關注數學本質 聚焦數學思想──以“用數對確定位置”教學為例

江蘇常州市實驗小學（213000） 張祖潤

關注數學本質 聚焦數學思想──以“用數對確定位置”教學為例

江蘇常州市實驗小學（213000） 張祖潤

數學教學需要在兒童心中留下怎樣的烙??？本文試圖從數學教學內容的本質意義出發(fā)，從知識的發(fā)生發(fā)展過程出發(fā)，從兒童世界的立場出發(fā)，深入淺出地闡述數學知識的思想價值，并結合具體的數學教學過程進行實踐，使得課堂教學更加體現出數學的本質，折射出理性的力量。

數學本質 根源 思想 兒童 理性

“數學是什么，數學可以留下些什么，數學可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數學可以在人的內心深處培植理性的種子，她可以讓兒童擁有一顆數學的大腦，學會數學地思考，學會理性、審慎地看待問題、關注周遭、理解世界?！边@句話道出了數學教學的本質，數學學習不就是讓兒童經歷一種有意義、有價值的探索活動，從而形成合理的數學思維方式嗎？正如鄭毓信教授所說的那樣，我們應該通過數學課堂培養(yǎng)學生的數學思維，讓學生最終達到會用數學進行數學思維。

當然，課程改革推進過程中，也曾出現過許多美麗的景象，過于追求教學的情境和人文化，絢麗的多媒體動畫展示，漫無邊際的生活現象，萬紫千紅的數學文化，這些現象在一定程度上表現出對課程基本理念內涵的誤解，這一種錯覺其實是一種課堂教學的失真和學習的失效。為什么會出現這些現象呢？在我們精心創(chuàng)設的情境背后，知識和能力的根源在哪里？在煞費苦心的知識授予背后，文化與精神的支點在哪里？在環(huán)環(huán)緊扣的邏輯背后，直覺與猜想的孕育在哪里？在層次多樣的應用背后，原理與模型的建構在哪里？在方法提煉的技巧背后，思想與方法的引領又在哪里？一些專家指出，現在的數學課堂生活氣息濃了，數學文化有了，數學味卻丟失了，讓數學思想和精神失去了可能生長的土壤。

因此，數學課堂除了有知識的豐厚、技能的純熟外，更應關注數學的本質，聚焦數學思想的啟迪，漸而上升為理性精神的引領，留給學生多元而立體的影響，應該留給學生深刻而難忘的痕跡，這才是數學課堂的本質。下面以我執(zhí)教的一節(jié)“用數對確定位置”為例，談談如何做到關注數學本質，聚焦數學思想。（本課獲2013年江蘇省小學數學優(yōu)質課評比一等獎，有刪節(jié)）

【案例點擊】

1.用自己的方法確定位置

師：同學們，確定位置在我們身邊隨處可見。仔細觀察這一張座位圖（出示教材情境圖），小紅的位置在哪？你能用自己的方法說一說嗎？

生1：小紅在第2排第4個。

生2：從左往右數的第4列，從上往下數第2個。

生3：小紅在從左往右數第4排，從后往前數第4個。

師：那同學們想一想，為什么同一個位置說法卻不一樣？

生1：因為我們每個人看的方法不一樣。

生2：因為我們每個人看的角度不同。

師：是啊，角度不同，說法自然也不同。不過，你的說法你明白，他的說法他理解。這樣交流起來，就會——

生1：交流起來有些麻煩。

生2：說起來不夠統一，不容易理解。

師：是啊，怎樣才能統一、正確、簡明地描述小紅的位置呢？今天這節(jié)課我們繼續(xù)來研究“確定位置”。

2.用列與行的方法確定位置（略）

3.用數對的方法確定位置

師：數學是一種國際語言，追求簡潔明了，這些文字寫起來多麻煩啊，能不能把這些方法寫得再簡單些呢？想一想，再把表示第4列第2行的簡明寫法寫在小紙片上。（生自主探究簡明寫法）

