促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)策略

隨著數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)與深入，數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)探究活動(dòng)備受推崇.但教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)存在諸多“異化”現(xiàn)象：有的活動(dòng)設(shè)計(jì)缺乏明確的主題，只是為活動(dòng)而活動(dòng)，有的活動(dòng)設(shè)計(jì)沒能反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，缺少“數(shù)學(xué)味”，而有的活動(dòng)設(shè)計(jì)只是停留在操作層面，活動(dòng)中缺乏學(xué)生思維的深度參與等，導(dǎo)致課堂探究活動(dòng)流于形式.

詹姆斯·希伯特和托馬斯·P·卡彭特說過：“在數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐中被最廣泛接受的一個(gè)想法就是學(xué)生應(yīng)該要理解數(shù)學(xué)”.理解是探究的目標(biāo)，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中重視理解，有利于探究活動(dòng)目標(biāo)明確，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的深度挖掘，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終使得學(xué)習(xí)者能夠超越既定的信息，創(chuàng)造性地將知識(shí)運(yùn)用在不同的情境中.

1 理解與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

希伯特和卡彭特認(rèn)為：“一個(gè)數(shù)學(xué)的概念或方法或事實(shí)被理解了，那么它就會(huì)成為個(gè)人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一部分……，理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的.”哈佛大學(xué)柏金斯教授認(rèn)為：“理解一個(gè)主題就意味著能夠利用這個(gè)主題進(jìn)行彈性實(shí)作——解釋、證實(shí)、推斷、聯(lián)系和以一種超越知識(shí)與常規(guī)技能的方式進(jìn)行應(yīng)用.”上述兩種對(duì)“理解”的理解具有代表性，前者是指理解的表征觀，側(cè)重對(duì)知識(shí)的認(rèn)知，指向?qū)W習(xí)者內(nèi)部，強(qiáng)調(diào)的是聯(lián)系，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，后者是指理解的實(shí)作觀，側(cè)重對(duì)知識(shí)的遷移、應(yīng)用與創(chuàng)新等，指向?qū)W習(xí)者外部，形成實(shí)作能力.理解既具有內(nèi)隱性，經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象的過程，理解又具有外顯性，需要學(xué)習(xí)者通過參與理解性實(shí)作而顯現(xiàn).

探究活動(dòng)可分為自由探究和定向探究，自由探究是指學(xué)生的探究活動(dòng)基本上是自己獨(dú)立完成的，極少得到教師的指導(dǎo)和幫助，而定向探究是指學(xué)生的探究活動(dòng)是在教師的指導(dǎo)和幫助下完成的，包括教師提供具體教學(xué)事例和程序，由學(xué)生自己尋找答案的探究.由于學(xué)生普遍缺乏探究經(jīng)驗(yàn)，加之教學(xué)內(nèi)容和時(shí)間的限制，立足于課堂的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)應(yīng)以定向探究為主.因此，所謂數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)一些具有探索研究本質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在教師的幫助和指導(dǎo)下，學(xué)生圍繞一定的問題或材料，自主尋求答案、建構(gòu)意義的活動(dòng)過程.

2 促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)策略

2.1 提供合適的材料，是實(shí)現(xiàn)理解性探究活動(dòng)的重要保障

從認(rèn)知的角度看，學(xué)習(xí)材料可被視為一種信息載體，合理的學(xué)習(xí)材料能較好地吸引學(xué)生自主參與，有利于學(xué)習(xí)過程中的動(dòng)態(tài)生成，是學(xué)生思維活動(dòng)的源泉.

如在《方程的根與函數(shù)零點(diǎn)》教學(xué)中，為得出函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可設(shè)計(jì)如下材料引導(dǎo)學(xué)生探究.圖1

如圖1，某地從0點(diǎn)到12點(diǎn)的氣溫變化圖的一部分，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象.這段時(shí)間內(nèi)，是否一定有某時(shí)刻的氣溫為0度？為什么？

上述的圖形連接問題起點(diǎn)低，直觀性強(qiáng)，簡(jiǎn)單而內(nèi)涵豐富，且結(jié)論開放，符合高中學(xué)生喜歡動(dòng)手的特點(diǎn)，適合不同層次學(xué)生進(jìn)行探究.通過對(duì)畫圖結(jié)果的比較與分析，函數(shù)零點(diǎn)存在性定理已呼之欲出了.

