Matlab在“函數(shù)的極限”教學中的應用舉例

王閃閃++陳曉++蘇倩倩

摘要：極限是微積分的基本工具和重要思想。該文利用Matlab畫圖工具，畫出幾個函數(shù)圖形。借助于圖形分析函數(shù)的極限，使學生印象深刻，更加清楚明了。

關鍵詞：極限；微積分；Matlab；圖形

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）24-0097-02

An Example of the Application of Matlab in “Limit of Function” Teaching

WANG Shan-shan， CHEN Xiao， SU Qian-qian

（Zhengzhou Chenggong University of Finance and Economics， Zhengzhou 451200 ，China）

Abstract： Limit is the basic tool and important thought of calculus. In this paper， by using the drawing tool in Matlab， we draw several function graphics. With the help of the graphics， we analysis the functions limit， so that causes the students impressive and more clear.

Key words： limit； calculus； matlab； graphic

微積分是三本院校偏文科類新生的一門重要的公共基礎課，對于鍛煉學生的邏輯思維能力、空間想象能力等起到關鍵作用，也是學生升學深造的一門考試課程。微積分課程本身比較抽象，理論性強，而且三本院校學習微積分的學生大部分都是文科生，他們數(shù)學基礎薄弱，對學習數(shù)學不自信，普遍感到學習數(shù)學很吃力。

數(shù)列的極限和函數(shù)的極限是微積分里首先接觸到的重要章節(jié)，后邊很多重要的概念，例如：函數(shù)的連續(xù)性、可導、可積等都是借助于極限來定義的，因此極限是微積分的重要思想和基本工具，學好這一部分內(nèi)容可以為后續(xù)內(nèi)容打好基礎，而且可以增加學生學習微積分的自信心。

如何改革教學方式，提高課堂效率成了微積分這門課程的改革熱點。在授課方式上，可以將傳統(tǒng)的黑板板書講授和現(xiàn)代計算機軟件相結(jié)合。Matlab 軟件具有作圖和數(shù)值計算的優(yōu)勢，可以生動表現(xiàn)函數(shù)圖像，幫助學生想象、理解，同時有利于激發(fā)學生的學習興趣。本文挑選幾個稍微復雜點而且相互之間容易混淆的函數(shù)，教材中一般沒有給出它們的圖形，我們借助于Matlab的畫圖工具，將它們的圖形展現(xiàn)出來，幫助學生理解記憶。

1 幾個函數(shù)的圖像及其極限分析

1）[limx→∞x?sinx]

程序：

>> x=-40：0.01：40；

>> y=x.*sin（x）；

>> plot（x，y）

>> title（'y=x*sin（x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

如圖1，可以觀察到極限[limx→∞x?sinx]不存在。

借助于圖像我們這樣分析：雖然[x]趨向于無窮大，但是[sinx]是在-1和1之間取值的周期函數(shù)，它會把函數(shù)值不時的拉回到0，因此，隨著[x→∞]，整個函數(shù)在[x]軸上下振蕩，其振幅逐漸增大，函數(shù)沒有極限。另外，我們說當[x→∞]時，函數(shù)[fx=xsinx]是無界變量但不是無窮大量，因為[fx]可以要多大有多大，但并不是從某個時刻之后總成立。用Matlab畫出函數(shù)[fx=xsinx]的圖形，學生一目了然，加強了學生對無界變量和無窮大量之間的關系的認識。

2） [limx→0sin1x]

程序：

>> subplot（1，2，1）；

>> fplot（'sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；

>> title（'y=sin（1/x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

>> subplot（1，2，2）

>> fplot（'x*sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；

>> title（'y=x*sin（1/x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

對于極限[limx→0sin1x]（圖2左），可以清楚地觀察到在原點附近函數(shù)[y=sin1x]的值在-1 與 1 之間波動，沒有極限。理論分析：當[x→0]時，[1x→∞]。對于周期函數(shù)[y=sint]，易知當[t→∞]時，[y=sint]沒有極限，函數(shù)在-1和1之間周期振蕩?；仡^來說，則[limx→0sin1x]不存在極限，[x=0]稱為函數(shù)[y=sin1x]的振蕩間斷點。

3） [limx→0x?sin1x]和[limx→∞sinxx]

在學習無窮小量這一節(jié)的內(nèi)容時，我們證明過一個定理：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量。利用這個結(jié)論，雖然[limx→0sin1x]不存在，但[x→0]為無窮小量，所以函數(shù)[sin1x]乘以一個無窮小量后[limx→0x?sin1x]為無窮小量，因而極限為0。觀察函數(shù)[y=x?sin1x]的圖形（圖2右），當[x→0]時，函數(shù)值不斷振蕩，但離0越來越近，極限為0。

同時，我們可以快速給出極限[limx→∞sinxx=0]。第一種思路：[limx→∞sinxx=limx→∞1x?sinx]，當[x→∞]時，[1x]為無窮小量，[sinx]為有界變量，無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，因此該極限為1；第二種思路：借助于前邊得到的結(jié)果[limx→0x?sin1x=0]來求該極限，即[limx→∞sinxx=t=1xlimt→0t?sin1t=0]。函數(shù)在形式上容易混淆，要分清楚極限過程，發(fā)現(xiàn)兩個極限的實質(zhì)是一樣的。觀察圖形（圖3），隨著[x]的無限增大，函數(shù)[sinxx]的圖形沿[x]軸上下振蕩，振幅逐漸減小，趨向于0。

4） [limx→0sinxx]與[limx→∞x?sin1x]

程序：

>> x=-6*pi：0.001：6*pi；

>> y=sin（x）./x；

>> plot（x，y）

>> text（0，1，'o'）

>> title（'y=sin（x）/x'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

一般，在微積分教材中，都會把[limx→0sinxx]當做一個重要的極限來講解，利用極限存在的“夾逼準則”證明出[limx→0sinxx=1]。現(xiàn)在本文給出函數(shù)[sinxx]的圖形（圖3），一目了然，當[x→0]時，函數(shù)[sinxx]的極限為1。

同時，我們可以快速給出極限[limx→∞x?sin1x=1]。思路為：[limx→∞x?sin1x=limx→∞sin1x1x][=t=1xlimt→0sintt=1]。另外，函數(shù)[x?sin1x]的圖形（圖2右）也已經(jīng)給出，非常清楚直觀。

2 結(jié)束語

本文一共介紹了6個函數(shù)的極限：[limx→∞x?sinx]不存在，[limx→0sin1x]不存在，[limx→0x?sin1x=limx→∞sinxx=0]，[limx→0sinxx=limx→∞x?sin1x=1]。我們從理論方法上分析了這6個函數(shù)的極限，并給出了它們的圖形，使得學生們一方面學習計算極限的方法，另一方面通過觀察圖像加深對函數(shù)的了解和對極限的記憶。由此可見，恰當?shù)膽?matlab 的畫圖功能， 有助于鞏固學生對重要概念的掌握和理解。

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