小型異步電機(jī)模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)分析

謝 穎 王 嚴(yán) 呂 森 葛紅巖 劉海松

（哈爾濱理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 哈爾濱 150080）

0 引言

小型異步電機(jī)應(yīng)用于多種工作場合，其振動(dòng)和噪聲問題一直是研究的熱點(diǎn)。模態(tài)分析是電機(jī)振動(dòng)和噪聲研究中的重要組成部分，國內(nèi)外學(xué)者做了很多研究工作。文獻(xiàn)[1-4]針對開關(guān)磁阻電機(jī)的模態(tài)做了詳盡研究；文獻(xiàn)[5]利用有限元法計(jì)算了超聲波電機(jī)的模態(tài)，并用阻抗-頻率特征儀實(shí)際測量了共振頻率；文獻(xiàn)[6]通過拾取電機(jī)在空載時(shí)的振動(dòng)信號判斷了電機(jī)的固有頻率；文獻(xiàn)[7]對結(jié)構(gòu)不同的疊片做了試驗(yàn)研究，表明定子疊片結(jié)構(gòu)從簡單到復(fù)雜其固有頻率會(huì)降低。文獻(xiàn)[8]用有限元法計(jì)算了不同槽極配合時(shí)永磁同步電機(jī)的模態(tài)問題，得到的結(jié)論是定子軛厚度增加時(shí)模態(tài)頻率增大。

由于散下線繞組的質(zhì)量、剛度以及與鐵心的連接情況都難以確定，因此無論是解析計(jì)算還是數(shù)值計(jì)算都很難準(zhǔn)確地考慮繞組對定子固有頻率的影響，這樣電機(jī)模態(tài)研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)大多集中在定子繞組上。一些文獻(xiàn)[6,9-12]研究了異步電機(jī)的模態(tài)問題，但其對定子繞組的研究大都基于仿真計(jì)算，而非通過對實(shí)際帶有不同繞組的定子模型進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)來研究。

本文以一臺1.1kW 小型異步電機(jī)為樣機(jī)，通過模態(tài)試驗(yàn)展開繞組對定子固有頻率影響的研究。將定子二階模態(tài)作為了試驗(yàn)和計(jì)算對象，一方面是由于試驗(yàn)系統(tǒng)的頻帶寬度限制，令一方面是由于樣機(jī)的二階固有頻率已經(jīng)很高，電磁力波的頻率很難達(dá)到定子三階及以上的固有頻率。為了更加準(zhǔn)確地獲得定子的徑向二階固有頻率，本文利用加速度頻響函數(shù)的幅值和相位對其進(jìn)行了判定，并詳細(xì)分析了繞組對定子模態(tài)的影響。用有限元法計(jì)算了不帶繞組的定子，帶有等效繞組的定子以及整機(jī)的模態(tài)，最后基于試驗(yàn)和計(jì)算的結(jié)果討論了轉(zhuǎn)子、端蓋及機(jī)殼對定子固有頻率的作用。

1 模態(tài)試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)系統(tǒng)與試驗(yàn)方法

模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)主要由三部分組成:激勵(lì)部分，響應(yīng)測量部分，數(shù)據(jù)采集和分析處理部分。試驗(yàn)采用單點(diǎn)激振多點(diǎn)拾振的錘擊法，沖擊錘錘頭使用了頻帶較寬的鋼材料頭，錘頭上安裝有力傳感器用來測量激勵(lì)信號，響應(yīng)信號則由安裝在被測樣機(jī)上的三向加速度傳感器測量，由信號采集分析儀采集并存儲(chǔ)測量到的數(shù)據(jù)，最后由模態(tài)參數(shù)識別軟件對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。為減小泄露和噪聲帶來的誤差，分別對激勵(lì)信號和響應(yīng)信號施加了相應(yīng)的窗函數(shù)，同時(shí)在一次測試中采用多次敲擊求平均的方法以減小噪聲干擾。

