幾何平均亞式期權(quán)定價模型及其VaR計算

胡 攀

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

在現(xiàn)實世界中存在著大量的隨機性和模糊性等不確定性．隨機性是一種客觀的不確定性，隨機變量的分布函數(shù)可以通過統(tǒng)計方法很容易得到．然而，模糊性是一種主觀的不確定性，刻畫模糊性的隸屬函數(shù)由有經(jīng)驗的專家給出．為了處理模糊過程，1965年Zadeh 用隸屬函數(shù)引入模糊集合的概念［1］． Liu 在2002年定義了可信性測度與模糊事件的自對偶性，由此建立起可信性理論，使之成為研究模糊理論的一個數(shù)學(xué)分支［2］;為了描述動態(tài)模糊，2008年Liu 在模糊環(huán)境下提出了與布朗運動相對應(yīng)的Liu 過程的概念，同時建立了Liu 股票價格模型［3］;2008年Qin 與Li 在上述模型基礎(chǔ)之上建立了歐式期權(quán)定價公式［4］;2009年Qin 與Gao 又提出了分?jǐn)?shù)Liu 過程［5］．基于上述理論，2010年譚英雙借助Liu 過程，Liu 公式等不確定性理論建立的模糊歐式看漲期權(quán)推導(dǎo)出模糊環(huán)境下的凈現(xiàn)值流公式［6］;2013年胡華給出了標(biāo)的股票服從幾何分?jǐn)?shù)Liu 過程的冪期權(quán)定價模型［7］;同年林亮、吳帥給出了模糊過程下不同死力假設(shè)的增額壽險精算模型［8］．

亞式期權(quán)作為一種強路徑依賴性期權(quán)，可分為算術(shù)平均和幾何平均兩種．隨機條件下亞式期權(quán)的定價模型是在理想化的市場假設(shè)條件下得到的結(jié)果，其完全忽略了像戰(zhàn)爭、恐怖襲擊、公司破產(chǎn)等模糊因素對金融市場的影響，因而期權(quán)價值被低估．隨機條件下幾何平均亞式期權(quán)的定價問題參見文獻(xiàn)［9 -12］．由于現(xiàn)實的金融市場中存在大量的模糊性，因而考慮模糊環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)的定價問題似乎更符合市場的實際情況．現(xiàn)有的研究成果中，對于亞式期權(quán)VaR 的討論，都是在隨機條件下進(jìn)行的，存在風(fēng)險價值被低估的可能．而對于模糊條件下期權(quán)的VaR 研究，迄今為止還是空白．

因此，本文在金融市場受模糊性因素影響的基礎(chǔ)上，在標(biāo)的股票價格服從幾何Liu 過程的模型假設(shè)下，首先利用可信性理論給出幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價公式及其證明過程;其次利用定價公式給出幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的VaR 計算方法;最后通過數(shù)值計算比較隨機和模糊條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價值和VaR 值．期望能為期權(quán)投資者或金融炒家提供一種更加符合實際市場的投資決策或規(guī)避風(fēng)險的工具．

1 基礎(chǔ)知識

1．1 可信性理論

定義1［3］Liu 過程Ct的正態(tài)隸屬函數(shù)為

特別，當(dāng)e=0，σ=1 時稱Ct為標(biāo)準(zhǔn)Liu 過程．

定義2［13］假設(shè)Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)Liu 過程，則稱模糊過程為Liu 過程的積分．

引理1［13］對任意t ＞0，Ⅰt的正態(tài)隸屬函數(shù)為

引理2［14］(可信性反演定理)假設(shè)ξ 是隸屬函數(shù)為μ 的模糊變量，對于任意實數(shù)集合B，ξ 的可信性測度

定義3［15］假設(shè)ξ 是一個模糊變量，則ξ 的期望值為

1．2 Liu 股價模型

假設(shè)模糊金融市場中僅存在兩種證券:一種為債券，t 時刻的價格記為Bt;另一種為股票，t 時刻的價格記為Xt．文獻(xiàn)［2］給出了股票價格服從幾何Liu 過程的一般模型

其中r 表示無風(fēng)險利率，e 為股票的漂移項，σ 為股票的擴散項，Ct為標(biāo)準(zhǔn)Liu 過程．

1．3 VaR 的定義及計算方法

1996年，J．P．Morgan［16］在隨機條件下提出了度量金融衍生工具或投資組合市場風(fēng)險的VaR 方法，自此VaR 便成為金融市場上管理和控制風(fēng)險的重要工具．

定義4［16］VaR 是指在給定置信水平和一定持有期內(nèi)某一金融衍生工具或投資組合所面臨的最大可能損失．其含義是風(fēng)險價值．

考慮投資組合Π，假設(shè)θ0表示該組合的初始價值，R 表示持有期內(nèi)組合的收益率，則其期末價值θ =θ0(1 +R);記投資組合的最低收益率為R*，則其最低價值θ*=θ0(1 +R*);模糊環(huán)境下與給定置信水平α 對應(yīng)的最低收益率可表示為:

