• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    調(diào)和數(shù)列的數(shù)學(xué)史話與翻新今用

    2015-12-02 18:25甘大旺
    關(guān)鍵詞:正整數(shù)數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)家

    甘大旺

    1 調(diào)和數(shù)列的數(shù)學(xué)史話

    對(duì)于用正整數(shù)的倒數(shù)構(gòu)成的調(diào)和數(shù)列

    1,12,13,…,1n,…,

    歷史上不少數(shù)學(xué)家探究過其中的奧秘.

    擔(dān)任過神學(xué)教師、院長(zhǎng)的法國(guó)數(shù)學(xué)家奧雷姆(Oresme,1320~1382)以12k(k∈N+)為界用分組法探索它的所有項(xiàng)之和

    S=1+12+(13+14)+(15+16+17+18)

    +(19+110+…+116)+…

    >1+12+24+48+816+…→+∞,

    從而證明了調(diào)和數(shù)列的所有項(xiàng)之和趨向于無窮大,此時(shí)稱調(diào)和數(shù)列是發(fā)散(不收斂)的.

    牧師出身的意大利數(shù)學(xué)家門戈利(1625~1686)險(xiǎn)些被數(shù)學(xué)界所埋沒,他之所以影響至今,是因?yàn)樗坏ㄟ^不等式13k-1+13k+13k+1>1k(k∈N+)分組而巧妙地驗(yàn)證了調(diào)和數(shù)列的發(fā)散性,而且還探究到無窮調(diào)和數(shù)列交錯(cuò)求和的一個(gè)常用結(jié)論

    1-12+13-14+…-(-1)nn+…=ln2.

    擔(dān)任過法學(xué)教授、外交官員、貴族門客的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz,1646~1716)以調(diào)和數(shù)列為根基,癡迷地研究著與我國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝(活躍于約1370年前后)的三角數(shù)表相媲美的調(diào)和三角(又稱為萊布尼茨三角)

    其中,第n行第j列的分?jǐn)?shù)也可以用組合數(shù)表示為L(zhǎng)(n,j)=1nCj-1n-1(1≤j≤n),而且每個(gè)分?jǐn)?shù)是下面一行兩個(gè)臨近分?jǐn)?shù)之和.

    萊布尼茨的學(xué)生雅各布·貝努利

    (Jacob Bemoulli,1654~1716)通過不等式

    1n+1n+1+1n+2+…+1n2≥1(n∈N+)

    以部分1k2(k∈N+)為界分組推導(dǎo)出調(diào)和數(shù)列的各項(xiàng)之和

    1+12+13+…+1n+…

    =1+(12+13+14)+(15+16+…+19+…+1[]25[SX)])+…

    >1+1+1+…→+∞,

    從而也驗(yàn)證了調(diào)和數(shù)列的發(fā)散性.

    后來,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707~1783)借鑒英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓(Newton,1642~1727)和英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒(Taylor,1685~1731)等人的研究方式,發(fā)現(xiàn)調(diào)和數(shù)列當(dāng)n→∞時(shí)的一個(gè)精細(xì)結(jié)論

    1+12+13+…+1n=ln(n+1)+C(C≈0.5772),

    其中當(dāng)n越大時(shí)C就越遞增接近于0.57722.

    對(duì)于n∈N+,我們可以猜想一個(gè)兩邊夾不等式ln(n+1)<1+12+13+…+1n<1+ln(n+1).

    2 調(diào)和數(shù)列的翻新今用

    以調(diào)和數(shù)列的數(shù)學(xué)史料為背景,翻新改編成為競(jìng)賽題和高考題,受到命題專家的青睞.

    例1 (2007年江蘇省復(fù)賽題)已知n為正整數(shù),求證:1n+1+1n+2+…+12n<2536.

    證法1 記f(n)=1n+1+1n+2+…+12n,

    則f(1)=12<2536,f(2)=13+14=712<2536,

    f(3)=14+15+16=3760<2536.

