圖的兩類重復(fù)點(diǎn)集與圖的幾類矩陣的特征值重?cái)?shù)

杜志斌

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

1 引言

本文所考慮的圖皆為無向簡(jiǎn)單圖。作為數(shù)與形相互結(jié)合的一個(gè)典范，圖與矩陣具有緊密的聯(lián)系。給定一個(gè)圖，可定義出一些相應(yīng)的矩陣，如鄰接矩陣、Laplacian矩陣、無符號(hào)Laplacian矩陣、正規(guī)化Laplacian矩陣、距離矩陣等。

圖譜理論主要運(yùn)用線性代數(shù)方法來研究圖的各種性質(zhì)［1］。在圖譜理論中，研究的核心內(nèi)容是基于圖所導(dǎo)出的各類矩陣的特征值，由這些特征值所組成的多重集稱為圖的譜。

很多情況下，圖的特征值不是單根。比方說，n個(gè)點(diǎn)的完全二部圖的鄰接矩陣具有 2n-重特征值0，n個(gè)點(diǎn)的完全圖的Laplacian矩陣具有1n-重特征值n。因此，為了更好地了解圖的各類譜，我們有必要研究圖的各類矩陣的特征值重?cái)?shù)。

隨著改革開放的進(jìn)一步深入，到20世紀(jì)80年代后期，人們的生活水平逐步有了好轉(zhuǎn)，“樓上樓下，電燈電話”成了很多人向往的現(xiàn)代化生活標(biāo)志。這時(shí)候電話已經(jīng)慢慢普及到了一些富裕的城市家庭，什么初裝費(fèi)，選號(hào)費(fèi)啊，裝一部電話，沒有數(shù)千元根本裝不起。電話在那個(gè)時(shí)代還是“緊俏商品”……直到電話進(jìn)入普通百姓家庭，打電話才方便了。同時(shí)“大哥大”興起，擁有“大哥大”就是身份和富有的象征。一部“大哥大”一兩萬元，現(xiàn)在想起來，真有點(diǎn)滑稽。

眾所周知，局部子圖的結(jié)構(gòu)對(duì)圖的各種性質(zhì)有著重要的影響［2］。本文將考慮當(dāng)局部子圖為空?qǐng)D或者完全圖時(shí)，其對(duì)圖的幾類矩陣的特征值重?cái)?shù)的影響。為此，我們首先定義兩類局部子圖，其定義可見文獻(xiàn)［3］。

設(shè)V為圖G的點(diǎn)集的一個(gè)非空子集，記G[V]為由G的點(diǎn)子集V所導(dǎo)出的子圖。對(duì)于圖G中的點(diǎn)v，記Γ(v)為由點(diǎn)v的所有鄰點(diǎn)所組成的集合，特別地，稱Γ(v)為點(diǎn)v的鄰集，而稱Γ(v)∪{v}為點(diǎn)v的閉鄰集。

劉真表示，摻混肥以其受環(huán)保影響小、配方調(diào)整快等特點(diǎn)，產(chǎn)量及需求量或有一定程度的增加。與此同時(shí)，劉真也表示，終端經(jīng)銷商自行配制摻混肥料并不具有優(yōu)勢(shì)，前期的設(shè)備投入和并無成本優(yōu)勢(shì)的原材料采購(gòu)，使其生產(chǎn)成本高且價(jià)格優(yōu)勢(shì)不明顯，目前多以為農(nóng)戶“量身定做”進(jìn)行營(yíng)銷，基層經(jīng)銷商生產(chǎn)摻混肥還會(huì)面對(duì)政策及環(huán)保等壓力，轉(zhuǎn)型需謹(jǐn)慎。

定義1［3］設(shè)V為圖G的點(diǎn)集的一個(gè)非空真子集。若G[V]為空?qǐng)D，且V中的點(diǎn)具有相同的鄰集，則稱V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集（duplicate vertices）。

定義2［3］設(shè)V為圖G的點(diǎn)集的一個(gè)非空真子集。若G[V]為完全圖，且V中的點(diǎn)具有相同的閉鄰集，則稱V為圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集（co-duplicate vertices）。

下面，我們給出一個(gè)例子來闡明圖的（共同）重復(fù)點(diǎn)集。設(shè)圖G如圖1所示，則可觀察到{1,2,3}與{4,5}為G的重復(fù)點(diǎn)集，而{6,7,8}為G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集。

圖1

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是完全圖。于是，圖G的無符號(hào)Laplacian矩陣G(S)結(jié)構(gòu)如下：

在本文中，我們將研究圖的（共同）重復(fù)點(diǎn)集與圖的幾類矩陣的特征值重?cái)?shù)的聯(lián)系。

結(jié)論可證。

2 預(yù)備知識(shí)與引理

對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱陣A，若l是A的一個(gè)特征值，則記mA(l)為l的（代數(shù)）重?cái)?shù)。此外，若l不是A的特征值，則習(xí)慣上記作mA(l)=0。

