電力亞式期權(quán)定價模型的奇攝動解

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

一直以來，電力衍生產(chǎn)品在電力市場發(fā)展過程中有著重要的需求，電力衍生產(chǎn)品的定價問題受到廣泛關(guān)注。近年來人們根據(jù)奇異期權(quán)中路徑依賴型期權(quán)的思想，設(shè)計研究出電力亞式期權(quán)，并運用二叉樹模型進行估值[1]，得出了這種期權(quán)的定價方式，但由于市場機制、國家監(jiān)管、信息共享等制度的不完善，二叉樹每個結(jié)點上的數(shù)據(jù)和估值缺乏準(zhǔn)確度。因此對電力亞式期權(quán)定價進行漸近分析就顯得尤為必要。考慮到電力衍生產(chǎn)品的隨機波動和現(xiàn)實電力市場存在一定的差距，本文討論了一類電力亞式期權(quán)定價隨機波動率模型，波動率采用快速均值回歸的隨機波動率模型，通過運用奇攝動漸近展開的方法，求得了電力亞式期權(quán)定價所因滿足的Black-Sholes 方程及其漸近解，并得到了誤差的一致有效估計。

1 模型建立

考慮亞式期權(quán)的隨機波動率模型，設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)價格為S(t)，滿足如下的隨機微分方程:

設(shè)ρ'T=(ρ1，ρ)2，r為無風(fēng)險利率，γ(y)為風(fēng)險期權(quán)金因子，r ＞0，所以式(1)、式(2)可改為:

首先假設(shè)以下條件:

1)對任一y ∈R，f(y) ≠0;

2)f(y)，γ(y)，b(y)，g(y) 在R 上連續(xù);

引入無風(fēng)險測度P*[2-3]，令:

將式(5) (7)代入式(3)、式(4)，則式(3)、式(4)可改為:

定解區(qū)域為D=[0，T]×R2，引入如下算子:

因此有:

2 形式漸近展開

將U(t，ξ，y)，作如下的形式漸近展開式[6]:

引理1 當(dāng)條件1～3 滿足時，則有L*0P(y)= 0，并有唯一的解P(y)，滿足P(y)≥0，y ∈R，L*0是L0的伴隨算子，有P(y)在 [-R，R]上Lipshitz 連續(xù)。引理1可見文獻[7]。

引理2[7]滿足條件1～3，L0U0=0，那么U0=U0(t，ξ)與y 無關(guān)。

3 一致有效性

對任一緊集Ω ?R2，令QT=[0，T]×Ω，則其中M為與ε 無關(guān)的正常數(shù)。

證明 將式(17)代入式(15)，整理得:

令φ=L1UN+L2UN-1+εL2UN，由條件1-3可知在QT上φ 有界。

當(dāng)u →0+，有由De Giorgi 迭代技術(shù)[9]得到因而進而形式漸近展開式一致有效。定理得證。

4 結(jié)束語

本文對于一類電力亞式期權(quán)定價模型，波動率采用快速均值回歸的隨機波動率模型的情形進行了討論。通過引入無風(fēng)險測度P*，及測度變換，借助Feynman-Kac 公式得到了電力亞式期權(quán)定價Black-Scholes模型;運用奇攝動漸近展開方法得到了電力亞式期權(quán)定價的漸近解;并用DeGiorgi 迭代技術(shù)證明了漸近解的一致有效性，從而得到了電力亞式期權(quán)定價的求解方法。

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