多次區(qū)間載荷下結(jié)構(gòu)混合動(dòng)態(tài)可靠性的計(jì)算*

方永鋒 陳建軍 閻彬 曹鴻鈞

(西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

有時(shí)結(jié)構(gòu)在其服役期承受的載荷和其強(qiáng)度都具有不確定性.隨機(jī)分析和模糊分析是目前結(jié)構(gòu)工程中處理不確定性問(wèn)題時(shí)應(yīng)用最為普遍的兩種方法［1-5］，但不論是隨機(jī)分析還是模糊分析都對(duì)已知信息有較強(qiáng)的依賴(lài)性.然而在實(shí)際工程中，往往可得到的數(shù)據(jù)貧乏，不足以確定不確定參數(shù)的概率分布函數(shù)或模糊隸屬度函數(shù)，且可靠度的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)分布參數(shù)的準(zhǔn)確性較為敏感，分布參數(shù)很小的誤差有時(shí)可能導(dǎo)致可靠度計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)較大的誤差［6］，這在很大程度上限制了隨機(jī)和模糊的方法在工程中的應(yīng)用.為此，文獻(xiàn)［7-8］認(rèn)為，當(dāng)掌握的不確定性參數(shù)信息較少時(shí)，則宜采用區(qū)間或凸集模型來(lái)描述問(wèn)題的不確定性.文獻(xiàn)［9-10］提出了基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型，并預(yù)測(cè)了區(qū)間靜載荷作用一次或特定次數(shù)時(shí)結(jié)構(gòu)的可靠度.實(shí)際上在結(jié)構(gòu)服役期內(nèi)，隨機(jī)型和區(qū)間型不確定因素往往是共同存在的，對(duì)于同時(shí)含有隨機(jī)變量和區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題，利用混合模型獲得結(jié)構(gòu)的可靠度，似比給出一確定的單值具有更高的可信度［11］.文獻(xiàn)［12］提出了結(jié)構(gòu)的隨機(jī)-區(qū)間問(wèn)題的順序單回路法(SSLM)處理方法，但只考慮了靜力學(xué)問(wèn)題.文獻(xiàn)［13］從理論上證明了區(qū)間變量轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量與直接計(jì)算隨機(jī)-區(qū)間變量對(duì)于結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算結(jié)果是相同的.文獻(xiàn)［14-15］利用區(qū)間因子研究了隨機(jī)-區(qū)間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜力學(xué)可靠性問(wèn)題，得到的結(jié)構(gòu)可靠度是一個(gè)常量.然而，由于振動(dòng)、沖擊、疲勞、腐蝕、老化等外在因素以及一些不確定性?xún)?nèi)在因素的共同影響，結(jié)構(gòu)的可靠性往往是與時(shí)間有關(guān)的函數(shù).文獻(xiàn)［16］給出了一種考慮載荷服從某種概率分布且多次作用下零件的可靠性預(yù)測(cè)模型，但該模型在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，當(dāng)作用荷載等幅的條件難以滿(mǎn)足時(shí)，導(dǎo)致其可靠性的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差偏大且難以避免.文獻(xiàn)［17-19］對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性問(wèn)題進(jìn)行了分析，但僅限于作用載荷為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的情況.許多情況下，結(jié)構(gòu)在服役過(guò)程中受到的載荷既不是一次也不是僅一種，往往是多次與多種.

文中基于對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)概率可靠性研究的基礎(chǔ)，針對(duì)實(shí)際問(wèn)題中掌握作用載荷的統(tǒng)計(jì)信息量較少的情況，利用隨機(jī)-區(qū)間理論，對(duì)結(jié)構(gòu)承受的多次區(qū)間載荷隨時(shí)間變化的情況進(jìn)行了分析.根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，建立了當(dāng)作用載荷隨時(shí)間變化且結(jié)構(gòu)強(qiáng)度隨時(shí)間退化時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)隨機(jī)-區(qū)間可靠性預(yù)測(cè)模型，并對(duì)模型中的區(qū)間參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)化處理，利用一次二階矩法獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠性指標(biāo)和可靠度.最后通過(guò)兩個(gè)算例說(shuō)明了文中預(yù)測(cè)模型的合理性、實(shí)用性和精確性.

1 動(dòng)態(tài)載荷與動(dòng)態(tài)強(qiáng)度

1.1 動(dòng)態(tài)載荷

作用于結(jié)構(gòu)上的載荷為任意的時(shí)變載荷，且載荷的幅值為區(qū)間變量，為了求得在此種情況下結(jié)構(gòu)在任意t 時(shí)刻的可靠度，文中對(duì)結(jié)構(gòu)承受的載荷作如下處理:

(4)令ΦsI(t)=max{Φ(t)}，ΦsI(t)對(duì)應(yīng)的區(qū)間記為sI(t)，將sI(t)稱(chēng)為載荷作用多次時(shí)的最大區(qū)間應(yīng)力，它對(duì)應(yīng)的應(yīng)力即為最大區(qū)間應(yīng)力.