師：一起來看同學們的寫法。（依次呈現學生的不同寫法）

師：比較一下，在這些不同的方法中有哪些相同的地方？

……

師：同學們，你們真是一群善于觀察、樂于思考的孩子。你們的想法跟數學上的規(guī)定非常接近，數學上是這樣寫的（板書寫法）。在數學上我們把它稱為數對，今天研究的就是用數對來確定位置。

……

師：學會了用數對表示點的位置，那根據數對，你能找到對應的點嗎？這有兩個數對（4，1），（6，3），請你找到對應的點，描點并標上數對。

師：誰來介紹一下你是怎樣找到這兩個點的？（生介紹找到兩個點的過程）

師：老師剛才發(fā)現有位同學把（4，1）的點描在這里，難道（4，1）這個數對有兩個對應的點嗎？（出示錯誤的學生資源）

生4：不對不對，他畫錯了。

生5：他把第4列第1行看成了第4行第1列了。

生6：他把列與行看反了。

師：也就是說，這個點對應的數對是多少？

生7：（1，4）。

師：看來，一個數對只能對應著一個——（一個點）

師：一個點也只能對應著一個——（一個數對）

師：原來這點和數對是一一對應的。（板書：“一一對應”）一不小心，咱們從錯誤中還發(fā)現了數對的特點，真會學習。

4.用數對的方法在方格圖上確定位置

師：這是什么？（方格紙）方格紙上也有一些交叉點，一起來看，能用數對表示這張方格紙上這一個點的位置嗎？先想一想，再把思考過程寫下來。

師（展示）：一起來看。有同學寫的數對是（4，5），也有同學寫的數對是（3，4）。

師：不對啊，明明點和數對一個對著一個，為什么同一個點會寫出兩個不同的數對呢？

生8：我認為左邊那張是從1開始數起的，右邊那張是從0開始數起的。

生9：我認為它們的起點的數不同，造成寫的數對不同。一個是以1為起點，一個是以0為起點。

師：其實這兩種寫法都是合理的，只不過他們的起點不同，一個是以1為起點，一個是以0為起點。我們知道，數學上一般用以誰為起點？

生10：以0為起點。

師：那這張方格圖，想象一下，它的“0起點”會在哪呢？一起來看。（電腦演示“0起點”）

師：對比一下，方格圖上0起點的位置不同，同一個點寫出的數對自然也不同。一般情況下，方格圖都會從0起點開始。

師：如果把咱們學校的體育園地作為方格圖的0起點，咱們校園里的其他景點，你會用數對表示嗎？

……

5.用數對的思想確定位置

師：同學們，回顧一下學習過程，今天我們研究了用數對確定位置，其實類似這樣的現象生活中也有許多。像我們下棋時確定棋子的位置，用的就是類似數對的方法。（出示情境圖）在國際象棋中，這個黑馬的位置該怎樣表示呢？

師：同學們，就連地理學家確定地球上的位置時，用的還是類似數對的思想。他們就給地球蒙上一層網格線，用經度和緯度來確定每一個地方的位置，像北京大約在什么位置？（北緯40°，東經116°）

師：咱們城市大約在什么位置？

生：北緯33°，東經120°。

師：同學們，這數對真是簡單而又神奇。相信此刻，你心中一定會有一個疑問，這數對究竟是誰發(fā)明的呢？想知道嗎？一起來看。（播放視頻）

師：笛卡兒非常厲害，從蜘蛛網中受到啟發(fā)發(fā)明了數對和直角坐標系，難怪他說“我思考，所以我存在”。愿每位同學都能做一個愛思考、有想法的人。

【深度思考】

本課的教學設計初看也很平常，教學過程的整體設計與教材安排完全同步，并無多少出新之處。但細細品味，平實的背后卻有許多思考的空間，讓聽課者留下許多值得回味的東西。整節(jié)課并沒有設計絢麗多彩的情境活動，也沒有安排太多的合作探究活動，但學生的思維力度在不斷積蓄，思考力量在版塊遞進中循環(huán)上升，從而散發(fā)出讓人回味的力量，引發(fā)許多人的共鳴。緣何如此，數學思想的深度感悟是根本所在。

