謹(jǐn)防求解排列組合問(wèn)題之五大誤區(qū)

排列組合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)，從反饋的教學(xué)效果或測(cè)試結(jié)果來(lái)看，學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的理解能力較差，得分率不高，究其原因，主要是學(xué)生對(duì)排列組合的原理、怎樣導(dǎo)致的重復(fù)現(xiàn)象以及如何剔除重復(fù)計(jì)數(shù)等不甚清楚，本文結(jié)合實(shí)例剖析在求解排列組合問(wèn)題時(shí)容易陷入的幾大誤區(qū)，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題思路，供參考.

誤區(qū)一 分類不妥、“有序”“無(wú)序”理不清致錯(cuò)

例1 某校從8名教師中選派4名教師同去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有多少種？

錯(cuò)解 分兩類：有甲（一定有丙）、無(wú)甲（一定無(wú)丙）.第一類共有C25A44種，第二類共有C35A44種，所以共有C25A44+C35A44=480（種）.

辨析 分類有誤，應(yīng)分成三類：第一類有甲無(wú)乙有丙，第二類無(wú)甲有乙無(wú)丙，第三類無(wú)甲、乙、丙.

正解 共有C25A44+C35A44+A45=600（種）.

例2 用黃、綠、白三種顏色粉刷6間辦公室，其中一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，問(wèn)粉刷這6間辦公室有多少種安排方法？

錯(cuò)解 該題容易錯(cuò)解為有C36·C23·C11=60（種）.

辨析 出錯(cuò)原因在于對(duì)題目中的事件分解步驟有錯(cuò)，丟掉了一步，即顏色可以相互輪換這一步，而題目中黃、綠、白三種顏色粉刷辦公室的間數(shù)未定，任何一種顏色都可以粉刷三間或兩間或一間辦公室，因此，需要將三種顏色做排列.

正解 先固定一種粉刷方法，如黃色粉刷3間，綠色粉刷2間，白色粉刷1間，則有C36C23C11種方法.三種顏色互換有A33種方法，由乘法原理，不同的方案數(shù)共有A33C36C23C11=360（種）.

例3 一條連椅有6個(gè)空座位，3人去坐，3個(gè)空位中恰好有2個(gè)相鄰的排法有多少種？

錯(cuò)解 先將3人排成一排，有A33種，從產(chǎn)生的4個(gè)空中選2個(gè)空分別插入2個(gè)空位和1個(gè)空位，有C24種插法，共有坐法A33C24=36（種）.

辨析 上述錯(cuò)解在于分別插入2個(gè)空位和1個(gè)空位時(shí)，不是C24種插法，而應(yīng)是A24種插法，這是因?yàn)檫x出2個(gè)空后，必須考慮在哪個(gè)空插入2個(gè)，哪個(gè)空插1個(gè)，它們是不同的坐法.

正解 A33A24=72（種）.

誤區(qū)二 考慮問(wèn)題不全，有遺漏致錯(cuò)

例4 用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)有多少個(gè)？

錯(cuò)解 將兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字排好，有A22種方法，有3個(gè)空，由于0不能在首位，所以偶數(shù)數(shù)字的排法有2A22種，不同的五位數(shù)有2A22A22=8（個(gè)）.

辨析 對(duì)相鄰問(wèn)題的一般解法不熟悉，錯(cuò)解中的8個(gè)符合題意，但是遺漏了很多情況.

正解 分兩種情況∶（1）若0夾在兩個(gè)奇數(shù)之間，將這三個(gè)數(shù)字看成一個(gè)整體與剩下的兩個(gè)偶數(shù)一起排列有A33種，考慮到1與3可以互換位置，所以這種情況有A33A22=12（個(gè)）；（2）若2，4中的一個(gè)夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間，同上面的想法，共有C12C12A22A22=16（個(gè)）.所以滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是12+16=28.

例5 過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共有15條，其中異面直線有多少對(duì)？

錯(cuò)解 上底面三條棱任取一棱，側(cè)面上每條側(cè)棱和對(duì)角線與其有3對(duì)異面直線，下底面與其有2對(duì)異面直線，所以共有3+2×6=30（對(duì)）.

辨析 上述錯(cuò)解漏掉了側(cè)面上對(duì)角線有6對(duì)異面直線.

正解 三棱柱共有6個(gè)頂點(diǎn)，任取4點(diǎn)，不共面的情形共有C46-3=12（種），不共面的4點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四面體，而每一個(gè)四面體有3對(duì)異面直線，故共有3×12

=36（對(duì)）異面直線.