若結(jié)構(gòu)在最大區(qū)間載荷下不失效，則結(jié)構(gòu)在這多次區(qū)間載荷下也不會(huì)失效.故區(qū)間載荷作用多次時(shí)的結(jié)構(gòu)可靠度等價(jià)于這些載荷中最大區(qū)間載荷的可靠度.

記

sI(t)的均值與離差分別為

1.2 動(dòng)態(tài)強(qiáng)度

考慮結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度為隨機(jī)變量，在結(jié)構(gòu)服役期內(nèi)，由于振動(dòng)、沖擊、疲勞、腐蝕、老化等外在因素以及一些不確定性?xún)?nèi)在因素的共同影響，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度是隨時(shí)間退化的.文獻(xiàn)［20］認(rèn)為可用weibull 分布來(lái)描述剩余強(qiáng)度，而且給出了結(jié)構(gòu)在t 時(shí)刻的剩余強(qiáng)度為

式中，r(0)是結(jié)構(gòu)的初始強(qiáng)度，s(t)是結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力，T 是結(jié)構(gòu)的生命周期，e 是材料的退化指數(shù).

根據(jù)式(4)和weibull 分布的性質(zhì)，可得到結(jié)構(gòu)在t 時(shí)刻的剩余強(qiáng)度的均值為

式中，μ(r(0))為結(jié)構(gòu)的初始強(qiáng)度的均值，μ(r(1))=μ(s(t))，為結(jié)構(gòu)服役期末的強(qiáng)度的均值.

結(jié)構(gòu)剩余強(qiáng)度的均方差為

式中，σ(r(0))為結(jié)構(gòu)的初始強(qiáng)度的均方差，σ(r(1))為結(jié)構(gòu)服役期末的強(qiáng)度的均方差.

2 結(jié)構(gòu)的區(qū)間-隨機(jī)動(dòng)態(tài)可靠性分析

文獻(xiàn)［13］從理論上證明了如下結(jié)論:對(duì)于只含有區(qū)間變量與隨機(jī)變量的可靠性問(wèn)題，把區(qū)間變量轉(zhuǎn)化為均勻分布的隨機(jī)變量，就把區(qū)間-隨機(jī)可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的隨機(jī)可靠性問(wèn)題，用一次二階矩法計(jì)算可知，兩者的可靠度結(jié)果是等價(jià)的.

基于上述結(jié)論，可將式(1)對(duì)于結(jié)構(gòu)的可靠度計(jì)算轉(zhuǎn)化為

由式(8)可得s(t)的均值和方差分別為

再根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，則可得到在多次區(qū)間載荷作用下且結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化時(shí)的功能函數(shù)為

為了保證用一次二階矩法計(jì)算可靠度的精確性，將s(t)和r(t)在任意t 時(shí)刻當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化處理為(X(t)，Y(t))，如此可求得結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠性指標(biāo)為

初始值由(10)得到，經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算式(12)，可得任意t 時(shí)刻的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性指標(biāo)為與(X*(t)，Y*(t))相對(duì)應(yīng)的(r(t)，s(t))即為式(11)的最大失效點(diǎn).

在迭代過(guò)程中，為了加速收斂，根據(jù)經(jīng)典響應(yīng)面法的迭代選點(diǎn)方法，則在第k+1 迭代過(guò)程中有

這里a 第一次取2.25，以后各次迭代取0.75［18］，

對(duì)于r(t)，若服從正態(tài)分布則直接計(jì)算，否則采用下式:

這里b 第1 次取3，以后各次迭代取1［19］，r(0)(t)=μ(r(t))

當(dāng)滿(mǎn)足:

時(shí)迭代終止.式中，β(k+1)(t)、β(k)(t)分別為第k +1次和第k 次可靠性指標(biāo)，ε 為迭代終止要求的精度.

綜上，給出多次區(qū)間載荷作用下且結(jié)構(gòu)隨機(jī)強(qiáng)度退化時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)隨機(jī)-區(qū)間可靠度的算法如下:

(1)由2.1 求區(qū)間載荷的等價(jià)區(qū)間應(yīng)力;

(2)由式(7)將區(qū)間應(yīng)力轉(zhuǎn)化為均勻分布的隨機(jī)應(yīng)力;

(3)把上一步轉(zhuǎn)化的隨機(jī)應(yīng)力與隨機(jī)強(qiáng)度當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化;

(4)應(yīng)用一次二階矩法計(jì)算可靠性指標(biāo)β(1)(t);

(5)用式(14)、(15)計(jì)算可靠性指標(biāo)β(k+1)(t);

(6)計(jì)算式(16);

(7)若前一步達(dá)到了收斂精度，計(jì)算終止，否則繼續(xù)由步驟(5)進(jìn)行迭代，直至滿(mǎn)足收斂精度，迭代終止，輸出β(*)(t)，并據(jù)β(*)(t)值由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布函數(shù)表獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度.