試驗(yàn)的定子模型分別為:①定子鐵心；②定子鐵心+未浸漆繞組；③定子鐵心+去掉端部的繞組；④定子鐵心+浸漆繞組，如圖1 所示。為了保證試驗(yàn)結(jié)果具有對比性，本試驗(yàn)所使用的定子模型均為同一個(gè)定子。整機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ桶?①整機(jī)；②整機(jī)（去掉轉(zhuǎn)子）；③整機(jī)（去掉轉(zhuǎn)子和端蓋），整機(jī)中的定子同為圖1 中的定子。

圖1 待測定子和試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 Test stator and test table

定子模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，將兩個(gè)三向加速度傳感器通過安裝磁座對稱地固定在定子外圓上；整機(jī)模態(tài)試驗(yàn)時(shí)則將兩個(gè)傳感器水平固定在電機(jī)機(jī)殼的上表面。傳感器的安裝位置及激振錘的錘擊位置和方向如圖2 所示。

圖2 傳感器安裝位置和錘擊方向Fig.2 The installation site of sensors and the direction of hammer

1.2 定子鐵心徑向二階固有頻率的判定方法

眾所周知，電磁振動(dòng)和噪聲是由氣隙中的徑向電磁力波作用在定子上所激發(fā)，因此對定子模態(tài)的研究主要考慮軸向階數(shù)為零的徑向模態(tài)。為了更好的判定試驗(yàn)所得到的定子固有頻率是否為軸向階數(shù)為零的徑向固有頻率，本文通過模態(tài)試驗(yàn)所得到的加速度頻響函數(shù)的幅值和相位對其進(jìn)行了驗(yàn)證。

從圖3 中可以看出，對于定子徑向二階模態(tài)，在定子外圓上任意對稱兩點(diǎn)的形變大小一致。定子外徑上A-C-E-G-A 正好經(jīng)歷了兩個(gè)正弦周期。圖2中兩個(gè)傳感器安裝在定子外圓上對稱的位置上，從傳感器1 到傳感器2 的振動(dòng)曲線一定經(jīng)歷了一個(gè)正弦周期。假設(shè)兩個(gè)傳感器的位置為圖4 中X，Y 的位置，那么對于定子二階模態(tài)，兩個(gè)測試點(diǎn)處的位移和相位一定相同。由于本實(shí)驗(yàn)使用的是加速度傳感器，得到的是加速度頻率響應(yīng)函數(shù)，無法直接利用振動(dòng)的位移和相位對定子的徑向二階固有頻率進(jìn)行判定。但加速度頻響函數(shù)的幅值和相位與位移頻響函數(shù)的幅值和相位具有一定的關(guān)系，下面進(jìn)一步說明這種判定方法的依據(jù)。

圖3 定子鐵心的二階模態(tài)振型Fig.3 Second order mode of vibration of stator core

圖4 定子鐵心二階模態(tài)振動(dòng)位移曲線Fig.4 Curve of the vibration displacement of second order modal of stator

電機(jī)實(shí)際振動(dòng)時(shí)，由于阻尼的作用，使得各點(diǎn)的振動(dòng)除了振幅不同外，振動(dòng)相位也各異，這就使得系統(tǒng)的特征頻率及特征向量成為復(fù)數(shù)。

自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中 x——振動(dòng)位移；

m——振動(dòng)物體質(zhì)量；

c——阻尼系數(shù)；

k——彈簧系數(shù)[13]。

通過拉普拉斯變換和反變換得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為

式（2）是以位移為對象推導(dǎo)出的頻率響應(yīng)函數(shù)?，F(xiàn)記Hd(ω)、Hv(ω)、Ha(ω) 分別為位移、速度和加速度頻響函數(shù)，三者之間的關(guān)系為

將Hd(ω) 表示成實(shí)部和虛部的形式為

可得Hd(ω) 的模為

從而得到Ha(ω) 的模為

通過以上分析知道，加速度頻響函數(shù)的幅值是位移頻響函數(shù)幅值的ω2倍，而二者的相位相差π。即加速度頻響函數(shù)的幅值、相位與位移頻響函數(shù)的幅值、相位皆為線性關(guān)系，也就是說如果定子外圓上兩個(gè)測試點(diǎn)處振動(dòng)位移的幅值和相位一樣的話，其振動(dòng)加速度的幅值和相位也將一致，因此可以利用加速度頻響函數(shù)幅值和相位進(jìn)行判定。