    所以,當(dāng)n=1、2、3時(shí),原不等式正確.

    比較f(2)-2536=712-2536=-19=-14×2+1,

    f(3)-2536=3760-2536=-790<-14×3+1.

    由此猜想,f(n)≤2536-14n+1(n≥2).

    事實(shí)上,令g(n)=f(n)-2536+14n+1(n≥2),

    則g(n+1)-g(n)=f(n+1)-f(n)+14n+5-14n+1

    =12n+1+12n+2-1n+1+14n+5-14n+1

    =-3(4n2+6n+2)(16n2+24n+5)<0,

    則g(n+1)

    則g(n)

    則f(n)-2536+14n+1=g(n)

    =f(2)-2536+19=712-2536+19=0(n≥2).

    則當(dāng)n≥4時(shí),f(n)<2536-14n+1<2536.

    總之,原不等式對(duì)于任意正整數(shù)n都正確.

    證法2 當(dāng)n=1時(shí),易驗(yàn)證原不等式正確.當(dāng)n≥2時(shí),令Sn=1n+1+1n+2+…+12n,

    則Sn-1=1n+1n+1+…+12n-2,

    則Sn-Sn-1=12n-1-12n (n≥2),

    則原不等式等價(jià)于Sn=S1+∑nk=2(Sk-Sk-1)

    =S1+(13-14)+…+(12n-1-12n)<2536,

    亦即 (1-12)+(13-14)+…+(12n-1-12n)<2536.

    由此令Sn≤2536-g(n)=b1+b2+…+bn,

    其中g(shù)(n)>0且bk>0,則當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí),

    bn=(b1+b2+…+bn)-(b1+b2+…+bn-1)

    =2536-g(n)-2536-g(n-1)=g(n-1)-g(n).

    要證原不等式當(dāng)n≥2時(shí)正確,只要能證出

    存在g(k)>0使得當(dāng)正整數(shù)k=2,3,…,n時(shí)恒有

    12k-1-12k

    不妨取g(k)=14k+1(這里的存在性取法不唯一,比如也可取g(k)=14k),檢驗(yàn)得

    g(k-1)-g(k)=14k-3-14k+1=

    416k2-8k-3,12k-1-12k=14k2-2k=416k2-8k,

    其中 16k2-8k>16k2-8k-3>0(2≤k≤n),

    則待證的充分性不等式(※)正確.

    總之,原不等式正確.證畢.

    評(píng)注 運(yùn)用門戈利的結(jié)論能夠知道,對(duì)于n∈N+,和式1n+1+1n+2+…+12n

    =1-12+13-14+…+12n-1-12n

    <1-12+13-14+…+12n-1-12n+…

    =ln2≈0.6931<0.69644≈2536,于是就可以窺見專家的命題背景;另外,假如學(xué)生的證題允許利用ln2<2536,那么運(yùn)用定積分(參閱后面例3)易證1n+1+1n+2+…+12n

    例2 (2006年湖北高考題)將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Crn都換成分?jǐn)?shù)1(n+1)Crn,就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形,稱為萊布尼茨三角形.從萊布尼茨三角形可看出

    1(n+1)Crn+1(n+1)Cxn=1nCrn-1,其中x= ;令an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1(n+1)C2n,則limn→∞an= .

    解 由于萊布尼茨三角形第n行第j列的數(shù)為L(zhǎng)(n,j)=1nCj-1n-1(1≤j≤n),且第n+1行相鄰兩個(gè)數(shù)之和等于第n行“共扛”的一個(gè)數(shù),則

    1(n+1)Cj-1n+1(n+1)Cjn=1nCj-1n-1.比較得,

    r=j-1且x=j,故先填x=r+1.

    依題意,an(其中n≥3)表示萊布尼茨三角形中第3斜行“/”的前n-1個(gè)數(shù)之和,則

    an=13C22+14C23+15C24+…+1(n+1)C2n.

