一種基于低秩矩陣逼近的圖像去噪算法

諸 亮，周林強(qiáng)，李一嘯，黃朝耿

(1.浙江工業(yè)大學(xué)浙江省信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州310023;2.浙江工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，浙江 杭州310023;3.浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)信息學(xué)院 浙江 杭州310018)

0 引 言

圖像作為重要的信息來(lái)源，在生活中扮演著重要的角色。然而現(xiàn)實(shí)中的圖像或多或少都存在著噪聲的污染，因此圖像去噪變得至關(guān)重要。文獻(xiàn)[1]最早將圖像的非局部自相似性(Non-local Selfsimilarity，NSS)應(yīng)用到圖像去噪中，設(shè)計(jì)了非局部圖像去噪算法。非局部圖像去噪算法是當(dāng)前較為新穎的去噪算法，由于更好地保留了圖像的細(xì)節(jié)，得到了進(jìn)一步的研究和發(fā)展[2]。K.Dabov 提出的三維塊匹配(BM3D)算法同樣基于非局部自相似性，是當(dāng)前公認(rèn)的最佳去噪方法。自然圖像中往往存在相似圖形塊，相似塊具有相似的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)據(jù)特征，它們組成的矩陣是低秩的。低秩矩陣逼近(Low Rank Matrix Approximation，LRMA)[3]是一種矩陣秩最小問(wèn)題，可等價(jià)為線性約束條件下的核范數(shù)最小化(Nuclear Norm Minimization，NNM)[4]問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]證明低秩矩陣可以用NNM 近似，NNM 又可通過(guò)奇異值的軟閾值法(Soft-thresholding operation)實(shí)現(xiàn)。本文結(jié)合NSS和LRMA 提出了一種新的圖像去噪算法。算法的實(shí)現(xiàn)分為兩步，首先是圖像相似塊的匹配和分組，其次對(duì)圖像相似塊組成的矩陣進(jìn)行處理從而達(dá)到去噪效果，是一種非常有效、去噪效果好的圖像去噪算法。

1 圖像去噪算法設(shè)計(jì)

1.1 算法流程設(shè)計(jì)

本文的圖像去噪算法流程如圖1所示。

圖1 圖像去噪算法流程圖

輸入圖像往往是有噪的，直接分塊匹配會(huì)導(dǎo)致輸出結(jié)果的不準(zhǔn)確，有必要在圖像分塊匹配前先對(duì)有噪圖像進(jìn)行中值濾波的預(yù)處理。圖像的匹配和分塊是以某個(gè)像素為中心的一個(gè)大小為n×n的圖像塊p ∈Rn2，尋找與p 相似的非局部的圖像塊。假設(shè)找到m 塊這樣的圖像塊，記為然后將每個(gè)圖像塊排成一個(gè)列向量組合成一個(gè)n2×m的矩陣。低秩矩陣逼近問(wèn)題可等價(jià)于約束條件下的最小化問(wèn)題，再通過(guò)多次迭代得到干凈的塊矩陣。

1.2 算法設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的噪聲圖像模型如下:

式中，Y為測(cè)量圖像，X為原始圖像，N為獨(dú)立同分布的加性高斯白噪聲，均值為零，方差為φ2n。

式(1)等價(jià)于線性約束下的矩陣核范數(shù)最小化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)如下:

結(jié)合NSS，假設(shè)ys是噪聲圖像Y中的一個(gè)塊，利用塊匹配方法在Y 中找出ys的非局部自相似塊，將這些非局部自相似塊矩陣化，得到一個(gè)低秩矩陣，假設(shè)為Ys。于是Ys=Xs+Ns，Xs、Ns分別為原始圖像和噪聲中自相似塊的矩陣化，因?yàn)閄s是一個(gè)低秩矩陣，將式(3)所示的WNNM模型應(yīng)用于Ys，得到:

假設(shè)?Ys∈Rm×n，Ys=U∑YsVT是其奇異值分解，Ys的秩為M，Xs的秩為N，因?yàn)閄s是低秩的，所以N ＜M。式(4)模型的解可以表示為Xs=UBVT，證明如下:

設(shè)U⊥是酉矩陣U的正交補(bǔ)，所以Xs=UX1+U⊥X2，這里X1和X2是Xs在空間U和U⊥下的分量，根據(jù)Courant-Fisher 極小極大定理[7]得到

因?yàn)閃NNM模型等價(jià)于約束條件小的最小化問(wèn)題，不等式可以取等，式(4)化簡(jiǎn)可得:

根據(jù)奇異值的物理意義，越大的奇異值對(duì)矩陣的作用越大，對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)ωi應(yīng)取越小。設(shè)定ωi=c/σi(B)，c是一個(gè)常數(shù)，此時(shí)是一個(gè)常數(shù)，與B 無(wú)關(guān)，于是式(5)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為如下式的最優(yōu)化問(wèn)題:

式中，B 必須滿足低秩條件，設(shè)B={ bij}，將式(6)展開如下:

當(dāng)式(7)中第1 項(xiàng)和第3 項(xiàng)為0時(shí)，取得最小值，即當(dāng)i=1，2，...，N，bii=σi(Ys)，其余 { bij}均為零時(shí)，式(6)得到最優(yōu)解，圖像成功去噪。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)多次迭代來(lái)加強(qiáng)去噪效果，每次迭代將f (Xs)的最優(yōu)解重新賦值給Ys進(jìn)入下一次迭代。設(shè)K為迭代次數(shù)，另外根據(jù)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置圖像分塊大小和自相似塊Xs的秩N，具體如表1所示。