1.3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及分析

由于錘擊法由人工操作，敲擊力度和錘擊方向具有隨機(jī)性，為了避免試驗(yàn)過程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤并減小誤差，本試驗(yàn)對待測模型進(jìn)行了多次測量。圖5 中給出了兩個(gè)三向加速度傳感器在十次測試過程中的Z 方向頻率響應(yīng)曲線，兩個(gè)傳感器頻響曲線共同的波峰為試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷墓逃蓄l率?？梢钥闯霾粠Ю@組定子模型的頻響曲線中出現(xiàn)了兩個(gè)相距較近的波峰，而其他帶有繞組的定子模型只出現(xiàn)了一個(gè)波峰。

圖5 定子模態(tài)試驗(yàn)加速度頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Acceleration frequency-response curves of stator

對于整機(jī)模態(tài)試驗(yàn)，圖6 中可以看出其頻響曲線中出現(xiàn)了兩個(gè)相距較遠(yuǎn)的波峰。下面將對試驗(yàn)得到的加速度頻響函數(shù)做進(jìn)一步的處理并加以分析。

圖6 整機(jī)模態(tài)試驗(yàn)加速度頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Acceleration frequency-response curves of whole motor

利用模態(tài)識別軟件對試驗(yàn)得到的加速度頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行處理，可以得到定子測試點(diǎn)處的振動(dòng)加速度幅值和相位。測試中使用的是三向加速度傳感器，根據(jù)圖2 中兩個(gè)加速度傳感器的布置，Z 方向即為徑向。以不帶繞組定子的試驗(yàn)結(jié)果為例，本文提取了在一次模態(tài)試驗(yàn)中兩個(gè)傳感器在X、Y、Z 三個(gè)方向上的加速度幅值以及Z 方向的加速度相位，如圖7 所示。從中可以看出，在2 777Hz 和2 840Hz左右處Z 方向（即徑向）的加速度幅值較其他頻率處的幅值大很多，同時(shí)Z 方向的幅值比X、Y 方向的幅值也大很多，說明此頻率處定子發(fā)生的主要是徑向變形。并且此頻率處兩個(gè)加速度頻響函數(shù)在Z方向上的幅值和相位都很接近，由此可以判定這兩個(gè)頻率為定子鐵心的徑向二階固有頻率。圖8 給出了不帶繞組的定子在十次模態(tài)試驗(yàn)中得到的徑向二階固有頻率值，經(jīng)過十次測試結(jié)果取平均得到不帶繞組定子的徑向二階固有頻率分別為2 777.07Hz 和2 840.27Hz。

圖7 定子鐵心兩個(gè)測試點(diǎn)處加速度頻響函數(shù)的幅頻圖和相頻圖Fig.7 Amplitude frequency figure and phase frequency figure of acceleration frequency response functions at the two test points of stator

圖8 不帶繞組定子的二階固有頻率十次測試結(jié)果Fig.8 Second order natural frequency of the stator without windings in ten times modal tests

同樣運(yùn)用加速度頻響函數(shù)幅值和相位的判定方法，經(jīng)過整理得出了另外三種定子模型的模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果。圖9 給出了十次模態(tài)試驗(yàn)所得到的定子二階固有頻率值和對應(yīng)此頻率的Z 方向（即徑向）加速度頻響函數(shù)相位。從結(jié)果中可以看出，十次模態(tài)試驗(yàn)所得到的固有頻率值都很接近，說明試驗(yàn)結(jié)果可靠。并且在各次測試中兩個(gè)傳感器的加速度頻響函數(shù)在Z 方向上的相位都很接近，可以判斷所得的頻率為定子的徑向二階固有頻率。

圖9 定子二階固有頻率十次模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Ten times modal tests result of the stator second order natural frequency