    由于 1(n+1)C2n=2·1(n+1)·n·(n-1)

    =1n(1n-1-1n+1)=1(n-1)n-1n(n+1),

    則an=∑nk=2[1(k-1)k-1k(k+1)]=

    12-1n(n+1),

    故再填limn→∞an= 12 .

    評(píng)注 這里,驗(yàn)證了萊布尼茨三角中第3斜行“/”、“\”的數(shù)列是收斂的.其實(shí),在萊布尼茨三角中,只有第1斜行的調(diào)和數(shù)列是發(fā)散的,其余每個(gè)斜行的數(shù)列都是收斂的.進(jìn)一步地追問,第n(≥2)斜行的數(shù)列各項(xiàng)之和的極限是否有通式呢?

    例3 (2015年廣東高考末題)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+nan=4-n+22n-1,n∈N*.

    (1)求a3的值;

    (2)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Tn;

    (3)令b1=a1,bn=Tn-1n+(1+12+13+…+1n)an

    (n≥2),證明:數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn<2+2lnn.

    解 (1)…,a3=14.

    (2)…,an=12n-1,則Tn=2-12n-1.

    (3)由于b1=a1,且當(dāng)n≥2時(shí)

    bn=a1+a2+…+an-1n+(1+12+13+…+1n)an,則Sn=b1+b2+b3+…+bn

    =(1+12+13+…+1n)(a1+a2+a3+…+an)

    =(1+12+13+…+1n)(2-12n-1)

    <2(1+12+13+…+1n).

    欲證目標(biāo)式Sn<2+2lnn,

    只要證12+13+14…+1n

    方法1 當(dāng)x>0且x≠1時(shí),用導(dǎo)數(shù)法可以推導(dǎo)出不等式lnx

    取正數(shù)x=nn+1≠1,則lnnn+1<-1n+1,

    則lnn+1n>1n+1(其中整數(shù)n≥2),則 12+13+…+1n

    =ln(21·32·43·…·nn-1)=lnn,

    則待證不等式(※)正確,故原不等式正確.

    方法2 如下圖,在遞減、下凸的函數(shù)f(x)=1x(x≥1)的圖象上取一系列點(diǎn)Fk(k,1k)(其中k∈N+),作FkHk⊥x軸于點(diǎn)Hk,作Fk+1Ak⊥FkHk于Ak,則用定積分的面積意義得

    12+13+14+…+1n=1·12+1·13+1·14+…+1·1n

    =∑n-1k=1S矩形HkHk+1Fk+1Ak

    <∑n-1k=1S曲邊梯形HkHk+1Fk+1Fk

    =∫n11xdx=lnxn1=lnn-ln1=lnn,

    則待證不等式(※)正確,故原不等式正確.

    評(píng)注 此例中,待證不等式(※)等價(jià)于

    1+12+13+…+1n<1+lnn(n≥2),

    把此等價(jià)不等式與歐拉當(dāng)n→∞時(shí)的精細(xì)結(jié)論

    1+12+13+…+1n=ln(n+1)+C(C≈0.5772)

    聯(lián)系起來分析可頓悟到,這里只要架起橋梁

    lnn+1n=ln(1+1n)≤ln(1+12)<0.4055<1-C,就可以領(lǐng)會(huì)到專家命題的奧妙!

    限于篇幅,提供下列問題供讀者探究調(diào)和數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).

    1.(2013年全國(guó)高考大綱卷末尾題)已知數(shù)列an的通項(xiàng)an=1+12+13+…+1n,證明:

    a2n-an+14n>ln2.

    2.(2007年全國(guó)聯(lián)賽題改編題)設(shè)正整數(shù)n≥2,證明:1n+2(1+12+…+1n+1n+1)>1n+1(1+12+…+1n).

    3.(1999年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題)設(shè)正整數(shù)n≥2,證明:

    1n+1(1+13+…+12n-1)>1n(12+14+…+12n).

    4.(第18屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題)對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n,令Sn=1+12+13+…+1n,

    Tn=S1+S2+S3+…+Sn,

    Un=12T1+13T2+14T3+…+1n+1Tn.

