正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B中的一種錯誤求法

1 從一道考試題說起

《全品新題小練習（2014數(shù)學·理科）》（開明出版社）P13有這樣一道題：

（2013·哈爾濱三中期末）已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω∈R，φ<π2），滿足

f（x）=-f（x+π2），f（0）=12，f′（0）<0，則g（x）=2cos（ωx+φ）在區(qū)間0，π2上的最大值與最小值之和為（ ）.

A.2-3 B.3-2 C.0 D.-1

解 因為f（0）=12，所以f（0）=sinφ=12，故φ=π6+2kπ（k∈Z），又因為φ<π2，所以φ=π6.因為f（x）=-f（x+π2），所以f（x）=f（x+π），故f（x）的周期為π，所以ω=2πT=2，又由f′（x）=ωcos（ωx+φ），得f′（0）=ωcosφ<0，所以ω<0，所以ω=-2，所以g（x）=2cos（-2x+π6）=2cos（2x-π6）.又因為x∈0，π2，所以2x-π6∈-π6，5π6，所以g（x）的最大值為2，最小值為-3，所以最大值與最小值之和為2-3.

這是一道錯題！解法也是錯誤的！

2 錯在何處

以上解法錯在哪里呢？錯在ω！而ω的錯誤是由“因為f（x）=-f（x+π2），所以f（x）=f（x+π），故f（x）的周期為π”導致的.其實，對于正（余）弦型函數(shù)，除了有一般函數(shù)具有的性質“若定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+a）=-f（a）（a≠0），則2a是y=f（x）的一個周期”外，還有其特有的性質.此處ω不僅可以取2，還可以取其它數(shù).

我們先來證明正弦型函數(shù)的兩個性質.

性質1 已知y=Asin（ωx+φ）+B（ω∈R，且ω≠0）且f（x）=-f（x+π2），則ω=4k+2（k∈N）.

證明 由f（x）=-f（x+π2），知函數(shù)f（x）的圖像向左平移π2個單位之后與原函數(shù)圖像關于x軸對稱，根據(jù)正弦型函數(shù)圖像的特性，可知平移量π2=12T+kT=2k+12T（k∈N，T為f（x）的最小正周期），所以π2=2k+12·2πω（k∈N），所以ω=4k+2（k∈N）.

性質2 已知y=Asin（ωx+φ）+B（ω∈R，且ω≠0）且f（x）=f（x+π），則ω=2k（k∈N，且k≠0）.

證明 由f（x）=f（x+π），知函數(shù)f（x）的圖像向左平移π個單位之后與原函數(shù)圖像重合.根據(jù)正弦型函數(shù)圖像的特性，可知平移量π=kT（k∈N，且k≠0，T為f（x）的最小正周期），所以π=k·2πω（k∈N，且k≠0），所以ω=2k（k∈N，且k≠0）.

根據(jù)以上性質，我們知道，試題中ω應滿足ω=4k+2（k∈N），而不是ω=2.因為ω=4k+2（k∈N）時的答案是2-3或0；而ω=2時的答案是2-3，所以試題及答案都是錯誤的.

3 正確解法

因為f（0）=12，所以f（0）=sinφ=12，故φ=π6+2kπ（k∈Z），又因為φ<π2，所以φ=π6.由f（x）=-f（x+π2），知函數(shù)f（x）的圖像向左平移π2個單位之后與原函數(shù)圖像關于x軸對稱，所以π2=2k+12T（k∈N，T為f（x）的最小正周期），所以π2=2k+12·2πω（k∈N），所以ω=4k+2（k∈N）.又由f′（x）=ωcos（ωx+φ），得f′（0）=ωcosφ<0，所以ω<0，所以ω=-（4k+2）（k∈N）.所以g（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（-（4k+2）x+π6）

=2cos（（4k+2）x-π6）.當k=0時，g（x）=2cos（2x-π6），由x∈0，π2得2x-π6∈-π6，5π6，所以f（x）的最大值為2，最小值為-3，所以最大值與最小值之和為2-3；當k=1時，g（x）=2cos（6x-π6），由x∈0，π2得6x-π6∈-π6，2π+5π6，所以f（x）的最大值為2，最小值為-2，所以最大值與最小值之和為0；當k∈N，k≥2時最大值與最小值之和也為0.

綜上所述，函數(shù)的最大值與最小值之和為2-3或0.

作者簡介 劉忠，中國中學數(shù)學教育界最高獎“蘇步青數(shù)學教育獎”一等獎獲得者，江西省首批中學正高級教師，江西省特級教師，中國數(shù)學奧林匹克高級教練員，永豐中學副校長.