經(jīng)過10 次測試結(jié)果取平均，得到了帶有未浸漆繞組的定子，去掉端部繞組的定子，帶有浸漆繞組定子的徑向二階固有頻率依次為 2 861.44Hz，2 708.61Hz，2 702.61Hz。與不帶繞組定子的試驗(yàn)結(jié)果比較可知，未浸漆的繞組對定子二階固有頻率影響較小，這可以解釋為繞組與定子鐵心并未緊密連接在一起；繞組浸漆后定子的二階固有頻率有明顯下降，并且低于不帶繞組定子的二階固有頻率，說明浸漆繞組的質(zhì)量對定子模態(tài)的作用大于剛度；去掉端部繞組前后定子的二階固有頻率變化很小。

對三種整機(jī)模型的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行處理，并將十次測試結(jié)果取平均后得到了三種整機(jī)模型的定子二階固有頻率，如圖10 所示。整機(jī)的模態(tài)試驗(yàn)得到了兩個(gè)在數(shù)值上相差較大的定子二階固有頻率。去掉轉(zhuǎn)子后定子二階固有頻率變化很?。欢瑫r(shí)去掉端蓋和轉(zhuǎn)子后，其二階固有頻率有較明顯下降。

圖10 整機(jī)模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Modal test results of the whole motor

2 模態(tài)數(shù)值計(jì)算

2.1 定子模態(tài)計(jì)算

本文分別對不帶繞組的定子和去掉端部繞組的定子模型進(jìn)行了計(jì)算。對于模態(tài)的數(shù)值計(jì)算，材料的彈性模量、泊松比和密度對模態(tài)計(jì)算的結(jié)果有著很大的影響，因此獲得準(zhǔn)確的材料特性至關(guān)重要。通過實(shí)際稱重并計(jì)算得到了鐵心的實(shí)際密度為7 260kg/m3左右。文獻(xiàn)[14]針對定子鐵心的彈性模量進(jìn)行了測量，本文使用了其測量結(jié)果 E=1.521×1011Pa，泊松比取0.3。經(jīng)計(jì)算得到定子二階固有頻率為2 753.6Hz 和2 753.9Hz，與試驗(yàn)結(jié)果誤差較小。圖11為樣機(jī)定子的計(jì)算模型。

圖11 定子三維有限元計(jì)算模型Fig.11 3D finite element calculation model of stator

對于去掉端部繞組定子的模態(tài)計(jì)算，本文使用了圖12 所示的帶有等效繞組的定子模型。為了確定等效繞組的密度，將不帶端部繞組定子中的剩余繞組（定子槽中的銅）取出，并稱其質(zhì)量為0.44kg，將其平均分布在圖12 中的18 個(gè)等效繞組中，這里將等效繞組與鐵心內(nèi)壁視為緊密接觸。等效繞組的等效密度為ρ=3 869.8kg/m3，等效彈性模量取為E=1.2×109Pa，泊松比取0.3。計(jì)算出的定子二階固有頻率為2 670.3Hz，與試驗(yàn)值2 708.6Hz 誤差較小。

圖12 定子和等效繞組的三維模型Fig.12 3D model of stator and equivalent windings

2.2 整機(jī)模態(tài)計(jì)算

對于整機(jī)模態(tài)的數(shù)值計(jì)算，本文將重點(diǎn)放在了轉(zhuǎn)子及端蓋對其固有頻率的影響上。樣機(jī)的三維全域?qū)嶓w模型和有限元計(jì)算模型分別如圖13 和圖14所示。

圖13 樣機(jī)三維實(shí)體模型Fig.13 3D solid model of prototype

圖14 樣機(jī)三維有限元計(jì)算模型Fig.14 3D FEM calculation model of prototype

對于有限元計(jì)算模型的建立，本文使用了六面體單元，采用了掃率剖分。由于電機(jī)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜且不規(guī)整，本文先將電機(jī)分割成了適合于掃率剖分的幾何體，剖分后再使用MPC“綁定”技術(shù)將被分割的幾何體連接成一個(gè)整體，這樣既大大減小了單元數(shù)量，縮短了計(jì)算時(shí)間，同時(shí)可以保證分割處單元位移自由度的連續(xù)性。由于機(jī)殼和定子鐵心間為過盈配合，二者在徑向方向上緊密接觸，所以本文也將定子鐵心和機(jī)殼“綁定”在了一起，這樣可以很好的計(jì)及機(jī)殼對定子固有頻率的影響。轉(zhuǎn)子僅與軸承相接觸，為了準(zhǔn)確計(jì)入轉(zhuǎn)子對計(jì)算結(jié)果的影響，本文使用了剛性梁單元模擬轉(zhuǎn)軸和軸承之間的約束作用。該單元具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，連接于轉(zhuǎn)軸中心節(jié)點(diǎn)和軸承內(nèi)表面節(jié)點(diǎn)，圖15 所示為該約束單元。