    試求正整數(shù)a、b、c、d<106,使得T1998=

    aS1989-b、U1998=cS1989-d.

    參考文獻(xiàn)

    [1](美)卡爾·B·博耶著,(美)尤塔·C·梅茲巴赫修訂,

    傳安譯.數(shù)學(xué)史[M].北京:中國(guó)編譯出版社.2013:

    401,431~433,480~482.

    [2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社,2002:

    181~182.

    [3]杜瑞芝主編.數(shù)學(xué)史辭典[M].濟(jì)南:山東教育出版社,

    2002∶108,120~121.

    猜你喜歡
    正整數(shù)數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)家
    高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)史教學(xué)的理論研究
    命途多舛的數(shù)學(xué)家:安德烈·韋依
    法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家傅里葉
    最強(qiáng)大腦
    數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的四種運(yùn)用方式
    數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的重要性
    滲透數(shù)學(xué)思想的小學(xué)數(shù)學(xué)史實(shí)例
    數(shù)學(xué)家回答“神”問題
    對(duì)一道IMO題的再研究
    自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家
    天堂网av新在线| 国产精品免费一区二区三区在线| 亚洲av第一区精品v没综合| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 精品一区二区三区av网在线观看| 日本成人三级电影网站| 黄色女人牲交| 一边摸一边抽搐一进一小说| 又爽又黄a免费视频| 亚洲色图av天堂| 亚洲成人中文字幕在线播放| 一级毛片久久久久久久久女| 亚洲人成伊人成综合网2020| 日韩欧美在线二视频| 中文字幕av在线有码专区| 成人精品一区二区免费| 999久久久精品免费观看国产| 免费av毛片视频| 免费人成视频x8x8入口观看| 别揉我奶头 嗯啊视频| 欧美精品啪啪一区二区三区| 日本 av在线| 欧美成人性av电影在线观看| 欧美3d第一页| 亚洲色图av天堂| 久久精品国产自在天天线| 男女之事视频高清在线观看| 精品久久久久久成人av| av天堂中文字幕网| 色吧在线观看| 久久久国产成人免费| 精品久久久久久久久久免费视频| 久久热精品热| 黄色视频,在线免费观看| 乱系列少妇在线播放| 亚洲三级黄色毛片| 嫩草影视91久久| 丰满乱子伦码专区| 国产中年淑女户外野战色| 欧美潮喷喷水| 国产av在哪里看| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 欧美xxxx性猛交bbbb| 欧美潮喷喷水| 欧美又色又爽又黄视频| 日本a在线网址| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 亚洲人成网站高清观看| 久久久久久久久久成人| 精品不卡国产一区二区三区| 国产三级在线视频| 国产精品av视频在线免费观看| 国产黄a三级三级三级人| 亚洲无线在线观看| 欧美成人性av电影在线观看| 男人和女人高潮做爰伦理| 精品久久久久久久久av| 免费观看人在逋| 性色avwww在线观看| 国产美女午夜福利| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 色在线成人网| 国产成年人精品一区二区| a在线观看视频网站| 99久久成人亚洲精品观看| 女同久久另类99精品国产91| 日日撸夜夜添| 人妻少妇偷人精品九色| 国产av麻豆久久久久久久| 亚洲 国产 在线| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 亚洲人与动物交配视频| 亚洲性久久影院| 精品人妻视频免费看| 偷拍熟女少妇极品色| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 尾随美女入室| 草草在线视频免费看| 在线观看午夜福利视频| 观看免费一级毛片| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 国产黄a三级三级三级人| 