物理模型的建構(gòu)與應(yīng)用

刁品全+孫鐵斌

直線運(yùn)動(dòng)是力學(xué)問(wèn)題分析的基礎(chǔ)，也是物理奧賽題的基礎(chǔ)部分內(nèi)容.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容對(duì)適應(yīng)物理奧賽有著重要意義.這部分問(wèn)題的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在：（1）物理模型理解與構(gòu)建.物理模型是物理學(xué)重要的思想方法.物理模型有實(shí)物模型，如運(yùn)動(dòng)中遇到的質(zhì)點(diǎn)，我們以后還會(huì)在熱學(xué)部分學(xué)到理想氣體等；過(guò)程模型，如運(yùn)動(dòng)學(xué)中的勻速運(yùn)動(dòng)、勻加速運(yùn)動(dòng)；數(shù)學(xué)模型，建立一數(shù)學(xué)規(guī)律，如圖象、函數(shù)等、等效法等，隨著大家所學(xué)內(nèi)容不斷增加，知識(shí)不斷豐富，不斷總結(jié)，這樣大家處理問(wèn)題的能力會(huì)不斷提高.（2）數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)處理能力要求加強(qiáng)，當(dāng)我們建立物理模型后，還需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而數(shù)據(jù)分析會(huì)綜合應(yīng)用各種數(shù)學(xué)技巧.（3）物理問(wèn)題化歸與建模，這是我們中學(xué)教學(xué)中常用的技巧，這種方法其實(shí)就是將我們遇到的各類問(wèn)題分成各種類型，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中如追及問(wèn)題、避免碰撞問(wèn)題、平拋與類平拋等，

問(wèn)題模型化后，可以使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化，從中較為方便地得出物體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律.模型的建構(gòu)與應(yīng)用在物理學(xué)發(fā)展歷史上，偉大的科學(xué)家往往都是善于提出恰當(dāng)?shù)睦硐肽Ｐ偷目茖W(xué)家，如愛(ài)因斯坦提出“光子說(shuō)”成功地解釋了光電效應(yīng)現(xiàn)象而獲得諾貝爾獎(jiǎng)，盧瑟福提出原子的“核式結(jié)構(gòu)模型”成功地解釋了原子物理的一些現(xiàn)象，人類從而進(jìn)入研究原子物理時(shí)代，同時(shí)建構(gòu)主義心理學(xué)理論認(rèn)為：模型的建構(gòu)是心理學(xué)中人們對(duì)事物認(rèn)構(gòu)的心理模式.因此對(duì)初學(xué)奧賽的同學(xué)來(lái)說(shuō)，了解這類問(wèn)題特點(diǎn)尤為重要，下面我們就來(lái)舉例感悟一下其中的魅力.

一、運(yùn)動(dòng)物理模型建立

例1 一個(gè)人在燈正下方向前勻速運(yùn)動(dòng)，求證人影的頂端點(diǎn)是做勻速直線運(yùn)動(dòng).

解析 需要論證的問(wèn)題是——?jiǎng)蛩僦本€運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)學(xué)中勻速直線運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵是位移與時(shí)間是一次函數(shù)關(guān)系.那么我們得找出位移與時(shí)間關(guān)系，

如圖1所示，設(shè)人AB在燈0正下方向前移動(dòng)至A'B'，設(shè)移動(dòng)距離為s，即BB'，此時(shí)人影的頂端C點(diǎn)位置如圖所示.從圖可知人影的頂端C點(diǎn)距離還需燈與人的高度，我們

點(diǎn)評(píng)：本題特點(diǎn)之一——很多物理量未知，在這種情況下我們可以去假設(shè)，構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，在諸多物理量之間，有的物理量可以消去，而有些物理量是恒量，物理問(wèn)題尤其是物理奧賽題難就難在建立物理或數(shù)學(xué)模型.這些物理問(wèn)題我們能夠用圖來(lái)表達(dá)的盡量先用圖來(lái)描述，找出隱含的物理、數(shù)學(xué)規(guī)律.

二、相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型建立

例2 如圖2甲物體在前方以初速度為v₁，加速度為a₁，做勻加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在甲后面s處乙初速度v₂，加速為a₂，做勻加速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：此后甲乙可能相遇幾次？

解析 按常規(guī)思路，甲、乙相遇時(shí)在空間上看位于同一位置，如果建立數(shù)學(xué)模型，也就是建立坐標(biāo)軸，甲乙在該坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某時(shí)刻相遇則坐標(biāo)相同，表達(dá)式有解，這就需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底.

其實(shí)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中討論一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)要比兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)要來(lái)得更簡(jiǎn)單一些，如圖2所示為甲、乙開始的位置.