圖15 軸承和轉(zhuǎn)軸連接單元Fig.15 Link element between bearing and spindle

整機(jī)計(jì)算時(shí)的定子同為圖12 所示的去掉端部繞組的定子模型，電機(jī)各部件的材料屬性在表1 中給出。模態(tài)試驗(yàn)時(shí)沒有對電機(jī)地腳固定，在有限元計(jì)算時(shí)也未對電機(jī)地腳施加約束條件。經(jīng)過計(jì)算，得到了5 個(gè)定子二階固有頻率，其中前3 個(gè)與后2個(gè)固有頻率在數(shù)值上相差較大，而模態(tài)試驗(yàn)只得到2 個(gè)數(shù)值相差較大的定子二階固有頻率，也就是說用有限元法可以得到更加完整的模態(tài)頻率和振型。在整機(jī)的模態(tài)試驗(yàn)和計(jì)算時(shí)都出現(xiàn)了數(shù)值相差較大的定子二階固有頻率，這是機(jī)殼所引起的現(xiàn)象。機(jī)殼不僅增大了定子固有頻率，而且增加了其固有頻率的個(gè)數(shù)。

表1 電機(jī)各零部件的材料特性Tab.1 Material characteristics of every part of the motor

圖16為5 個(gè)定子二階固有頻率下定子和整機(jī)的模態(tài)振型，可以看出此時(shí)轉(zhuǎn)子幾乎沒有變形。圖17為轉(zhuǎn)子固有頻率下轉(zhuǎn)子和整機(jī)模態(tài)振型，此時(shí)機(jī)殼幾乎沒有變形，而轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了較大的變形，這也進(jìn)一步說明了轉(zhuǎn)子對整機(jī)及定子的模態(tài)影響甚小。

圖16 定子和整機(jī)模態(tài)振型Fig.16 Mode shapes of stator and whole motor

圖17 轉(zhuǎn)子和整機(jī)模態(tài)振型Fig.17 Mode shapes of rotor and whole motor

同時(shí)計(jì)算了將電機(jī)轉(zhuǎn)子去掉及將轉(zhuǎn)子和端蓋都去掉的電機(jī)模型，計(jì)算出的定子二階固有頻率列于表2。從中可以看出，將電機(jī)轉(zhuǎn)子部分去掉后，定子也同樣出現(xiàn)了5 個(gè)徑向二階固有頻率，并且其數(shù)值較轉(zhuǎn)子去掉前變化很小。將端蓋去掉后則出現(xiàn)了4 個(gè)二階固有頻率，其數(shù)值降低明顯。各個(gè)模型計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果分別進(jìn)行了比較，二者誤差較小。

表2 定子二階模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果比較Tab.2 Comparison of calculation results with test results of the second modal of stator

3 結(jié)論

（1）定子模態(tài)試驗(yàn)得到兩個(gè)徑向二階固有頻率，即所謂的齒對稱和齒反對稱固有頻率，帶有繞組的定子模態(tài)試驗(yàn)只得到一個(gè)徑向二階固有頻率。帶有未浸漆繞組定子的固有頻率稍高于不帶繞組的定子；繞組浸漆后定子二階固有頻率較浸漆前有較明顯下降；端部繞組對定子固有頻率影響很小。

（2）對于整機(jī)的模態(tài)計(jì)算和試驗(yàn)，出現(xiàn)多個(gè)數(shù)值相差較大的二階固有頻率。機(jī)殼增大定子固有頻率的同時(shí)也增加了固有頻率的個(gè)數(shù)；去掉端蓋后定子二階固有頻率有所下降，同時(shí)定子二階固有頻率的個(gè)數(shù)減少；轉(zhuǎn)子對整機(jī)和定子模態(tài)的影響很小。

