教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中的換位思考

“換位思考”即是通過(guò)變換角度或位置的方式去思考、理解和解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的換位思考是指在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師把自己置于學(xué)生的位置來(lái)認(rèn)識(shí)體驗(yàn)、思考問(wèn)題，用學(xué)生的眼光去審視教學(xué)內(nèi)容，即教師還要扮演學(xué)生的角色，從而成為學(xué)生探究知識(shí)道路上的合作者.

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，相對(duì)原來(lái)的教學(xué)大綱，教學(xué)目標(biāo)闡述的角度及落腳點(diǎn)發(fā)生了根本變化.以前，教學(xué)目標(biāo)是從教師“教”的角度提出來(lái)的，規(guī)定的是教什么，如何教，缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的關(guān)注；現(xiàn)在，課程標(biāo)準(zhǔn)直接從學(xué)生“學(xué)”的角度提出，以學(xué)生為主體，直接指向?qū)W生學(xué)習(xí)活動(dòng)本身，關(guān)注的焦點(diǎn)是學(xué)什么，怎么學(xué)，學(xué)的如何.這就要求在實(shí)施教學(xué)過(guò)程中教師一方面扮演“教”的角色，成為學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、探究知識(shí)的引路人；另一方面就是要換位思考，只有站在學(xué)生的角度去思考，才能使師生在情感上達(dá)到共鳴，教師才會(huì)具有針對(duì)性、靈活性和教育性，從而使學(xué)生的知識(shí)和能力達(dá)到和諧發(fā)展.那么教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)換位思考呢？下面舉例說(shuō)明.

1 想學(xué)生之所想

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的思維是怎樣的，在想什么？這是我們教師應(yīng)當(dāng)考慮的.這需要教師在備課中要先做好預(yù)設(shè).學(xué)生未表露出自己的想法時(shí)，教師要洞察其心理，及時(shí)探測(cè)和巧妙地點(diǎn)出其想法，更好地實(shí)現(xiàn)與他們心理上的溝通.只有想學(xué)生之所想，教師才能在教學(xué)中隨時(shí)把握住學(xué)生思維的脈搏，更好地實(shí)現(xiàn)與他們心理上的溝通，開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生對(duì)要學(xué)習(xí)的知識(shí)能有較為深刻的認(rèn)識(shí)和理解.

案例1 已知m∈R，圓C：x2+y2-2mx+2（m-1）y+2m2-2m+12=0.

（1）求證：圓C的圓心必在一條直線上；

（2）若圓C與某定直線相切，求此直線的方程.

對(duì)于（1），學(xué)生易知圓C：（x-m）2+[y+（m-1）]2=12，半徑為22，圓心C（m，1-m）必在直線x+y=1上.

核心問(wèn)題是（2），有以下教學(xué)過(guò)程.

生1：已知圓C與一條定直線相切，那么圓心C（m，1-m）到該直線的距離等于圓的半徑，若設(shè)所求直線的方程為y=kx+b，那么可以得出km-m-1+mk2+1=22，對(duì)于任意m均成立.兩邊同時(shí)平方得

k2+1=2[（k+1）2m2+（b-1）2+2（k+1）m（b-1）].①

此式對(duì)于任意實(shí)數(shù)m均成立.

師（感到與自己的思路相差甚遠(yuǎn)，有些不耐煩）：你的思路看起來(lái)是正確的，可你怎么知道所求直線的斜率一定存在？且①式過(guò)于繁雜，含有k，b，m三個(gè)字母，欲想由此求得k的值，何其難也，你把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化了！請(qǐng)其他同學(xué)思考，能否找到比較簡(jiǎn)捷的解法.

（教師的這番言語(yǔ)大大挫傷了生1的積極性，后來(lái)雖然有學(xué)生給出了比較理想的解法，但心情沮喪的生1卻久久緩不過(guò)神來(lái)，其他學(xué)生也“吸取教訓(xùn)，以后再發(fā)言可要謹(jǐn)慎了，弄得不好會(huì)立即遭到教師的徹底否定”，不如干脆說(shuō)“不會(huì)”，等待教師的“喂飼”.這是課堂上常見(jiàn)的一種“狀況”，筆者認(rèn)為否定不如引導(dǎo)、堵塞不如疏浚，最好的辦法則是“解鈴還須系鈴人”，給生1提供“第二次機(jī)會(huì)”，讓他自己來(lái)改善解法或另選他法.在必要時(shí)還須給予適當(dāng)?shù)奶崾?，體現(xiàn)的是對(duì)學(xué)生的厚愛(ài)與人性化的關(guān)懷.筆者在教學(xué)中是這樣處理的：）

師（親切地面對(duì)生1，以商量的口吻）：同學(xué)們思考、討論如何解決？

生：由圓C的方程畫(huà)出圖形看看，也許能找到上佳的思路.