記μR和σR分別表示R 的期望回報和波動率．依定義4，模糊環(huán)境中投資組合的相對VaR 為:

絕對VaR 為:

其中ECr表示依賴于可信性測度Cr 的數(shù)學(xué)期望．

2 幾何平均亞式期權(quán)定價模型及其VaR 計算

亞式期權(quán)作為強路勁依賴型期權(quán)，分為看漲和看跌兩種． 看漲(看跌)期權(quán)賦予期權(quán)持有者在到期時間按既定價格購買(銷售)一定量的股票的權(quán)利而不是義務(wù)．執(zhí)行價格為K，到期時間為T 的幾何平均亞式看漲期權(quán)在t =0 時刻的價值為看跌期權(quán)的價值為P = e-rTE(K -．

定理1 記C=C(X0，K，e，σ，r)，P=P(X0，K，e，σ，r)，則Liu 股價模型下，執(zhí)行價格為K，到期時間為T的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在當(dāng)前時刻t=0 的價值為

證明:以幾何平均亞式看漲期權(quán)定價模型的推導(dǎo)為例，幾何平均亞式看跌期權(quán)的定價模型可以類似證明．依據(jù)模糊變量的期望值定義，有

將(5)式變形后代入上式并化簡得:

當(dāng)x≥0 時，由可信性反演定理可知

于是

于是

綜合(12)、(13)兩式有

將(14)式代入(11)式可得(9)式成立．

定理2 記C(X0，K，e，σ，r)=C，P(X0，K，e，σ，r)=P 由定理1 給出，則

證明:①幾何平均亞式看漲期權(quán)在［0，T］時間段內(nèi)的收益率為

依據(jù)VaR 的定義，模糊環(huán)境下與給定置信水平α 對應(yīng)的最低收益率為

從中可解得

于是根據(jù)期權(quán)的相對風(fēng)險與絕對風(fēng)險的定義即可得結(jié)論．

②幾何平均亞式看跌期權(quán)的絕對風(fēng)險價值與相對風(fēng)險價值可類似證明，這里從略．

3 數(shù)值計算

下面通過數(shù)值計算比較模糊條件下和隨機條件下幾何平均亞式期權(quán)的價值與VaRrel值，計算結(jié)果見表1、表2．隨機條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的解析定價公式采用2001年章珂、周文彪、沈榮芳給出的定價模型［17］． 隨機條件下幾何平均亞式期權(quán)的VaRrel計算公式采用2009年董洪坤［18］的結(jié)果．分別記隨機條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在當(dāng)前時刻的價值為C(t，Bt)和P(t，Bt);模糊條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在當(dāng)前時刻的價值記為C(t，Ct)和P(t，Ct)．模型中各參數(shù)取值如下:

表1 的計算結(jié)果顯示，模糊環(huán)境下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價值均高于隨機條件下的對應(yīng)價值．原因在于隨機條件下的幾何平均亞式期權(quán)定價完全忽略了像戰(zhàn)爭、恐怖襲擊、公司破產(chǎn)等突發(fā)因素對金融市場的影響，從而導(dǎo)致價值被低估．模糊因素的忽略將導(dǎo)致短期內(nèi)期權(quán)市場出現(xiàn)套利機會，這使得大量的期權(quán)投資者或金融炒家涌向期權(quán)市場，從而抬高期權(quán)價格，直到套利機會消失．以看漲期權(quán)為例，如果模糊條件下的期權(quán)價值9．5561 被定價為隨機條件下的5．3319，這時期權(quán)價值存在4．2242 的套利機會，于是期權(quán)投資者或金融炒家將涌向市場直到4．2242 的套利機會消失為止．

表1 不同條件下幾何平均亞式期權(quán)的價值Tab．1 The geometric average Asian option values in different conditions

表2 幾何平均亞式期權(quán)的相對VaR 值Tab．2 The relative VaR values of geometric average Asian options

表2 給出了幾何平均亞式期權(quán)在不同置信水平下的VaRrel值．?dāng)?shù)據(jù)顯示幾何平均亞式期權(quán)的VaRrel均是置信水平α 的減函數(shù);其次由于受模糊因素的影響，相同置信水平下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的VaRrel值高于隨機條件下的對應(yīng)值;再次在模糊金融市場中仍然是高風(fēng)險對應(yīng)高回報．以5%的置信水平為例，模糊條件下看漲期權(quán)的VaRrel值為30．7575，而隨機條件下的VaRrel值只有16．0365．若忽略模糊因素的影響，則期權(quán)的風(fēng)險值被低估14．721，低估率高達(dá)47．86%．這對于期權(quán)投資者來講是非常危險的，因為其獲得的收益與承擔(dān)的風(fēng)險完全不匹配．

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