（3）利用加速度頻響函數(shù)的幅值和相位可以準(zhǔn)確判定定子徑向二階固有頻率。模態(tài)有限元計(jì)算時(shí)建立完整的電機(jī)模型是有必要的，這樣可以得到更加完整的模態(tài)頻率和模態(tài)振型。

[1]Cai Wei,Pragasen Pillay,Tang Zhangjun.Impact of stator windings and end-bells on resonant frequencies and modal shapes of switched reluctance motors[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2002,38(4)：1027-1034.

[2]Long S A,Zhu Z Q,Howe D.Vibration behaviour of stators of switched reluctance motors[J].IEE Proceedings of Electric Power Applications,2001,148(3)：257-264.

[3]孫劍波,詹瓊?cè)A,黃進(jìn).開關(guān)磁阻電機(jī)的定子模態(tài)分析[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2005,25(22)：148-152.Sun Jianbo,Zhan Qionghua,Huang Jin.Modal anslysis of stator vibration for switched reluctance motors[J].Proceedings of the CSEE,2005,25(22)：148-152.

[4]吳建華.基于物理模型開關(guān)磁阻電機(jī)定子模態(tài)和固有頻率的研究[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2004,24(8)：109-114.Wu Jianhua.Study on the stator mode shapes and natural frequencies of switched reluctance motor based on real structural model[J].Proceedings of the CSEE,2004,24(8)：109-114.

[5]莫岳平,胡敏強(qiáng),金龍,等.振動(dòng)模態(tài)與超聲波電機(jī)性能關(guān)系的研究[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2002,17(3)：7-11.Mo Yueping,Hu Minqiang,Jin Long,et al.Research on the relation between vibration mode and ultrasonic motor’s performance[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2002,17(3)：7-11.

[6]代穎,崔淑梅,宋立偉.車用電機(jī)的有限元模態(tài)分析[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2011,31(9)：100-104.Dai Ying,Cui Shumei,Song Liwei.Finite element method modal anslysis of driving motor for electric vehicle[J].Proceedings of the CSEE,2011,31(9)：100-104.

[7]Fuminori Ishibashi,Makoto Matsushita,Shinichi Noda,et al.Change of mechanical natural frequencies of induction motor[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2010,46(3)：922-927.

[8]楊浩東,陳陽生,鄧志奇.永磁同步電機(jī)常用齒槽配合的電磁振動(dòng)[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2011,26(9)：24-30.Yang Haodong,Chen Yangsheng,Deng Zhiqi.Electromagnetic vibration of PM synchronous motors with different combinations of slot and pole number[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2011,26(9)：24-30.

[9]lshibashi F,Kamimoto K,Hayashi T.Natural frequency of stator core of small induction motor[J].IEE Proceedings of Electric Power Applications,2003,150(2)：210-214.

[10]Neves C G C,Carlson R,Sadowski N,et al.Experimental and numerical analysis of induction motor vibrations[J].IEEE Transactions on Magnetics,1999,35(3)：1314-1317.

[11]王天煜,王鳳翔,白浩然,等.大型異步電機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究[J].機(jī)械強(qiáng)度,2009,31(1)：140-143.Wang Tianyu,Wang Fengxiang,Bai Haoran,et al.Study on vibration behavior of large induction motors[J].Journal of Mechanical Strength,2009,31(1)：140-143.

[12]韓偉,賈啟芬,邱家俊.異步電機(jī)定子的振動(dòng)與模態(tài)分析[J].振動(dòng)與沖擊,2012,31(17)：91-95.Han Wei,Jia Qifen,Qiu Jiajun.Vibration and modal analysis for stator of an induction motor[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(17)：91-95.

[13]傅志方,華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用[M].上海：上海交通大學(xué)出版社,2000.

[14]Tang Zhangjun,Pragasen Pillay,Avoki M Omekanda,et al.Young’s modulus for laminated machine structures with particular reference to switched reluctance motor vibrations[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2004,40(3)：748-754.