例6 四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其余頂點(diǎn)及棱的中點(diǎn)選取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有多少種？

錯(cuò)解 四面體有4個(gè)頂點(diǎn)，6條棱有6個(gè)中點(diǎn)，每個(gè)面上6個(gè)點(diǎn)是共面的；點(diǎn)A所在的每個(gè)面由含A的4個(gè)點(diǎn)組合，有C35種，點(diǎn)A在3個(gè)面內(nèi)，所以共有3C35=30（種）.

辨析 本題旨在考查組合知識(shí)和空間想象能力，錯(cuò)解產(chǎn)生的原因在于沒(méi)有將各條棱的3點(diǎn)與它的對(duì)棱上的中點(diǎn)共面的情況考慮進(jìn)去，從而出現(xiàn)遺漏的情況.

正解 在錯(cuò)解的基礎(chǔ)上，還有一種滿足題意要求的情況，即點(diǎn)A所在棱上的3個(gè)點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共面，這樣的情況共有3種，所以符合條件的結(jié)果共有3C35+

3=33（種）.

誤區(qū)三 類與類之間不相互獨(dú)立，即兩類或n類之間有重復(fù)部分

例7 從6雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？

錯(cuò)解 從6雙中選一雙有C16種，再在10只中選一只有C110種，再只能在8只中選一只有C18種，即有C16C110C18=480（種）.

辨析 上述解法，問(wèn)題出在取一只有C110種，再取一只有C18種，這里出現(xiàn)了重復(fù)，如“先取紅色的左只，后取藍(lán)色的右只”與“先取藍(lán)色的右只，后取紅色的左只”是同一事件.

正解 根據(jù)以上分析，恰好有一雙同色的取法有1[]2[SX）]C16C110C18=240（種）.

例8 將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少種？

錯(cuò)解 先分堆，再排列：分三堆，有C15C24C22種分法，然后看作三個(gè)元素的全排列，有A33（種），所以不同的分配方案共有C15C24C22A33=180（種）.

辨析 在分堆中，后兩堆具有同樣多的元素，故要減半.

正解 先分堆，再排列，所以不同的分配方案共有C15C24C222×A33=90（種）.

例9 在3000至8000之間，有多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？

錯(cuò)解 分三步完成，首先排首位，有5種方法；后排個(gè)位，也有1，3，5，7，9共5種方法；最后排中間兩位數(shù)，有A28種方法，所以共有5×5×A28=1400（個(gè)）奇數(shù).

辨析 在排個(gè)位1，3，5，7，9時(shí)，可能與首位數(shù)字重復(fù)，考慮欠全面，應(yīng)先分類，后分步處理.

正解 可以分為兩類，一類是以3，5，7為首位的三位奇數(shù)，可以分3步完成，先排首位，有A13種，后排末位有A14種，再排中間，有A28種，共有A13A14A28=672（個(gè)）；另一類是以4，6為首位的四位奇數(shù)，也可以分3步完成，有A12A15A28=560（個(gè)），所以符合條件的四位奇數(shù)共有672+560=1232（個(gè)）.

例10 已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，從這三個(gè)集合中各取1個(gè)元素，構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則可以確定多少個(gè)不同點(diǎn)？

錯(cuò)解 相當(dāng)于從A，B，C三個(gè)集合中先各取1個(gè)元素，再進(jìn)行全排列，所以共有1×C12×C13×A33=36（個(gè)）.

辨析 重復(fù)3個(gè)，因?yàn)閺腂，C兩個(gè)集合中都取1時(shí)，只有3種情況而不是6種情況.

正解 只需用總個(gè)數(shù)36減去3個(gè)重復(fù)的，所以不同點(diǎn)共有36-3=33（個(gè)）.

誤區(qū)四 考慮問(wèn)題時(shí)既有重復(fù)又有遺漏致錯(cuò)

例11 4名男生和4名女生排成一排，任意兩名女生不相鄰且任意兩名男生也不相鄰，一共有多少種排法？

錯(cuò)解 本題常常容易錯(cuò)解為A44A44=576（種）或A45A44=2880（種）或2A45A44=

5760（種）.