那么我們不妨研究乙，以甲為參照物，則相對(duì)速度為

（1）v₂-v₁>0

①a2 -o.>0：這種情況也就是乙相對(duì)于甲做初速度為v₂-v₁、加速度為a₁-a₁的向右勻加速運(yùn)動(dòng)，顯然只相遇一次.

②a₂-a₁=0：這種情況也就是乙相對(duì)于甲做速度為v₂-v₁，勻速運(yùn)動(dòng)，顯然只相遇一次.

③a₂-a₁<0：這種情況也就是乙相對(duì)于甲做初速度為v₂-v₁、加速度為a₂-a₁，向右作勻減速運(yùn)動(dòng)，如果速度足夠大則會(huì)超過(guò)甲，但會(huì)返回，這種情況類似于豎直上拋運(yùn)動(dòng)，這時(shí)就會(huì)相遇兩次.

但速度如偏小則不相遇，也可能速度大小恰好，則相遇一次，而該臨界速度為：（v₂-v₁）²=-2（a₂-a₁）s.

（2）v₂-v₁=0

①a₂-a₁>0：這種情況也就是乙相對(duì)于甲向右做初速度為0、加速度為a₂-a₁勻加速運(yùn)動(dòng)，顯然只相遇一次.

②a₂-a₁=0：這種情況為乙相對(duì)于甲的相對(duì)速度為0、加速度為0，即相對(duì)靜止，二者不可能相遇，

③a₂-a₁<0：這種情況是相對(duì)速度為0、而加速度為a₂-a₁<0的運(yùn)動(dòng)，由于a₂-a₁<0<0，則乙相對(duì)于甲是遠(yuǎn)離，那么二者不可能相遇.

（3）v₂-v₁<0

由于v₂-v₁<0，則乙相對(duì)于甲向左運(yùn)動(dòng)，即開始是遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

①a₂-a₁>0：乙向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，但當(dāng)速度減小為0后又向右加速運(yùn)動(dòng)，則甲與乙必相遇：

②a₂-a₁=0：乙向左做勻速運(yùn)動(dòng)，則甲與乙肯定不會(huì)相遇；

③a₂-a₁<0：乙向左做初速度為v₂-v₁、加速度為a₂-a₁勻加速運(yùn)動(dòng)，則甲與乙肯定不會(huì)相遇；

這種分析也許相對(duì)于單純從數(shù)學(xué)分析思考有點(diǎn)煩瑣，但物理意義顯得更為清晰.

例3 有一小孩掉進(jìn)河里后抱住了一根圓木隨水向下飄流（與水流速度相等且一起運(yùn)動(dòng)），有三條船A、B、C在正對(duì)河岸P點(diǎn)的地方同時(shí)與圓木相遇，但三條船上的船員都沒(méi)有注意到圓木上的小孩.A、B兩船逆水上行，C船順?biāo)滦?，相?duì)水的速度B船是A船的1.2倍，C船是B船的1.2倍.當(dāng)三條船離開P點(diǎn)行駛30分鐘的時(shí)候，船員們從收音機(jī)里聽到圓木上有小孩需要救助的消息，三條船都立即調(diào)轉(zhuǎn)船頭，駛向圓木.在離P點(diǎn)6千米的地方，小孩被船員救起.試回答三條船到達(dá)小孩和圓木的先后次序如何？

解析 由于本題中涉及到A、B、C及水流（即小孩）的運(yùn)動(dòng)，即使通過(guò)作圖也較為復(fù)雜：A、B、C三者各自都存在順?biāo)\(yùn)動(dòng)與逆水運(yùn)動(dòng)，這樣就存在六個(gè)速度，而原來(lái)在靜水中還有一速度.前面我們就已討論過(guò)借助于相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，由于A、B、C三者是運(yùn)動(dòng)是具有相似特征，而水、孩子不是我們所重點(diǎn)討論的，那么我們不妨以小孩為參照物，這樣水流（即小孩）就是靜止?fàn)顟B(tài)，而A、B、C三者在遠(yuǎn)離小孩子時(shí)時(shí)間相等，運(yùn)動(dòng)后再各自返回，返回的距離就是原來(lái)遠(yuǎn)離小孩時(shí)的距離，那么各自所用的返回的時(shí)間與原來(lái)各自運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，這樣他們重新回到小孩位置處所用時(shí)間相等，即三條船同時(shí)到達(dá)小孩位置.

相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法在分析多個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)潔、直觀，無(wú)論是勻速運(yùn)動(dòng)還是勻變速運(yùn)動(dòng)，在一條直線上還是不在一條直線上都可以用相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)分析，兩物體速度方向不平行時(shí)相對(duì)速度計(jì)算在以后學(xué)習(xí)中可以會(huì)學(xué)習(xí)到，因此以后在分析多個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)優(yōu)先想到相對(duì)運(yùn)動(dòng)法.

