺癥），仍不宜作為重點(diǎn)，畢竟這部分內(nèi)容課標(biāo)和考綱里都不過是了解層次的要求；文科除古典概型、幾何概型外，獨(dú)立性檢驗(yàn)和線性回歸分析等涉及統(tǒng)計(jì)圖表類型是新的增長(zhǎng)點(diǎn).希望數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的內(nèi)容每年都能出現(xiàn)在試卷中，且不僅僅是點(diǎn)綴.

3.4 立體幾何回歸本質(zhì)，注重空間想象

盡管立體幾何小題靈活（特別是對(duì)球情有獨(dú)鐘），但大題不管是證明平行垂直還是求空間角、面積和體積，師生都更青睞空間向量法（傳統(tǒng)方法本應(yīng)有一席之地），機(jī)械性的“算”代替了推理論證等思維過程，從長(zhǎng)遠(yuǎn)看不利于空間想象能力與邏輯推理論證等考查核心的教學(xué)，命題應(yīng)“折、轉(zhuǎn)、展、構(gòu)造”等多法并舉，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)走向正確的軌道.另外，從提高得分的角度看，文科考生更適合機(jī)械套用空間向量法.

3.5 解析幾何再降難度，合理深挖教材

解析幾何部分的試題盡管課標(biāo)高考已經(jīng)將傳統(tǒng)重點(diǎn)線錐關(guān)系悄然轉(zhuǎn)向定義、性質(zhì)、曲線與圓，形式上也有向量等載體的創(chuàng)新，但試題難度依然還有進(jìn)一步降低的空間.

比如，2015年高考全國(guó)卷（Ⅰ）文第16題是一道利用定義“化曲為直求最值”的雙曲線試題：

如圖1，已知F是雙曲線C：x2-y28=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，66）.當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 .圖1

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、性質(zhì)及化曲為直求最值原則的理解（也可利用間接法計(jì)算S△APF=S△AF′F-S△PF′F=3×66-3×26=126），很好地考查了學(xué)生對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化（化歸與轉(zhuǎn)化）思想、數(shù)形結(jié)合思想的駕馭程度.圖2

空間中給定圓錐和平面（截面），如圖2所示，若截面與軸垂直，則截面曲線是圓（含點(diǎn)圓）；若截面與一條母線平行，則截面曲線是拋物線；若截面與軸平行或與對(duì)頂圓錐頂點(diǎn)兩側(cè)都相交，則截面曲線是雙曲線；若截面只與圓錐頂點(diǎn)一側(cè)相交（不與軸垂直），則截面曲線是橢圓.

2015年浙江卷文科第7題就很好地考查了圓錐曲線的本質(zhì)定義：圖3

如圖3，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是

A.直線

B.拋物線

C.橢圓

D.雙曲線的一支

思路點(diǎn)撥 顯然AP是以AB為軸的圓錐面的母線，因?yàn)椤螾AB=30°且平面α與圓錐的軸線所成的角為60°，則截面是橢圓，故選C.

其詳細(xì)的解答可參考下面的題源：圖4

試題追蹤 （2014年5月浙江湖州二模理6）如圖4所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是底面正方形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線C1D，C1M所成的角等于30°，則以下說法正確的是

A.點(diǎn)M的軌跡是圓的一部分

B.點(diǎn)M的軌跡是橢圓的一部分

C.點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分

D.點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分

思路點(diǎn)撥 以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則D（0，0，0），C1（0，1，1），設(shè)M（x，y，0）（其中0≤x≤1，0≤y≤1），那么C1M=（x，y-1，-1），C1D=（0，-1，-1），直線C1D，C1M所成的角等于30°，則C1M·C1D|C1M|·|C1D|=（x，y-1，-1）·（0，-1，-1）2·x2+（y-1）2+（-1）2=32，整理可得x2+（y+1）23=1，其軌跡是橢圓的一部分.圖5

C1D與底面ABCD所成的角等于45°，直線C1D，C1M所成的角等于30°，則問題等價(jià)于以C1D為軸，母線C1M繞軸C1D旋轉(zhuǎn)形成圓錐面（如圖5），再用與軸C1D成45°角的平面ABCD截圓錐面，得到圓錐曲線部分.因?yàn)榻孛嬷慌c圓錐頂點(diǎn)一側(cè)相交，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓的一部分.