生1（非常珍惜這寶貴的“第二次機(jī)會(huì)”，

思維逐漸興奮）：由圖1知，所求直線必與

直線x+y-1=0平行，即斜率為-1，且

兩直線間的距離為圓的半徑22.

可設(shè)其方程為x+y+c=0，則由平行線

間的距離公式得c+12=22，解得c=0，

或c=-2，故所求直線為x+y=0，或x+y=2.

（教室里爆發(fā)出熱烈的掌聲，這是對(duì)所有學(xué)生（更是對(duì)生1）的心靈慰藉和智慧欣賞，喜悅和興奮的沖擊波將在他們腦中長(zhǎng)期發(fā)揮巨大的積極作用.正當(dāng)教者欲結(jié)束此題的解答時(shí)，可喜的“狀況”出現(xiàn)了.）

生2：①式并非無(wú)用，只要確認(rèn)所求直線的斜率為-1，則①式變?yōu)?=2（b-1）2，……（下略）

生3：既然所有圓都與斜率為-1的直線相切，那么可任取m的一個(gè)特殊值，如取m=0，則圓心（0，1）到直線x+y+c=0的距離為圓的半徑22，亦可得c+12=22，……（下略）

教者不能不驚嘆于學(xué)生思維的活躍與發(fā)散，生2從本質(zhì)上恢復(fù)了①式的勃勃生機(jī)，生3提出的方法蘊(yùn)含著一種揭示“特殊與一般”關(guān)系的重要策略，一道“相貌平平”的題目竟演繹出如此精彩的華章！若教師沒(méi)有換位思考，缺乏對(duì)學(xué)生的尊重，輕視源于學(xué)生的鮮活的教學(xué)素材，不引導(dǎo)學(xué)生把話說(shuō)完，能取得如此豐富的教學(xué)效果嗎？2 想學(xué)生之所遺

數(shù)學(xué)學(xué)科中有許多知識(shí)需要記憶，而記憶和遺忘又是相伴而生的孿生兄弟，就是我們教師自己，都會(huì)有這樣的切身體會(huì)，在遇到某一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思路是清晰的，但具體的公式卻一下子很難記起.學(xué)生更會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象.面對(duì)這一情況，教師要能換位學(xué)生角色，跟學(xué)生一起回憶、聯(lián)想、推導(dǎo)，一起分析、比較、歸納、總結(jié)，從而戰(zhàn)勝遺忘，達(dá)到鞏固知識(shí)的目的.

案例2 “空間向量”的教學(xué)片段.

空間向量是在平面向量基礎(chǔ)上，從數(shù)量表示和幾何意義兩方面，把對(duì)向量及其運(yùn)算的認(rèn)識(shí)從二維情形提升到三維情形.兩者除維數(shù)不同外，在幾何意義、坐標(biāo)表示、運(yùn)算等方面都有一致性.這是“由此及彼，由淺入深”的認(rèn)識(shí)發(fā)展過(guò)程.綜觀空間向量整章，學(xué)生需利用已有的關(guān)于平面向量的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行平面向量與空間向量之間的類(lèi)比，但是通過(guò)筆者課前的調(diào)查，了解到學(xué)生的學(xué)情是：學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了平面向量，但是對(duì)平面向量的知識(shí)已經(jīng)記得不多了（這其實(shí)與教材的編排有關(guān)，平面向量是高一上半學(xué)期學(xué)的知識(shí)，空間向量是高二下半學(xué)期才開(kāi)始學(xué)習(xí)的，時(shí)間間隔了一年多.），筆者在空間向量的教學(xué)前先通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查了解學(xué)生對(duì)平面向量還有哪些認(rèn)識(shí)？然后采取相應(yīng)的對(duì)策以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“螺旋上升”.筆者在空間向量開(kāi)始之前，用了一節(jié)課的時(shí)間讓學(xué)生從整體上掌握平面向量知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，這樣有助于學(xué)生更好地記憶知識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建平面向量知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，就有助于學(xué)生保持較長(zhǎng)時(shí)間的記憶，在平面向量類(lèi)比到空間向量的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就具有自我生長(zhǎng)的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法，也切實(shí)減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān).而在空間向量的教學(xué)過(guò)程中，筆者又引導(dǎo)學(xué)生不斷將平面向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行豐富、擴(kuò)增、推廣，從而更有效地解決空間三維的問(wèn)題.3 想學(xué)生之所疑