3 算例

例1 某汽車(chē)后軸在不考慮強(qiáng)度退化的情況下，其強(qiáng)度r(0)服從均值為160 MPa、均方差為15 MPa的正態(tài)分布.由2.1 可得到載荷的工作應(yīng)力s(t)的范圍為45～115 MPa，在載荷作用多次時(shí)，用文中方法得到的和利用SSLM 及蒙塔卡羅方法(MCM)模擬106次計(jì)算得到的可靠度結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 例1 3 種方法計(jì)算結(jié)果比較Table 1 Comparison of computation results of example 1 by using three methods

從表1 可以看出，SSLM 和文中方法的計(jì)算結(jié)果誤差相當(dāng)，且與MCM 的計(jì)算結(jié)果基本一致，但文中方法的迭代次數(shù)要比SSLM 幾乎少一半，表明該方法的斂速快、精度高.

例2 某車(chē)體底座，其強(qiáng)度r(t)隨時(shí)間退化，其初始強(qiáng)度r(0)服從均值為150 MPa、均方差為15 MPa的正態(tài)分布，T=10000h，e=4.092.由2.1 可得到載荷的工作應(yīng)力s(t)的范圍為45～115MPa，在載荷作用多次且考慮強(qiáng)度退化時(shí)，利用文中方法和MCM模擬計(jì)算106次在時(shí)間t=0，500，1500，5000，9000 h時(shí)的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 例2 不同時(shí)刻兩種方法計(jì)算結(jié)果比較Table 2 Comparison of computation results of example 2 by using two methods

從表2 中可以看出，文中提出的方法與MCM兩者的計(jì)算結(jié)果幾乎一致;在考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化時(shí)，結(jié)構(gòu)在多次區(qū)間載荷作用下的可靠度是隨時(shí)間持續(xù)下降的.該結(jié)果可為結(jié)構(gòu)生命的全周期檢測(cè)與動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).

例3 某懸臂管結(jié)構(gòu)如圖1 所示，受到外力F1(t)、F2(t)、P(t)和扭矩W(t)的共同作用.圖中，d 為懸臂管的外直徑，ι 為懸臂管的厚度，L1為懸臂管的長(zhǎng)度，L2為F2的力臂長(zhǎng)度.給定T=10000 h，e =4.092.該結(jié)構(gòu)中各個(gè)不確定參數(shù)的取值見(jiàn)表3，對(duì)隨機(jī)變量，則分布參數(shù)1 和2 分別表示均值與均方差，對(duì)區(qū)間變量，則分布參數(shù)1 和2 分別表示區(qū)間變量的下界和上界.若該結(jié)構(gòu)可靠，則施加于管端面的等效應(yīng)力smax(t)應(yīng)小于結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度r(t)，對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)方程為

g(r(t)，s(t))=r(t)-smax(t).

圖1 某懸臂管Fig.1 A cantilever tube

表3 懸臂管不確定參數(shù)Table 3 Uncertain variables for the cantilever tube

其中，

式中，θ1、θ2分別是F1、F2與z 軸的夾角，D 為截面積，計(jì)算公式為

M(t)為彎矩，計(jì)算公式如下

本算例在t=0 時(shí)刻，也就是不考慮強(qiáng)度退化的時(shí)候，僅考慮一次載荷作用下，文獻(xiàn)［13］用SSLM 方法，迭代次數(shù)16 次，計(jì)算可靠度為0.971 6，文中方法迭代6 次即可達(dá)到該結(jié)果.在考慮強(qiáng)度退化時(shí)，多次載荷作用時(shí)文中方法與MCM 模擬106在不同時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4.

從表4 中可以看出，文中方法與MCM 在0、500、1500、5000、9000 h 時(shí)兩者的計(jì)算結(jié)果基本相同，但迭代次數(shù)明顯要少.同時(shí)也說(shuō)明，在考慮強(qiáng)度退化，外部作用多次時(shí)懸臂管的可靠度是隨時(shí)間不斷下降的.

表4 例3 不同時(shí)刻兩種方法計(jì)算結(jié)果比較Table 4 Comparison of computation results of example 3 by using two methods

4 結(jié)論

文中針對(duì)多次區(qū)間載荷作用、且結(jié)構(gòu)隨機(jī)強(qiáng)度退化的情況構(gòu)建了結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)模型，經(jīng)過(guò)理論推理和算例驗(yàn)證得到如下的結(jié)論:

(1)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題中掌握作用載荷的統(tǒng)計(jì)信息量較少的情況，利用隨機(jī)-區(qū)間理論，對(duì)結(jié)構(gòu)承受的多次區(qū)間載荷隨時(shí)間的變化情況進(jìn)行了分析和等效處理;

(2)建立了當(dāng)作用區(qū)間載荷隨時(shí)間變化且結(jié)構(gòu)隨機(jī)強(qiáng)度隨時(shí)間退化時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性預(yù)測(cè)模型，并對(duì)模型中的區(qū)間參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)化處理，利用一次二階矩法得到了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度.最后通過(guò)3 個(gè)算例說(shuō)明了文中模型的合理性、易行性與實(shí)用性.

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