一、從知識的根源去理解數學的本質

一節(jié)數學課首先應該搞清楚教什么。有了對知識的整體構建才會產生一種大數學的思考，學生才能真正理解教材的本質內容。教師應該主動學習初等數學體系，主動學習數學發(fā)展史，了解知識發(fā)展的來龍去脈，才能在教學中主動地從知識的起源出發(fā)去理解數學的本來面目，進而有意識地將知識的發(fā)生、發(fā)展過程經過精妙的加工，巧妙地呈現在學生數學探索的世界里。

本課的教學，若從數學史的角度看，笛卡兒發(fā)現解析幾何是數學上一個巨大的進步，也是人類歷史上一個重大的進步，笛卡兒的重要貢獻，就是一個幾何的對象，他可以用數來描寫，而數所滿足的關系就是方程。因此，“我們小學里面先學第一步，就是把坐標建立起來，并用數對（x，y）來表示點。把坐標幾何放到小學的學習內容中，體現了隨著時代的進步，我們小學數學也在發(fā)展?！保◤埖熘娼淌谡Z）因此在反復研讀教材的過程中，我充分認識到用數對確定位置并不是單純生活意義上的確定位置，而是認識坐標的雛形，引導學生用坐標的方法描述位置。正是基于這樣的思考，我把本節(jié)課的重點放在用數對確定點的位置和用數對的方法在方格圖上確定位置，更加貼近教材內容的本質。安排讓學生寫出自己的“簡明寫法”，讓學生在比較中認識數對的概念，或許這個方法并不是首創(chuàng)，但學生在探究的過程中并不只是單純“創(chuàng)造”數對，而是用自己的方法去表達自己的思考過程，在思考的過程中認識數對，顯得“厚實”，讓學生親身經歷了數對寫法的再創(chuàng)造過程，初步理解數對所蘊含的意義。同樣在教學方格圖上用數對確定點的位置時，利用方格紙巧妙過渡，讓學生在自主表示的過程中感受到方格圖上“0起點”的重要性，顯得精巧而又自然。最后再通過數學史料的巧妙介入——笛卡兒發(fā)現數對的故事，引導學生初步感知知識的形成和發(fā)展的過程，盡管展現的過程略顯感性、單薄，但其散發(fā)出的數學味卻足以打動每一個學生。

二、從思想的價值去挖掘數學的本質

一節(jié)數學課還應該搞清楚為什么教，教材安排這一內容有什么目的，它在學生數學思維發(fā)展的梯度上應該承載著什么作用。具體的數學知識只是提供了必要的基礎，僅是“生活建筑物”中的“腳手架”，只有認識到隱藏在具體數學知識背后的數學思想，才能深刻地理解和牢固地掌握具體的數學知識，真正能對有效的思維模式進行自覺地運用和創(chuàng)造。數學思想是被人們反復運用和確認的，它具有普遍意義和相對穩(wěn)定的特征，它直接支配著數學的實踐活動，是對數學規(guī)律的理性認識，它決定了數學的經驗基礎、思考核心、發(fā)展目標。數學課堂應該重視學生思維素質和數學素養(yǎng)的提升，而重視數學思想的引領就是提升學生數學素養(yǎng)、形成良好思維素質的關鍵。

本課所蘊含的數學思想是什么呢？從張奠宙教授關于對“數學本質”一文的描述中，我們找到了答案，“在新課標以前，小學數學主要包括直觀幾何和度量幾何。后來發(fā)現，大學數學的許多問題，它的原始思想是非常簡單、非常樸實的，和小學生的生活也是密切相關的，后來增加了三個方面的內容‘演繹幾何、運動幾何、坐標幾何’，教學內容從過去的兩塊擴大到五塊，擴大了幾何學的視野和感受，是十分有意義的改革?！睆倪@段話中，我們清楚地意識到“用數對確定位置”正是基于對數學課程內容的思考與補充，讓小學生初步感知坐標幾何的思想與價值，是教材中安排這一內容的意圖所在。在教學過程中，有兩大主線貫穿始終，一是圖例的抽象和演變，二是確定位置的方法。兩大主線的層層遞進與發(fā)展，充分展現了數對的數學知識和思想的產生與發(fā)展過程。在引導學生根據點的位置說出數對、根據給出的數對確定點的位置的過程中，讓學生感受到點和數對的“一一對應”的數學思想，顯得“精妙”；在方格圖上用數對確定位置，不僅關注了數對方法的運用，還關注了在方格圖上用數對確定位置的背景，通過學生的不同資源的呈現對比，引導學生思考方格圖上用數對確定位置的核心所在——原點，從而引導學生逼近坐標的最核心知識，真正在學生心中建立起坐標的雛形，讓學生初步感受到坐標思想的存在。通過在方格圖上描點、圍三角形、圍不同的平行四邊形等過程，讓學生真正體會了數對與圖形之間對應的關系，特定數學情境下可以用數對來表示圖形，也可以根據圖形來推理出點的位置，這就達成了數對最核心的價值就是可以“用數來表示形”，最重要的是學生親身經歷了體悟數學思想價值的過程，巧妙而又不著痕跡，簡潔而又不失味道。