辨析 第一種錯(cuò)解產(chǎn)生的原因是考慮不周，以偏概全，遺漏了另一種情況而產(chǎn)生的；第二種錯(cuò)解與第三種錯(cuò)解產(chǎn)生的原因是忽視了任意兩名女生不相鄰且任意兩名男生也不相鄰這個(gè)條件.對(duì)5個(gè)空位選4個(gè)進(jìn)行排列，而實(shí)際上這4個(gè)空位必須相鄰，第三種錯(cuò)解在這一錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上把已含的男女對(duì)調(diào)情況，又再次計(jì)入一遍.

正解 4男4女人數(shù)相等，4男分開(kāi)有5個(gè)空位，由于任意兩名女生不相鄰且任意兩名男生也不相鄰，4名女生插入的4個(gè)空位必須相鄰，因此，完成這個(gè)排列分3個(gè)步驟：

第1步：將4名男生一字排開(kāi)，有5個(gè)空位，選出4個(gè)相鄰的空位，共有2種選法；

第2步：將4名女生放入選出的4個(gè)相鄰空位進(jìn)行排列，共有A44種排法；

第3步：將4名男生進(jìn)行換位，共有A44種排法.

由乘法原理可得，不同排法的種數(shù)共有2A44A44=1152.

例12 將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，求恰有1個(gè)空盒的放法種數(shù).

錯(cuò)解 先從4個(gè)球中任選3個(gè)球放入3個(gè)盒子中，有A34種放法，再將余下的1個(gè)球放入有球的3個(gè)盒子中的任意1個(gè)，有3種放法，從而共有3A34=72（種）放法.

辨析 這種解法既有重復(fù)，又有遺漏.一方面，從4個(gè)球中任選3個(gè)球放入3個(gè)盒子中，沒(méi)有確定放入4個(gè)盒子中的哪3個(gè)盒子中，步驟不完整，A34只是其中部分放法；另一方面，將余下的1個(gè)球放入有球的盒子中，由于先后順序的不同，使得有2個(gè)球的盒子中的2個(gè)球進(jìn)行了隱蔽排列.

正解1 第1步，確定1個(gè)空盒，有C14種方法；第2步，確定放2個(gè)球的盒子，有C13種方法；第3步，從4個(gè)球中選2個(gè)球放入已確定放2個(gè)球的盒子中，有C24種方法；第4步，將余下的2個(gè)球放入已確定放入1個(gè)球的2個(gè)盒子中，有A22種方法，從而共有C14C13C24A22=144（種）放法.

正解2 4個(gè)盒子中的的球數(shù)分別為2，1，1，0，因而在4個(gè)不同小球中選出2個(gè)，則有C24種選法；然后把2個(gè)球、1個(gè)球，1個(gè)球，0個(gè)球全排列，有A44種排法.故符合條件的放法共有C24A44=144（種）.

誤區(qū)五 題意理解不清致錯(cuò)

例13 8人進(jìn)行乒乓球單打比賽，水平高的總能勝過(guò)水平低的，欲選出水平最高的兩人，至少需要比賽多少場(chǎng)？

錯(cuò)解1 每?jī)扇酥g比賽一場(chǎng)，需要比賽C28=28（場(chǎng)）.

錯(cuò)解2 第一輪分成4對(duì)進(jìn)行比賽，負(fù)者被淘汰，勝者進(jìn)入第二輪，需4場(chǎng)比賽；第二輪分成2對(duì)進(jìn)行比賽，勝者為水平最高的兩人，需2場(chǎng)比賽.至少需要比賽6場(chǎng).

辨析 錯(cuò)解1的錯(cuò)誤是沒(méi)有看清題意，“至少”沒(méi)有理解好；錯(cuò)解2的錯(cuò)誤是沒(méi)有選出水平最高的兩人，錯(cuò)誤地認(rèn)為這種淘汰比賽最后的兩人就是水平最高的兩人，實(shí)際上，第二名有可能在第一輪或第二輪就被第一名淘汰了.

正解 先將8人分成4對(duì)進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入第二輪，需要4場(chǎng)比賽.將進(jìn)入第二輪的四人分成2對(duì)進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入第三輪，需要2場(chǎng)比賽，進(jìn)入第三輪的2人進(jìn)行比賽，勝者為第一名，需要1場(chǎng)比賽，將第一輪、第二輪、第三輪被第一名淘汰的選手共3人決出第一名，需要2場(chǎng)比賽.所以至少需要4+2+1+

2=9（場(chǎng)）比賽.

作者簡(jiǎn)介 蔡勇全，男，四川遂寧人，1980年8月生，教育碩士，中學(xué)一級(jí)教師，發(fā)表論文90余篇，主持兩項(xiàng)市級(jí)課題，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考試題研究.