三、圖象模型建立與應(yīng)用

圖象法也是我們處理問(wèn)題常用的方法，在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分最常見的有速度一時(shí)間圖象、位移一時(shí)間圖象.在分析和應(yīng)用圖象時(shí)我們要充分注意到圖象斜率、交點(diǎn)的意義，圖象“面積”的意義、圖象橫軸和縱軸截距（即圖象與橫軸、縱軸交點(diǎn)）的意義.其實(shí)除了這些圖象以外還有其它類似圖象，這些圖在物理學(xué)中經(jīng)常用到.

例4 有甲、乙、丙三輛車以相同的速度通過(guò)A點(diǎn)，此后甲勻速運(yùn)動(dòng)、乙先勻加速后又勻減速，丙則先勻減速后勻加速，三輛車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)恰好速度相等，那么哪輛車先到達(dá)B點(diǎn)？

解析 按照常規(guī)的思路，題目未知任何物理量的大小，我們先設(shè)出物體的初速度，經(jīng)過(guò)的總位移、兩個(gè)變速運(yùn)動(dòng)的加速度，存在兩個(gè)加速時(shí)的加速度及減速時(shí)的加速度，看起來(lái)未知量太多，處理難度較大.我們不妨用運(yùn)動(dòng)學(xué)的速度一時(shí)間圖象，圖象的“面積”表示位移的大小.

如圖4所示，設(shè)甲、乙、丙三者同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，從圖中可見，三者在這段時(shí)間里通過(guò)的

例5 如圖6、7、8三個(gè)物體甲、乙、丙分別沿所示三個(gè)光滑斜面，斜面高度相同，且兩個(gè)斜面的坡面長(zhǎng)度相等，即MN=AB+BC=OP+PQ，已知斜面傾斜角越大加速度越大、兩物體分別沿兩斜面滑到底端時(shí)速度大小相等，那么哪個(gè)先到達(dá)底部.位移也不等，問(wèn)題關(guān)鍵在于乙、丙不是做的直線運(yùn)動(dòng).但由于MN=AB+BC=OP+PQ，也不是說(shuō)路程相等，因此我們可以作出的v-t圖表示速率一時(shí)間圖，那么圖象的“面積”表示路程.

由于三個(gè)物體到底部時(shí)速率相等，設(shè)三個(gè)物體同時(shí)到達(dá)底部，則速率一時(shí)間圖象如圖9所示，從圖中明顯可以看出乙的“面積”最大，為了使面積相等，可以將乙時(shí)間縮短、丙的時(shí)間加長(zhǎng)，如圖10所示，這樣可以保證三者“面積”相等.可見，t_丙>t_甲t_乙，即乙先到達(dá)B點(diǎn).

例6 一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出的速度大小與距離老鼠洞的距離成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距中心距離是x₁=1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為20cm/s，問(wèn)當(dāng)老鼠與距離老鼠洞中心是x₂=2m，B點(diǎn)時(shí)的速度大小v₂，是多少？老鼠從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間是多少？

解析 因?yàn)槔鲜髲睦鲜蠖囱刂本€爬出，已知爬出的速度與通過(guò)的距離成反比，則不可能用勻速運(yùn)動(dòng)、勻變速運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)求解，但可以通過(guò)圖象法求解.因?yàn)?/p>

四、轉(zhuǎn)換研究參量

在研究、分析問(wèn)題時(shí)，我們習(xí)慣的思路是哪個(gè)物理量未知我們就去研究這個(gè)物理量，找出題中各種條件列出關(guān)系式，有時(shí)這種分析方法顯然煩瑣，而當(dāng)們?cè)O(shè)一些其它中間相關(guān)量時(shí)解題反而會(huì)更加快捷，采用這種迂回的戰(zhàn)術(shù)大大降低了分析的難度.

例7 一火車沿直線軌道從靜止發(fā)出，由4地駛向B地，并停止在B地. AB兩地相距x，火車做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度最大為a₁.，做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度的絕對(duì)值最大為a₂，由此可以判斷出該火車由A到B所需的最短時(shí)間為____.

解析 我們可以通過(guò)作圖知道火車運(yùn)動(dòng)分成兩個(gè)過(guò)程，整個(gè)過(guò)程中火車先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng).在該過(guò)程中加速度越大、所用時(shí)間越短，兩個(gè)過(guò)程時(shí)間分別為

上面解析思路清晰，但涉及到未知量較多，以時(shí)間為參量突破解題計(jì)算煩瑣，但我們?nèi)绻O(shè)在轉(zhuǎn)折時(shí)速度為突破口，則可知：

物理模型的建構(gòu)是一個(gè)難度較高的要求，但對(duì)物理有濃厚興趣的學(xué)生尤其是要參加物理奧賽學(xué)習(xí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，這種能力要及時(shí)自我培養(yǎng)，這會(huì)對(duì)自己物理學(xué)習(xí)有著極大的幫助.