記In為n階單位矩陣。

矩陣對(duì)角化是高等代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容。特別地，若n階矩陣A可對(duì)角化，則對(duì)于任意常數(shù)l，總有

秩(A-λIn)=n-mA(λ) （1）

參見［4］。

在確定評(píng)估指標(biāo)后，采用專家打分法對(duì)評(píng)估指標(biāo)之間的重要程度進(jìn)行比較量化。一般的，將比較結(jié)果分為5個(gè)等級(jí)：相同、稍強(qiáng)、較強(qiáng)、很強(qiáng)和絕對(duì)強(qiáng)，并且用1～9來表示。通過專家打分對(duì)評(píng)估指標(biāo)的重要性進(jìn)行判定，構(gòu)造一級(jí)評(píng)估指標(biāo)的判斷矩陣，如表2。

由于由圖所導(dǎo)出的大部分矩陣皆為實(shí)對(duì)稱陣，從而它們可對(duì)角化。于是，我們可運(yùn)用矩陣對(duì)角化的知識(shí)來研究圖所導(dǎo)出的矩陣。

下面，我們利用式子（1）來給出一個(gè)關(guān)于特征值重?cái)?shù)的下界。

引理1：設(shè)

為一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱陣，其中M為k×k方陣，X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。若分塊矩陣(M-λIkX)的每一行具有相同的元素，則

mA(λ)≥k-1

證明：首先，既然A為n階實(shí)對(duì)稱陣，從而A可對(duì)角化?，F(xiàn)由（1）可知

秩(A-λIn)=n-mA(λ) （2）

顯然

此外，又因?yàn)?M-λIkX)的每一行具有相同的元素，也就是說，A-λIn的頭k行具有相同的元素，從而有

秩(A-λIn)≤ n-(k-1) （3）

結(jié)合（2）與（3），我們有

mA(λ)≥k-1

小麗帶男友回家，正趕上老爸喝醉酒回來。只見老爸往沙發(fā)上一躺，喊：“閨女，電視又卡了！”小麗走過去，一拍電視機(jī)上的魚缸，里面的魚四下亂竄。

3 圖的（共同）重復(fù)點(diǎn)集與圖的幾類矩陣的特征值重?cái)?shù)

下面，我們將研究圖的（共同）重復(fù)點(diǎn)集與圖的幾類矩陣的特征值重?cái)?shù)之間的聯(lián)系，其中包括圖的鄰接矩陣、Laplacian矩陣、無符號(hào)Laplacian矩陣、正規(guī)化Laplacian矩陣、距離矩陣。

3.1 圖的鄰接矩陣的特征值重?cái)?shù)

圖G的鄰接矩陣G(A)定義為［1］

（5）單體濃度在m(AMPS)∶m(AA)∶m(AM)為6∶4∶2，水浴溫度65℃，引發(fā)劑加量0.2%，pH值為6條件下合成緩凝劑，并配置水泥漿（配方A）進(jìn)行性能評(píng)價(jià)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示最佳的合成單體濃度為30%（表5）。

本小節(jié)將研究圖的重復(fù)點(diǎn)集與圖的鄰接矩陣的特征值重?cái)?shù)之間的聯(lián)系。

記On為n階零矩陣。

定理2：若V為圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，則

結(jié)論可證。

mA(G)(0)≥|V|-1

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是空?qǐng)D。于是，圖G的鄰接矩陣G(A)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

總之，運(yùn)用多媒體輔助語文教學(xué)，可以說是有利有弊，關(guān)鍵在于教師的把握，在于教師的思想態(tài)度。用好多媒體可以促進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)效果，既有利于師，也有利于生；如果使用不當(dāng)多媒體，可能會(huì)導(dǎo)致教學(xué)效果差，學(xué)生反感，教師尷尬，先進(jìn)的設(shè)備變成害生的毒藥。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

(Ok-0IkX)=(OkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

mA(G)(0)≥k-1

定理1：若V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，則

隨后，西安高新控股于12月3日當(dāng)天召開臨時(shí)董事會(huì)，會(huì)議召開前依法通知了全體董事。會(huì)議應(yīng)到董事5名，實(shí)到董事4名，1名董事請(qǐng)假。出席會(huì)議的 4 名董事經(jīng)過表決一致通過了如下決議：

誠(chéng)龍先生是慣打野槍的，如匕首投槍，刺貪刺虐入木三分。為清官樹碑，為貪官畫像，幾乎篇篇不離諷刺與諷喻，時(shí)時(shí)不忘警醒與警示。作者之用心，可謂良苦。

mA(G)(-1)≥|V|-1

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是完全圖。于是，圖G的鄰接矩陣G(A)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