国产美女午夜福利| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片 | 欧美国产日韩亚洲一区| 国产精品一区二区性色av| 长腿黑丝高跟| 麻豆成人午夜福利视频| 色综合婷婷激情| 国产男靠女视频免费网站| 欧美一区二区亚洲| 亚洲人成网站在线播| h日本视频在线播放| 丰满的人妻完整版| 人妻少妇偷人精品九色| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 他把我摸到了高潮在线观看| 一进一出抽搐动态| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 最新中文字幕久久久久| 国产欧美日韩一区二区精品| 在线观看舔阴道视频| 91av网一区二区| 日本爱情动作片www.在线观看 | 久久久久性生活片| 国内精品久久久久久久电影| 久久精品国产亚洲av天美| 窝窝影院91人妻| 精品福利观看| av在线观看视频网站免费| 一进一出好大好爽视频| 欧美日韩乱码在线| 国产欧美日韩一区二区精品| 人妻久久中文字幕网| 嫩草影院精品99| 最近最新免费中文字幕在线| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 精品国内亚洲2022精品成人| 亚洲中文字幕日韩| 国产精品免费一区二区三区在线| 国模一区二区三区四区视频| 女的被弄到高潮叫床怎么办 | 欧美性猛交黑人性爽| 日韩亚洲欧美综合| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 看十八女毛片水多多多| 日韩精品有码人妻一区| 岛国在线免费视频观看| 麻豆av噜噜一区二区三区| 久久久久久久久中文| 久久热精品热| 嫩草影院精品99| 国产日本99.免费观看| 国产亚洲精品av在线| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 成年女人永久免费观看视频| 成人性生交大片免费视频hd| 99热这里只有是精品50| 国产精品久久久久久久电影| 免费电影在线观看免费观看| 久久久久九九精品影院| 国产色爽女视频免费观看| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 色综合亚洲欧美另类图片| 国模一区二区三区四区视频| 亚洲av不卡在线观看| 人人妻人人看人人澡| 999久久久精品免费观看国产| 日日撸夜夜添| 色精品久久人妻99蜜桃| 国内精品久久久久久久电影| 久久久久久久亚洲中文字幕| 伊人久久精品亚洲午夜| 日韩欧美国产一区二区入口| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 99国产精品一区二区蜜桃av| x7x7x7水蜜桃| 窝窝影院91人妻| 又紧又爽又黄一区二区| 少妇人妻一区二区三区视频| 丰满乱子伦码专区| 国产精品一区www在线观看 | 亚洲最大成人av| 亚洲avbb在线观看| av.在线天堂| 国产高清视频在线观看网站| 国模一区二区三区四区视频| 色av中文字幕| 中国美白少妇内射xxxbb| 国产午夜福利久久久久久| 婷婷六月久久综合丁香| 欧美一区二区亚洲| 很黄的视频免费| 日日夜夜操网爽| 亚洲第一区二区三区不卡| 日本色播在线视频| 在线观看美女被高潮喷水网站| 乱系列少妇在线播放| 国产大屁股一区二区在线视频| 搞女人的毛片| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 国产91精品成人一区二区三区| 99国产精品一区二区蜜桃av| 国产单亲对白刺激| 免费av观看视频| 一区二区三区高清视频在线| 我的女老师完整版在线观看| 免费搜索国产男女视频| 亚洲avbb在线观看| 一进一出抽搐gif免费好疼| 国产成人福利小说| 很黄的视频免费| av在线亚洲专区| 免费在线观看影片大全网站| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 美女xxoo啪啪120秒动态图| av女优亚洲男人天堂| 日韩欧美国产在线观看| 国产精品1区2区在线观看.