2.2 把握學(xué)生探究活動(dòng)的起點(diǎn)，是實(shí)現(xiàn)理解性探究活動(dòng)的前提條件

認(rèn)知理論認(rèn)為，理解是新信息與原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相互作用的過程，要使新舊知識(shí)能夠相互發(fā)生作用、建立聯(lián)系，前提就是要幫助學(xué)生準(zhǔn)備好已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，切實(shí)把握好學(xué)生探究活動(dòng)的起點(diǎn).

例如在“任意角三角函數(shù)概念”的探究教學(xué)中，有教師在引入階段就采用下位概念“銳角三角函數(shù)”先行的策略，通過類比或猜想，將“銳角三角函數(shù)”推廣至“任意角三角函數(shù)”.但從教學(xué)實(shí)踐看，學(xué)生耗費(fèi)了大量的時(shí)間，銜接過渡卻不流暢、不自然.事實(shí)上，初中學(xué)習(xí)的三角主要研究的是銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，關(guān)注的是“解決直角三角形的邊角關(guān)系問題”，并不是真正意義上的函數(shù)分析.而“任意角三角函數(shù)的概念”是“函數(shù)概念”的下位概念，因此應(yīng)考慮更本源性的引入背景，可以在“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”的思想指導(dǎo)下，以“如何建立圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型”為探究活動(dòng)起點(diǎn)，在建立函數(shù)模型的過程中水到渠成地引入任意角三角函數(shù)的概念.

2.3 營(yíng)造獨(dú)立探究的機(jī)會(huì)，是實(shí)現(xiàn)理解性探究活動(dòng)的重要基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本的特點(diǎn)之一就是獨(dú)立思考，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立探究時(shí)，必然有一個(gè)深入思考的過程，只有當(dāng)學(xué)生通過探究思考建立起自己的數(shù)學(xué)理解力時(shí)，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué).

以下是等差數(shù)列求和公式的探究活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問題1：等差數(shù)列的基本量有哪些？

問題2：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和會(huì)與哪些基本量有關(guān)？

問題3：如何用這些基本量來表示前n項(xiàng)和？

在學(xué)生解決了前兩問之后，讓學(xué)生獨(dú)立探究問題3，根據(jù)具體情況，教師作適當(dāng)啟發(fā)、引導(dǎo).如提示可以先從特殊數(shù)列入手，但不作具體的方法指導(dǎo).這樣的設(shè)計(jì)是開放的，在目標(biāo)指引下，途徑、方法由學(xué)生自主選擇，課堂上可能會(huì)出現(xiàn)一些節(jié)外生枝，但因?yàn)榉椒ê退悸范际菍W(xué)生自己探究得到的，學(xué)生真正成了發(fā)現(xiàn)者與研究者.

2.4 探究導(dǎo)向建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)理解性探究活動(dòng)的關(guān)鍵所在

理解就是把新舊知識(shí)掛鉤，把新知識(shí)點(diǎn)吸納、融合到我們已有的知識(shí)系統(tǒng)之中.評(píng)判學(xué)生是否真正理解了新知識(shí)，關(guān)鍵就是看新知識(shí)是不是成了學(xué)生“自己的可用知識(shí)”，是不是與已有知識(shí)連在了一起.

以下是引導(dǎo)學(xué)生形成直線與平面垂直定義的探究活動(dòng)問題系列.

問題1：在“線面平行”的位置關(guān)系中，我們將“線面平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化成什么要素之間的關(guān)系來研究的？體現(xiàn)了怎樣的思想？（轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了“平面化”和“降維”的思想）圖2

問題2：“線面垂直”關(guān)系可轉(zhuǎn)化成什么要素之間的關(guān)系呢？（同樣可轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系）

問題3：如圖2，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，它們的位置關(guān)系是怎樣的？隨著太陽的移動(dòng)，它們的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生改變嗎？旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線B′C′呢？請(qǐng)?jiān)囍o直線與平面垂直下定義.