泛舟靜靜流淌的江水中，欣賞兩岸錯(cuò)落有致而鱗次櫛比的吊腳樓，人們心里都會(huì)自然產(chǎn)生出莫名的感動(dòng)——這是人類與大自然和諧共處的佳作，而時(shí)光則讓它的內(nèi)涵變得更加豐富。在這里，你忘記了時(shí)間匆匆流逝，忘卻了思考過后的傷口，身心極其愉悅。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的閉鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

(Jk-Ik+IkX)=(JkX)

的每一行具有相同的元素。

通過捕獲的“肉雞”進(jìn)行設(shè)備類型分析，以Windows、Linux和IoT設(shè)備作為分類范圍，其中IoT設(shè)備類型的肉雞最多，占比61.37%；其次是Linux設(shè)備類型的肉雞，占比20.85%，Windows設(shè)備類型肉雞僅占比17.78%。

現(xiàn)利用引理1，可得

mA(G)(-1)≥k-1

結(jié)論可證。

3.2 圖的Laplacian矩陣的特征值重?cái)?shù)

記di為點(diǎn)i在圖G中的度數(shù)。

圖G的Laplacian矩陣 L(G)定義為［5］

本小節(jié)將研究圖的重復(fù)點(diǎn)集與圖的Laplacian矩陣的特征值重?cái)?shù)之間的聯(lián)系。

設(shè)V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集（共同重復(fù)點(diǎn)集），既然V中的點(diǎn)具有相同的鄰集（閉鄰集），從而V中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)是相同的。

定理3：若V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，則

mL(G)(d)≥|V|-1

其中d為V中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)。

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]為空?qǐng)D。于是，圖G的Laplacian矩陣G(L)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

在考場(chǎng)上有限的時(shí)間內(nèi)，如何寫出高質(zhì)量的作文呢？筆者根據(jù)多年對(duì)中考作文的評(píng)閱及平時(shí)作文教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，有以下幾點(diǎn)感悟。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

(dIk-dIkX)=(OkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

mL(G)(d)≥ k-1

結(jié)論可證。

定理4：若V為圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，則

mL(G)(d+1)≥|V|-1

其中d為V中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)。

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是完全圖。于是，圖G的Laplacian矩陣G(L)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的閉鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

((d +1)Ik-Jk-(d+1)IkX)=(-JkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

再次，網(wǎng)絡(luò)傳播中的自由性、開放性與狂歡要求的客觀環(huán)境相吻合?？駳g生活是在“廣場(chǎng)”上進(jìn)行的?！皬V場(chǎng)”不僅是一個(gè)具體的場(chǎng)所，而且是大眾性、民間性舞臺(tái)的隱喻。網(wǎng)絡(luò)傳播的自由與開放的屬性體現(xiàn)在每個(gè)網(wǎng)民自由地進(jìn)行信息選擇與交流，這使得網(wǎng)絡(luò)傳播與以往的傳統(tǒng)媒體不同，具有強(qiáng)烈的民間色彩。這種民間色彩滿足了狂歡的大眾性和民間化特征。

記Jn為一個(gè)n階方陣，其中每個(gè)元素皆為1。

mL(G)(d+1)≥k-1

結(jié)論可證。

教學(xué)實(shí)驗(yàn)室主要面向本科生，用于本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)課對(duì)所學(xué)課程進(jìn)行感性認(rèn)識(shí)和動(dòng)手能力培訓(xùn)，該類實(shí)驗(yàn)室的特點(diǎn)是量大面廣，人員流動(dòng)性大。隨著各學(xué)院組建集中的本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，形成了教輔人員準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)、教師講授實(shí)驗(yàn)、學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)的格局，這種“管教學(xué)”分立的方式，優(yōu)點(diǎn)在于分工明確，不足是三者之間的交流有時(shí)脫節(jié)，出現(xiàn)管理空檔。同時(shí)學(xué)生實(shí)驗(yàn)課門數(shù)多，每門課的課時(shí)緊張，因此安全環(huán)保教育往往被忽視，也未施行準(zhǔn)入制度，易出現(xiàn)操作不當(dāng)引起的安全隱患、亂丟亂倒有毒有害物質(zhì)。

3.3 圖的無符號(hào)Laplacian矩陣的特征值重?cái)?shù)

圖G的無符號(hào)Laplacian矩陣G(S)定義為［3］

本小節(jié)將研究圖的重復(fù)點(diǎn)集與圖的無符號(hào)Laplacian矩陣的特征值重?cái)?shù)之間的聯(lián)系。

定理5：若V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，則

mS(G)(d)≥|V|-1

其中d為V中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)。

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是空?qǐng)D。于是，圖G的無符號(hào)Laplacian矩陣G(S)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