| 97碰自拍视频| 99久久中文字幕三级久久日本| 精品久久久久久久末码| 午夜精品久久久久久毛片777| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 亚洲成人精品中文字幕电影| 国产高清有码在线观看视频| 成人鲁丝片一二三区免费| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 婷婷精品国产亚洲av在线| 国产精品爽爽va在线观看网站| 亚洲最大成人中文| 欧美bdsm另类| 99久久无色码亚洲精品果冻| 如何舔出高潮| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产精品无大码| 国产伦人伦偷精品视频| 热99re8久久精品国产| 午夜免费男女啪啪视频观看 | 一区二区三区高清视频在线| 亚洲国产欧美人成| 午夜爱爱视频在线播放| 精品久久久久久久久久久久久| 免费无遮挡裸体视频| 日韩中字成人| 日韩av在线大香蕉| 亚洲欧美精品综合久久99| 国语自产精品视频在线第100页| 婷婷六月久久综合丁香| 午夜福利在线观看吧| 国产在视频线在精品| 国产视频一区二区在线看| 日日撸夜夜添| 在现免费观看毛片| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 看十八女毛片水多多多| 美女免费视频网站| 久久国内精品自在自线图片| 国产伦在线观看视频一区| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产精品久久久久久久久免| 国产av在哪里看| 亚洲最大成人手机在线| 日韩精品中文字幕看吧| 久久久久久大精品| 九色国产91popny在线| 国产av在哪里看| 成年人黄色毛片网站| 国产精品国产高清国产av| 99在线人妻在线中文字幕| 精品久久久久久成人av| 久久久午夜欧美精品| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 日韩精品青青久久久久久| 国产精品日韩av在线免费观看| 99热6这里只有精品| 国产亚洲精品av在线| 美女大奶头视频| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 国产高潮美女av| 淫秽高清视频在线观看| 免费看日本二区| .国产精品久久| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 亚洲人与动物交配视频| 内射极品少妇av片p| 国产精品人妻久久久影院| 精品日产1卡2卡| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 久久九九热精品免费| 欧美不卡视频在线免费观看| 男女之事视频高清在线观看| 久久久久免费精品人妻一区二区| 色综合站精品国产| 国产在线精品亚洲第一网站| 香蕉av资源在线| 欧美成人免费av一区二区三区| 嫩草影视91久久| 久久午夜亚洲精品久久| 少妇高潮的动态图| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 成人一区二区视频在线观看| 久久精品影院6| 中文在线观看免费www的网站| 亚洲精品成人久久久久久| 亚洲人成伊人成综合网2020| 久久精品人妻少妇| 一本一本综合久久| 国产老妇女一区| 日本a在线网址| 18+在线观看网站| 国产精品一区二区三区四区久久| 最近最新中文字幕大全电影3| 一区福利在线观看| 亚洲一区高清亚洲精品| 成人国产一区最新在线观看| 久99久视频精品免费| 国产精品久久久久久久电影| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 成人永久免费在线观看视频| 久久久久久国产a免费观看| 中文在线观看免费www的网站| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 简卡轻食公司| 91久久精品电影网| 成年人黄色毛片网站| 麻豆成人av在线观看| 丝袜美腿在线中文| 一个人看视频在线观看www免费| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 午夜免费男女啪啪视频观看 | 亚洲欧美日韩高清专用| 女同久久另类99精品国产91| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 网址你懂的国产日韩在线| 天美传媒精品一区二区| 午夜日韩欧美国产| 国产私拍福利视频在线观看| 在现免费观看毛片| 老司机深夜福利视频在线观看| 久久精品国产清高在天天线| 国产成人aa在线观看| 在线a可以看的网站| 制服丝袜大香蕉在线| 午夜日韩欧美国产| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 久久精品国产亚洲av天美| 久久久久久九九精品二区国产| 一夜夜www| 亚洲天堂国产精品一区在线| 嫩草影视91久久| 啪啪无遮挡十八禁网站| 国产精品电影一区二区三区| 日本色播在线视频| 亚洲四区av| 国产午夜精品论理片| 日日撸夜夜添| 欧美丝袜亚洲另类 | 国产高清有码在线观看视频| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 婷婷精品国产亚洲av在线| 欧美成人一区二区免费高清观看| 日日夜夜操网爽| 国产不卡一卡二| 简卡轻食公司| 欧美不卡视频在线免费观看| 国产成人福利小说| 精品午夜福利视频在线观看一区| 免费观看在线日韩| 免费观看人在逋| 