教師在課堂上常會(huì)碰到這樣的情況：有些學(xué)生突然表情凝重，思維出現(xiàn)了“疙瘩”.此時(shí)，對(duì)學(xué)生思維中出現(xiàn)的“疑”若不及時(shí)排除，必然造成心理上的不平衡，成為學(xué)生繼續(xù)思維、繼續(xù)學(xué)習(xí)的障礙，使思維中斷.因此，教師要采取措施，站到學(xué)生的位置上來(lái)，思考學(xué)生出現(xiàn)的“疑”，以便更好地釋疑.

案例3 人教A版《數(shù)學(xué)2》“31直線的傾斜角與斜率”（第一課）.

在介紹完傾斜角這個(gè)概念之后，我們需要引入另一個(gè)新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接規(guī)定的.“我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率”.如果在實(shí)際教學(xué)中也這樣引入的話，學(xué)生會(huì)提出這樣的困惑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面對(duì)這樣的提問(wèn)，有的教師會(huì)說(shuō)這是統(tǒng)一規(guī)定；有的教師相對(duì)民主些，逐一驗(yàn)證為何正弦或余弦不好，但總給人“亡羊補(bǔ)牢”之嫌.其實(shí)，完全可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面兩個(gè)小問(wèn)題引導(dǎo)斜率的概念.

問(wèn)題1：請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出下列方程所表示的直線.

（1）y=x+1；（2）y=3x+1；（3）y=-x+1.

問(wèn)題2：請(qǐng)?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)點(diǎn)（0，1），傾斜角分別是45°，60°，135°的直線.

師：通過(guò)畫(huà)圖，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：兩幅圖是一樣的.

師：?jiǎn)栴}1中的三條直線方程有何不同？

生：x前的系數(shù)不同，分別為1，3，-1.

師：?jiǎn)栴}2中的三條直線有何不同？

生：傾斜角不同，分別是45°，60°，135°.

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：?jiǎn)栴}1中x前的系數(shù)恰好是問(wèn)題2中對(duì)應(yīng)的傾斜角的正切值.

師：這會(huì)是偶然現(xiàn)象嗎？（此時(shí)，教師可利用“幾何畫(huà)板”演示當(dāng)傾斜角變化時(shí)，直線傾斜角的正切值與直線x前的系數(shù)始終保持一致.）

師：看來(lái)，直線傾斜角的正切值與直線方程息息相關(guān)，那么我們不妨用直線傾斜角α的正切值來(lái)刻畫(huà)直線的傾斜程度，并給它取個(gè)名字，叫做直線的斜率.

案例中，教師針對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？創(chuàng)造性地使用教材，給學(xué)生提供兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、思考、歸納，從而自然地引入斜率的概念.在教學(xué)過(guò)程中，老師總是處于引導(dǎo)者的狀態(tài)，對(duì)學(xué)生的探究問(wèn)題不是急于肯定或否定，而是引導(dǎo)學(xué)生去探究，在探究的過(guò)程中去尋求答案，充分體現(xiàn)了學(xué)生的參與、師生的合作.這樣，既肯定了學(xué)生有意義的想法，又自然地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步的思考，達(dá)到了知其然，更知其所以然的目的.

4 想學(xué)生之所難

有些內(nèi)容在教師看來(lái)似乎很容易，三言兩語(yǔ)就可說(shuō)清楚，但站在學(xué)生的角度上來(lái)接受這一知識(shí)，學(xué)習(xí)這一內(nèi)容就有相當(dāng)大的困難.教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)，就必須想學(xué)生所“難”.學(xué)生在概念理解上有什么困難？學(xué)生在探求思路中有什么困難？等等，這些問(wèn)題要求教師在備課中反復(fù)研究，通過(guò)研究達(dá)到學(xué)生學(xué)習(xí)與研究的高質(zhì)量.