表1 參數(shù)設(shè)置表

設(shè)定3種噪聲，φn分別為40，75，100，分別代表較低噪聲，中等噪聲和強(qiáng)噪聲。

2.2 仿真結(jié)果

選擇同樣基于非局部平均的圖像去噪算法NCSR、LSSC、EPLL、與本文算法進(jìn)行對(duì)比。用“帝王蝶”圖和浙江工業(yè)大學(xué)圖書館的圖片進(jìn)行算法比較，峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，其中“帝王蝶”圖的比較結(jié)果如表2所示。

表2 基于“帝王蝶”圖的不同算法去噪性能(PSNR)比較表

從表2可以發(fā)現(xiàn)本文算法總體上優(yōu)于其它3種算法。在不同的噪聲級(jí)別下，本文算法都具有更好的峰值信噪比。當(dāng)噪聲很小時(shí)，所有算法都具有很好的PSNR，但當(dāng)噪聲增強(qiáng)時(shí)，本文的算法比其它3種算法的優(yōu)勢(shì)更大，這說(shuō)明本文的算法性能更好。再結(jié)合表1中的參數(shù)設(shè)置，可以發(fā)現(xiàn)本文算法具有更好的收斂速度，在不同的噪聲級(jí)別下，本文算法最多只要5次迭代就可以達(dá)到最好的去噪輸出。

在φn為40的較低噪聲環(huán)境下，將本文算法與其它3種算法進(jìn)行比較，選用浙江工業(yè)大學(xué)圖書館的圖片進(jìn)行視覺比較，比較結(jié)果如圖2所示。

圖2 φn =40時(shí)，基于浙江工業(yè)大學(xué)圖書館圖的不同算法的去噪效果比較

圖2中圖2(a)為原始圖像，圖2(b)為有噪圖像，PSNR =16.06 dB，圖2(c)為NCSR 去噪輸出，PSNR=28.31 dB，圖2(d)為L(zhǎng)SSC 去噪輸出，PSNR =28.36 dB，圖2(e)為EPLL 去噪輸出，PSNR =28.43 dB，圖2(f)為本文算法的去噪輸出，PSNR =28.51 dB。從圖2中可以看出，相對(duì)于其它3種算法，本文算法具有更好的去噪性能和視覺效果，輸出結(jié)果更平滑，擁有更好的紋理和邊緣區(qū)域。為了從視覺上驗(yàn)證當(dāng)噪聲增大時(shí)，本文算法具有更好的噪聲魯棒性。

在強(qiáng)噪聲環(huán)境下選用“帝王蝶”圖將本文算法與其它3種算法進(jìn)行視覺上的比較。φn為100時(shí)，比較結(jié)果如圖3所示。

圖3 φn =100時(shí)，基于“帝王蝶”圖的不同算法的去噪效果比較

圖3中圖3(a)為原始圖像，圖3(b)為有噪圖像，PSNR=8.10 dB，圖3(c)為NCSR 去噪輸出，PSNR=22.11 dB，圖3(d)為L(zhǎng)SSC 去噪輸出，PSNR=22.24 dB，圖3(e)為EPLL 去噪輸出，PSNR=22.23 dB，圖2(f)為本文算法的去噪輸出，PSNR=22.35 dB。從圖3可以在視覺上生動(dòng)地感受到本文算法優(yōu)異的去噪性能，即使在φn為100的強(qiáng)噪聲下，本文算法依然具有較好的視覺效果。

3 結(jié)束語(yǔ)

作為對(duì)圖像去噪的一種嘗試，本文結(jié)合非局部自相似性和低秩矩陣逼近提出了一種新的圖像去噪算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示本文算法總體上優(yōu)于NCSR，LSSC，EPLL 經(jīng)典的圖像去噪算法，具有更高的PSNR和更好的去噪輸出。但是，與BM3D 相比，本文算法還存在不足，BM3D的收斂速度非?？?，而本文算法的收斂性還有待進(jìn)一步提高。本文只選用一種噪聲測(cè)試去噪效果，接下來(lái)將把算法用于不同噪聲的去噪，擴(kuò)大算法的普適性。

[1]Buades A，Coll B.A non-local algorithm for image denoising[C]//Computer Vision and Pattern Recognition，2005.CVPR 2005.IEEE Computer Society Conference on.IEEE，2005:60-65.

[2]Kervrann C，Boulange R J.Optimal spatial adaptation for patch-based image denoising[J].IEEE Transactions on Image Processing，2006，15(10):2866-2878.

[3]范云鵬.矩陣低秩逼近在圖像壓縮中的應(yīng)用[D].西安:西安電子科技大學(xué)，2012:26-30.

[4]趙新斌.一類帶有核范數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題的梯度算法[D].北京:北京工業(yè)大學(xué)，2012:13-25.

[5]Candes E J，Recht B.Exact matrix completion via convex optimization[J].Foundations of Computational mathematics，2009，9(6):717-772.

[6]Gu S，Zhang L，Zuo W，et al.Weighted Nuclear Norm Minimization with Application to Image Denoising[C]//Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR)，2014 IEEE Conference on.Columbus，OH:IEEE，2014:2862-2869.

[7]張吉慧.關(guān)于極小極大原理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1999，15(2):1-6.