(dIk-dIkX)=(OkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

mS(G)(d)≥ k-1

結(jié)論可證。

定理6：若V為圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，則

mS(G)(d-1)≥|V|-1

其中d為V中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)。

下面我們不妨假設(shè)每個(gè)（共同）重復(fù)點(diǎn)集V都至少包含兩個(gè)點(diǎn)，即||2V3 。

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的閉鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

((d-1)Ik+Jk-(d-1)IkX)=(JkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

mS(G)(d-1)≥k-1

結(jié)論可證。

3.4 圖的正規(guī)化Laplacian矩陣的特征值重?cái)?shù)

圖G的正規(guī)化Laplacian矩陣G(?)定義為［6］

本小節(jié)將研究圖的重復(fù)點(diǎn)集與圖的正規(guī)化Laplacian矩陣的特征值重?cái)?shù)之間的聯(lián)系。

定理7：若V為圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，且V中的點(diǎn)不是圖G的孤立點(diǎn)，則

m?(G)(1)≥|V|-1

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是空?qǐng)D。于是，圖G的正規(guī)化Laplacian矩陣G(?)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

(Ik-IkX)=(OkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

m?(G)(1)≥k-1

結(jié)論可證。

定理8：若V為圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，且V中的點(diǎn)不是圖G的孤立點(diǎn)，則

其中d為V中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)。

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)（共同）重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是完全圖。于是，圖G的正規(guī)化Laplacian矩陣G(?)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的閉鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

結(jié)論可證。

3.5 圖的距離矩陣的特征值重?cái)?shù)

圖G的距離矩陣記作G(D)，其第i行第j列元素為點(diǎn)i與點(diǎn)j在圖G中的距離［7］。

本小節(jié)將研究圖的重復(fù)點(diǎn)集對(duì)圖的距離矩陣的特征值重?cái)?shù)的影響。

定理9：若V為連通圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，則

mD(G)(-2)≥|V|-1

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是空?qǐng)D，且V中的點(diǎn)具有相同的鄰集。于是，圖G的距離矩陣G(D)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂中的點(diǎn)具有相同的鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，的每一行具有相同的元素?，F(xiàn)利用引理1，可得

(2Jk-2Ik+2IkX)=(2JkX)

mD(G)(-2)≥k-1

結(jié)論可證。

定理10：若V為連通圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，則

mD(G)(-1)≥|V|-1

證明：記|V|=k，且不妨假設(shè)圖G具有n個(gè)點(diǎn)，V中的點(diǎn)是圖G的頭k個(gè)點(diǎn)。既然V是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，G[V]是完全圖。于是，圖G的距離矩陣G(D)結(jié)構(gòu)如下：

其中X為k×(n-k)矩陣，Y為(n-k)×(n-k)方陣。

又因?yàn)閂是圖G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集，也就是說，V中的點(diǎn)具有相同的閉鄰集，所以分塊矩陣X的每一行具有相同的元素。進(jìn)一步，

(Jk- Ik+IkX)=(JkX)

的每一行具有相同的元素。

現(xiàn)利用引理1，可得

mD(G)(-1)≥k-1

結(jié)論可證。

4.例子

現(xiàn)在我們通過圖1所示的圖來說明定理1-10的下界都是可達(dá)的。

設(shè)圖G如圖1所示，注意到{1,2,3}與{4,5}為G的重復(fù)點(diǎn)集，而{6,7,8}為G的一個(gè)共同重復(fù)點(diǎn)集?，F(xiàn)利用Mathematica，可算得：

（1）鄰接矩陣：mA(G)(0)=3，mA(G)(-1)=2；

（2）Laplacian矩陣：mL(G)(2)=3，mL(G)(6)=1，mL(G)(5)=2；

（3）無符號(hào)Laplacian矩陣：mS(G)(2)=2，mS(G)(6)=1，mS(G)(3)=2；

（5）距離矩陣：mD(G)(-2)=3，mD(G)(-1)=2。

這表明：定理1-10中的下界是可達(dá)的。

［1］CVETKOVI? D，DOOB M，SACHS H.Spectra of Graphs-Theory and Application［M］.New York:Academic Press，1980.

［2］BONDY J A，MURTY U S R.Graph Theory with Applications［M］.New York:American Elsevier，1976.

［3］CVETKOVI? D，ROWLINSON P，SIMI? SK.Eigenvalue bounds for the signless Laplacian［J］.Publ.Inst.Math.（Beograd），2007，81:11-27.

［4］張和瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.第5版北京：高等教育出版社，2007.

［5］GRONE R，MERRIS R.The Laplacian spectrum of agraph II［J］.SIAM J.Discrete Math.，1994，7：221-229.

［6］CHUNG F R K.Spectral Graph Theory［M］.Providence:American Math.Soc.，1997.

［7］MERRIS R.The distance spectrum of a tree［J］.J.Graph Theory，1990，14：365-369.