案例4 學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)“反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)”一課，老師們知道學(xué)生在取點(diǎn)、描點(diǎn)、連線等環(huán)節(jié)都會(huì)出現(xiàn)困難，而為了突破教學(xué)難點(diǎn)，有些老師會(huì)直接利用幾何畫(huà)板演示函數(shù)的圖象，還有的老師會(huì)在每個(gè)環(huán)節(jié)都預(yù)先給出提示，比如帶著學(xué)生取點(diǎn)、填表、描點(diǎn)、連線，這樣做當(dāng)然能夠順利得到完美的函數(shù)圖象.但是這樣做真能夠突破學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)嗎？筆者在高中數(shù)學(xué)課堂觀察到的情況表明答案是否定的.

在一所示范高中的“正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課上，筆者觀察到，教師本來(lái)給了學(xué)生機(jī)會(huì)讓他們獨(dú)立作圖，但是當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生作圖的能力很差，許多同學(xué)毫無(wú)思路和章法時(shí)，老師很著急.由于擔(dān)心完不成教學(xué)任務(wù)，老師采取了與上述初中教師相似的方式，轉(zhuǎn)而利用幾何畫(huà)板軟件直接演示得到了正弦函數(shù)的圖象，然后告訴了學(xué)生“五點(diǎn)作圖法”，學(xué)生根據(jù)老師畫(huà)出的圖象和給出的方法描出了圖象.然而接下來(lái)，同一個(gè)班在學(xué)習(xí)“正切函數(shù)的圖象”時(shí)，這一幕幾乎重演，學(xué)生仍然感到很困難，甚至有同學(xué)在列表取點(diǎn)時(shí)毫不思考地直接利用畫(huà)正

弦函數(shù)圖象時(shí)用到的五個(gè)點(diǎn)，連正切函數(shù)在一些點(diǎn)（例如在x=π2點(diǎn)）沒(méi)有意義也毫無(wú)覺(jué)察，而面對(duì)這種情況，老師又再次采取演示作圖的方式進(jìn)行了處理.

為什么老師通過(guò)鋪墊、演示的方式并不能真正突破教學(xué)難點(diǎn)呢？根本原因在于通過(guò)老師的鋪墊、演示，學(xué)生并沒(méi)有遭遇難點(diǎn)，也沒(méi)有機(jī)會(huì)思考為什么取這些點(diǎn)，為什么要將點(diǎn)用平滑曲線而非折線連結(jié).因此，這種表面的順利是以犧牲學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣思考為代價(jià)的，后果就是學(xué)生依靠記憶結(jié)論學(xué)會(huì)了畫(huà)反比例函數(shù)這種具體函數(shù)的圖象，但是并沒(méi)有真正學(xué)會(huì)怎么畫(huà)一個(gè)新的函數(shù)圖象，也就是沒(méi)有學(xué)會(huì)方法.這種做法與其說(shuō)是突破了難點(diǎn)，不如說(shuō)是回避了難點(diǎn).

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正需要突破的是思維上的難點(diǎn)，而思維上的難點(diǎn)通常是由于思維方式的局限性造成的，因此幫助學(xué)生完成思維方式的轉(zhuǎn)變是突破難點(diǎn)真正有效的方式.而這種轉(zhuǎn)變的基礎(chǔ)和前提就是先讓學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中展現(xiàn)出自己已有的思維，當(dāng)發(fā)現(xiàn)自己已有思維方式不能解決問(wèn)題時(shí)，就感受到了自己已有思維的局限性和新思維方式形成的價(jià)值，而老師的任務(wù)則是創(chuàng)設(shè)情境、提供問(wèn)題讓學(xué)生展現(xiàn)出自己的思維，幫助學(xué)生分析已有思維中的智慧與困境，再推動(dòng)學(xué)生走出困境，找到出路，從而真正突破難點(diǎn).5 想學(xué)生之所錯(cuò)

當(dāng)代科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾說(shuō)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤方法.”學(xué)習(xí)的過(guò)程是一種漸進(jìn)的嘗試錯(cuò)誤的過(guò)程.犯錯(cuò)誤是任何人都不可避免的.教師應(yīng)善待學(xué)生錯(cuò)誤，提供以錯(cuò)誤為源泉的學(xué)習(xí)反應(yīng)刺激，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤、反思錯(cuò)誤、辯論錯(cuò)誤等，從而暴露學(xué)生的思維過(guò)程，使學(xué)生從中審視、體驗(yàn)和反思，引起知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的良性反應(yīng)，提高思維能力和課堂教學(xué)效益.