上述探究活動(dòng)中，問題1、2指引了研究方向，同時(shí)滲透了類比、化歸、降維的思想.問題3為定義得出做好了鋪墊.通過新舊知識(shí)聯(lián)系，促使學(xué)生理解概念所蘊(yùn)涵的思想方法，加深對(duì)概念的理解.

2.5 探究導(dǎo)向知識(shí)的多元表征，是實(shí)現(xiàn)理解性探究活動(dòng)的有效法寶

數(shù)學(xué)知識(shí)表征往往有多種方式，如有通過語義理解而獲得知識(shí)的本質(zhì)屬性的語義表征，有通過各種樣例來歸納和認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)特征的樣例表征，有通過實(shí)物、模型、圖象或圖畫等來認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的形象表征等，通過內(nèi)化多元表征并與已有的內(nèi)在表征發(fā)生相互作用，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的多角度理解.

如關(guān)于函數(shù)單調(diào)性定義形成的教學(xué)設(shè)計(jì)，新課引入后，可以設(shè)置下列三個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生完成形式化定義的形成過程，形成單調(diào)性定義的圖形、語言與符號(hào)表征，促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的建構(gòu)與理解.

探究1：觀察函數(shù)y=x與y=x2的圖象，分別指出這兩個(gè)函數(shù)圖像在哪個(gè)區(qū)間上是上升的，哪個(gè)區(qū)間是下降的？

意圖：基于學(xué)生的數(shù)學(xué)常識(shí)，以學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象為切入點(diǎn)，通過觀察思考形成單調(diào)性的圖形表征.

探究2：你能用數(shù)學(xué)語言把函數(shù)“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)變量的角度探究數(shù)量變化特征（這里可借助信息技術(shù)），形成單調(diào)性的語言表征.

探究3.以y=x2為例，在區(qū)間（0，+∞）上，如何對(duì)“函數(shù)值y隨著x的增大而增大的特征”給以具體地定量刻畫呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生將自然語言抽象為嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言，給出增（減）函數(shù)的符號(hào)表征.

上述三個(gè)探究問題層層遞進(jìn)，學(xué)生經(jīng)歷了將直觀圖象轉(zhuǎn)化成嚴(yán)謹(jǐn)刻畫的過程，借助單調(diào)性定義的不同表征，幫助學(xué)生深刻理解單調(diào)性概念.

2.6 采用數(shù)學(xué)變式探究，是實(shí)現(xiàn)理解性探究活動(dòng)的重要舉措

如果說建立多元表征是幫助學(xué)生建立更多的數(shù)量的聯(lián)結(jié)，那么對(duì)數(shù)學(xué)變式的探究有助于強(qiáng)化聯(lián)結(jié)強(qiáng)度.

例如，在復(fù)習(xí)“三角函數(shù)圖象的變換”時(shí)，給出以下問題：

將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移π3個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為 .

根據(jù)學(xué)生在解題中的出錯(cuò)情況，給出如下問題變式，引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng).

變式1：將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移π3個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為 .

變式2：要得到函數(shù)y=sin（2x-π3）的圖象，可由函數(shù)y=sin（2x-π4）的圖象向 平移 個(gè)單位得到.

變式3：函數(shù)y=cosx2的圖象，可以由y=sin（x2+π6）的圖象向 平移 個(gè)單位得到.

變式4：函數(shù)y=cosx2的圖象，可以由y=2sin（2x+π6）的圖象經(jīng)過怎樣變換而得到？

通過以上問題變式的探究，使學(xué)生在思考、比較、歸納的過程中，理清知識(shí)的來龍去脈，自主發(fā)現(xiàn)和理解三角函數(shù)圖象變換規(guī)律.總之，

促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的目的旨在將發(fā)展學(xué)生的理解作為探究活動(dòng)的核心目標(biāo)，將“理解”貫穿在整個(gè)探究活動(dòng)中.教師的一個(gè)重要任務(wù)就是設(shè)計(jì)一些有效的課堂探究活動(dòng)任務(wù)，使教材中一些較難理解的知識(shí)轉(zhuǎn)化為通過探究讓學(xué)生易于理解的知識(shí).研究促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)策略，是有效實(shí)施數(shù)學(xué)探究教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的良好途徑.

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