久久久精品大字幕| 五月伊人婷婷丁香| 国产成人aa在线观看| 日韩精品中文字幕看吧| 亚洲国产欧美人成| 免费在线观看日本一区| 天堂√8在线中文| 免费在线观看日本一区| 免费高清视频大片| 免费观看精品视频网站| 久久精品影院6| 啦啦啦韩国在线观看视频| 天堂动漫精品| 国产探花在线观看一区二区| 成年女人永久免费观看视频| 国产精品人妻久久久久久| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 欧美人与善性xxx| 超碰av人人做人人爽久久| 欧美+日韩+精品| 在线观看美女被高潮喷水网站| 国产伦一二天堂av在线观看| 亚洲七黄色美女视频| 看免费成人av毛片| 免费人成视频x8x8入口观看| 国产老妇女一区| 俺也久久电影网| 国产精品久久久久久久电影| 99在线视频只有这里精品首页| 人妻夜夜爽99麻豆av| 国产欧美日韩一区二区精品| 又粗又爽又猛毛片免费看| 桃红色精品国产亚洲av| 国产精品乱码一区二三区的特点| 欧美精品国产亚洲| 老司机福利观看| 日韩一本色道免费dvd| 一边摸一边抽搐一进一小说| 搡老熟女国产l中国老女人| 亚洲国产欧洲综合997久久,| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 久久精品人妻少妇| 性色avwww在线观看| 国产精品乱码一区二三区的特点| 国产成人福利小说| 国产在视频线在精品| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 熟女人妻精品中文字幕| 小说图片视频综合网站| 女同久久另类99精品国产91| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 久久精品国产鲁丝片午夜精品 | 亚洲人与动物交配视频| 又紧又爽又黄一区二区| 一夜夜www| 日韩欧美在线乱码| 国产成年人精品一区二区| 免费黄网站久久成人精品| 亚洲精品一区av在线观看| 毛片女人毛片| 免费av不卡在线播放| 我要搜黄色片| 赤兔流量卡办理| 国产亚洲91精品色在线| 国产久久久一区二区三区| 午夜影院日韩av| 精品人妻熟女av久视频| 欧美日韩综合久久久久久 | 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| av中文乱码字幕在线| aaaaa片日本免费| 亚洲精品日韩av片在线观看| 久久精品国产鲁丝片午夜精品 | 韩国av一区二区三区四区| 亚洲av一区综合| 欧美激情久久久久久爽电影| 亚洲五月天丁香| 在线天堂最新版资源| 毛片女人毛片| 中文亚洲av片在线观看爽| а√天堂www在线а√下载| 亚洲av五月六月丁香网| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 国产欧美日韩精品一区二区| 成年女人永久免费观看视频| 搞女人的毛片| 性色avwww在线观看| 亚洲成人久久性| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 精品人妻视频免费看| 亚洲国产精品久久男人天堂| 欧美精品国产亚洲| 在线播放无遮挡| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 小说图片视频综合网站| 天天躁日日操中文字幕| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产精品日韩av在线免费观看| 又黄又爽又刺激的免费视频.| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 婷婷丁香在线五月| 日本与韩国留学比较| 日韩 亚洲 欧美在线| 麻豆久久精品国产亚洲av| 日本一二三区视频观看| av天堂中文字幕网| 亚洲七黄色美女视频| 久久久久久伊人网av| 色精品久久人妻99蜜桃| 免费看光身美女| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 国产精品电影一区二区三区| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 桃色一区二区三区在线观看| 此物有八面人人有两片| 最新在线观看一区二区三区| 国产乱人视频| 久久午夜亚洲精品久久| 日本黄色视频三级网站网址| 毛片一级片免费看久久久久 | 国产av在哪里看| 在线免费十八禁| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 18禁黄网站禁片午夜丰满| 2021天堂中文幕一二区在线观| 亚洲男人的天堂狠狠| 色吧在线观看| 亚洲午夜理论影院| 嫩草影院入口| 成人av一区二区三区在线看| 成年女人毛片免费观看观看9| 国产精品av视频在线免费观看| 国产精品一区二区免费欧美| 国产精品爽爽va在线观看网站| 