案例5 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+cn，若對(duì)任意n∈N*，都有an≥a3，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是 .

師：生1，你來(lái)說(shuō)說(shuō)看.

生1：老師，我做錯(cuò)了.

師：那我找你就對(duì)了，（學(xué)生哄堂大笑）別怕，沒(méi)關(guān)系的，說(shuō)說(shuō)你的想法.

生1：我看題目中有an=n+cn，且a3=3+c3是最小值，因?yàn)閍n≥a3，所以n+cn≥3+c3，所以（1n-13）c≥3-n，即c≥3-n1n-13=3n（n≠3）的最大值，其中n≥1且n∈N，所以c≥3.又當(dāng)n=3時(shí)成立.綜上可得c≥3.

師：此解法是分離參數(shù)的思想，即將已知量和未知量進(jìn)行分離，想法很好，值得肯定.可是結(jié)果為什么是錯(cuò)的呢？

生1：我不知道啊.

師：請(qǐng)你想想在處理不等式的時(shí)候有什么值得注意的地方.

生1：（思考后恍然大悟）是（1n-13）c≥3-n轉(zhuǎn)化到c≥3-n1n-13時(shí)，沒(méi)有考慮符號(hào)的正負(fù)性，要分類(lèi)的.

師：非常好，在解題過(guò)程中，你的可取之處在于對(duì)n=3和n≠3進(jìn)行分類(lèi)，可惜沒(méi)有注意到將（1n-13）c≥3-n轉(zhuǎn)化到c≥3-n1n-13時(shí)應(yīng)該考慮不等號(hào)的方向是否改變.知道怎么改了嗎？

生1：解法修正：因?yàn)閍n≥a3，所以n+cn≥3+c3，即（1n-13）c≥3-n.

當(dāng)n=3時(shí)，不等式恒成立，c∈R；

當(dāng)1≤n<3且n∈N*時(shí)，c≥3-n1n-13=3n的最大值，將n=2代入，得c≥6；

當(dāng)n>3且n∈N*時(shí)，c≤3-n1n-13=3n的最小值，將n=4代入，得c≤12.

綜上，6≤c≤12.

師：很好.

這樣，教師想學(xué)生之所錯(cuò)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中將學(xué)生的錯(cuò)誤解答呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生自己分析，自己審視，通過(guò)變換角度、改換類(lèi)型、改變條件等方式，以吸引其他學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的疑問(wèn)，找到自己的最近發(fā)展區(qū)，促其深思.讓學(xué)生自己來(lái)點(diǎn)評(píng)、辨析、糾偏，這既有利于拓展學(xué)生思維，調(diào)節(jié)其情緒，也便于學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

總之，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)的是以人為本，學(xué)生是教學(xué)的主體，數(shù)學(xué)課上要充分體現(xiàn)學(xué)科特點(diǎn)，突出師生平等、互助的地位，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)交流，積極合作，教師隨時(shí)通過(guò)心理?yè)Q位調(diào)控教學(xué)方法，改變教學(xué)預(yù)設(shè)，動(dòng)態(tài)處置教學(xué)程序，充當(dāng)好管理者和組織者，讓學(xué)生樂(lè)于參與，使學(xué)生素質(zhì)在輕松、和諧的教學(xué)氛圍中得到培養(yǎng)和提高.

作者簡(jiǎn)介 趙緒昌，男，1963年生，四川宣漢人，中學(xué)特級(jí)教師，四川省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)和國(guó)務(wù)院政府特殊津貼獲得者，四川省中小學(xué)教育專(zhuān)家培養(yǎng)對(duì)象，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和中小學(xué)教育科學(xué)研究.