2015年高考全國(guó)卷（Ⅰ）理第20題命題人避開了熟悉的橢圓載體，轉(zhuǎn)而借助拋物線的形式，從切線入手，考查導(dǎo)數(shù)工具的運(yùn)用.此舉雖好，卻對(duì)提高得分率沒起到預(yù)期的作用！這里，先回顧前兩年的做題情況：

2013年課標(biāo)Ⅰ卷理科第20題（文科第21題）河北省理科得分率25.60%，文科5.46%，2014年課標(biāo)Ⅰ卷文科第20題河北省得分率9.26%，都低的可憐！

涉及動(dòng)圓圓心的軌跡問題，2011廣東卷、2013全國(guó)Ⅰ卷高考都已出現(xiàn)，它們都出自課標(biāo)教材人教A版選修21（2007年2月第2版）第50頁(yè)習(xí)題2.2B組第2題及第80頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第3（2）題，并且命題人刻意將教材上的圓的一般方程改成標(biāo)準(zhǔn)方程，減小了考生的運(yùn)算量和思維難度，只要稍加留意這些教材上的東西，平均分決不至于出現(xiàn)尷尬的不足1分的局面！

再比如2015年高考全國(guó)卷（Ⅱ）對(duì)直線的斜率之積為-b2a2（a>b>0）做了考查，應(yīng)該引起我們對(duì)于教材例習(xí)題研究的重視，其中2015年高考全國(guó)卷（Ⅱ）理科第20題是：

已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

（Ⅱ）若l過點(diǎn)（m3，m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線l的斜率；若不能，說明理由.

2015年高考全國(guó)卷（Ⅱ）文科第20題是：

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，點(diǎn)（2，2）在C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

上面兩道20題中，文科第（Ⅱ）問kl·kOM=-12、理科第（Ⅰ）問kl·kOM=-9，對(duì)應(yīng)定值都與-b2a2有關(guān)（除去常規(guī)解法外，用點(diǎn)差法來求解更簡(jiǎn)單），最早2010年高考北京卷理科第14題第（1）問中的斜率之積，其實(shí)就源于課標(biāo)教材人教A版選修21第41頁(yè)例3的結(jié)論.

3.6 部分題目相似度高，疑有改編之嫌

全國(guó)Ⅰ卷文理（22）題：如圖6，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E.（Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線；

（Ⅱ）若OA=3CE，求∠ACB的大小.

本題的主要考點(diǎn)有圓的切線判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形射影定理等，考點(diǎn)比較多，考生可能上手比較慢.圖6 圖7

來源于2009年某市期末考試題：

如圖7所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于E點(diǎn)，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE.

（Ⅰ）請(qǐng)判斷DE與⊙O是怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（Ⅱ）若⊙O的半徑為4，DE=3，求AE的長(zhǎng).

類似的還有北京卷文（6）與某刊物2013～2014選修（11）人教A版第3期第1版《常用邏輯用語(yǔ)復(fù)習(xí)指導(dǎo)》跟蹤練習(xí)第1題簡(jiǎn)直一模一樣.還有浙江卷理（13）與某刊物命制的一道題目相同.

3.7 個(gè)別題目命制與2015年考試大綱有差異

2015年高考新課標(biāo)卷考試大綱（文理）說明中明確指出不等式選講中的會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解ax+b≤c、ax+b≥c、x-c+x-b≥a三類絕對(duì)值不等式，而2015年全國(guó)Ⅰ卷文理（24）出現(xiàn)了求解x+1-2x-1≥1的不等式，值得商榷，如果高考命題不依賴于考試大綱的話，不利于師生備考常常提到的“靠綱務(wù)本”.

2015年全國(guó)Ⅰ卷文（21）f（x）=e2x-alnx要用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，也有超綱嫌疑.