国产精品乱码一区二三区的特点| 免费观看的影片在线观看| 国产精品综合久久久久久久免费| 国产单亲对白刺激| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区 | 老熟妇乱子伦视频在线观看| 亚洲av一区综合| 国产精品亚洲美女久久久| or卡值多少钱| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 亚洲熟妇熟女久久| 国产色婷婷99| 精品久久久久久久久av| 亚洲中文日韩欧美视频| 欧美一区二区亚洲| 色综合婷婷激情| 黄色视频,在线免费观看| 亚洲天堂国产精品一区在线| 亚洲美女视频黄频| 亚洲va在线va天堂va国产| 国产精品久久电影中文字幕| 久久99热6这里只有精品| 久久精品人妻少妇| 啦啦啦啦在线视频资源| 久久人人精品亚洲av| 亚洲国产色片| 99久久九九国产精品国产免费| 观看美女的网站| 日本熟妇午夜| 亚洲av熟女| 国语自产精品视频在线第100页| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 一边摸一边抽搐一进一小说| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 毛片一级片免费看久久久久 | 一级黄色大片毛片| 中文字幕熟女人妻在线| 国产探花在线观看一区二区| 久久久久久国产a免费观看| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 日韩欧美 国产精品| 国产成人影院久久av| 我的老师免费观看完整版| 熟女人妻精品中文字幕| 国内精品一区二区在线观看| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 小说图片视频综合网站| 国产亚洲精品久久久com| 亚洲国产高清在线一区二区三| 成年人黄色毛片网站| 麻豆久久精品国产亚洲av| 韩国av在线不卡| 男人舔奶头视频| 97热精品久久久久久| 999久久久精品免费观看国产| 男女视频在线观看网站免费| 在线观看66精品国产| 男插女下体视频免费在线播放| 国产精品不卡视频一区二区| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 日韩欧美在线乱码| 男女之事视频高清在线观看| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 少妇人妻精品综合一区二区 | 91麻豆av在线| 他把我摸到了高潮在线观看| 99精品在免费线老司机午夜| 国产精品三级大全| 日韩在线高清观看一区二区三区 | 亚洲不卡免费看| 国产伦精品一区二区三区视频9| 国产探花在线观看一区二区| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 亚洲欧美日韩东京热| 亚洲精华国产精华精| 亚洲成人免费电影在线观看| 一级黄片播放器| 99国产极品粉嫩在线观看| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 免费观看精品视频网站| 久久精品综合一区二区三区| 精品一区二区三区av网在线观看| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 看免费成人av毛片| 好男人在线观看高清免费视频| 亚洲 国产 在线| 成熟少妇高潮喷水视频| 搡女人真爽免费视频火全软件 | 免费黄网站久久成人精品| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产亚洲精品av在线| 色综合站精品国产| 黄色配什么色好看| 精品一区二区三区视频在线| 又粗又爽又猛毛片免费看| 啦啦啦啦在线视频资源| 亚洲成人中文字幕在线播放| 又爽又黄a免费视频| 99久久中文字幕三级久久日本| 真人做人爱边吃奶动态| 欧美一区二区亚洲| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 亚洲国产色片| 亚洲精品成人久久久久久| 亚洲第一电影网av| 国产黄a三级三级三级人| 欧美潮喷喷水| 日本a在线网址| 国产免费一级a男人的天堂| 最新在线观看一区二区三区| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 啦啦啦韩国在线观看视频| 欧美成人性av电影在线观看| 亚洲中文字幕日韩| 色视频www国产| 久久99热这里只有精品18| 久久久久久久亚洲中文字幕| 精品午夜福利在线看| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片 | 天天一区二区日本电影三级| 国内精品宾馆在线| 亚洲美女黄片视频| 日本一本二区三区精品| 国产一区二区在线av高清观看| 人妻制服诱惑在线中文字幕|