三、從兒童的視角去體悟數學的本質

一節(jié)數學課還應該搞清楚為誰而教。顯然，兒童是數學教學的主體，是教師教學設計的出發(fā)點和歸宿。無論數學的本質淺顯還是深奧，都必須基于兒童的經驗基礎和認知規(guī)律，探究活動都必須符合兒童的身心發(fā)展特點，讓兒童在數學研究活動中愿傾聽、敢質疑、樂表達，從而觸摸到數學的本質所在。有人把數學課堂教學質量理解為學生思維活動的質和量，也就是學生知識結構、思維方法形成的清晰程度和參與思維活動的深度和廣度。對學生的思維活動我們應該追求“新”、“高”、“深”，即學生的思維活動要有新意，能形成一定高度的數學思想，參與教學活動的程度達到一定的深度。因此數學課堂應該基于兒童的視角，設計符合兒童需求的數學活動，給兒童留下深刻的知識理解和長久的思想激動，獲得一種思想的熏陶，形成一種“數學頭腦”，使他們在每一個問題解決的過程中，都能帶有鮮明的“數學色彩”，這樣的數學才能實現真正的實效和長效，真正提升學生的數學素養(yǎng)。

本課中，數對這一知識本身屬于已經確定的規(guī)則性的內容，是學生可以直接接受的，并沒有太多的價值進行探索研究，如果一味地把探究活動放在數對的外在形式的獲取上，就削弱了兒童探索新事物的能力了。因此在教學中，先讓學生用自己的方法確定小紅的位置，在較短的時間內形成對已有認知的“不滿足”，激發(fā)新的需要；然后直接將“列與行”的概念告知學生，讓學生在認知結構中建立用“第幾列第幾行”的方法確定位置的規(guī)則，并觀察從座位圖到點子圖的變化過程，感受到用“列與行的方法”確定位置的統一性和準確性，便于學生對數對的理解由表象的感知過渡到內在的把握。同樣，直接引導學生對已有方法進行思考比較，用較短時間進行簡明寫法的探索，然后再比較不同方法中的相同之處，這個過程水到渠成地抽象出數對的結構特點，“人為規(guī)定”的數對含義在學生的主動參與中獲得了更為鮮活的意義。學生在找點的過程中，產生了有意義的錯誤資源，或許是對數對結構的混淆，或許是對數對特征的難辨，但在比較的過程中，卻看到了更加有意義的東西，那就是——思想。方格紙的巧妙引入，也是源自學生對數對方格圖的認知，多數學生認為方格圖與使用過的方格紙十分相似，既然學生對此并不陌生，何不順水推舟呢？正是起于兒童，基于兒童，終于兒童，才讓我們的數學在富有童趣的探究活動中走向本質、走向理性。

數學不僅是一種知識，更是一個發(fā)現的過程，對于小學生來說，數學還應該是一種再創(chuàng)造活動，而不只是印在書上和銘記在腦子里的知識，我們的數學教學應該通過數學活動讓學生感受數學抽象、嚴密和簡潔的本質，感受數學知識的生長性，感受數學思想的魅力，感受數學文化與精神的力量！

（責編 金 鈴）

G623.5

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1007-9068（2015）02-011